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一、选择题
1. 下列说法正确的是(
A.若 $a$，$b$，$c$ 是 $△ ABC$ 的三边长，则 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$
B.若 $a$，$b$，$c$ 是 $Rt△ ABC$ 的三边长，则 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$
C.若在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ A = 90^{\circ}$，$a$，$b$，$c$ 分别是 $∠ A$，$∠ B$，$∠ C$ 的对边长，则 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$
D.若在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ C = 90^{\circ}$，$a$，$b$，$c$ 分别是 $∠ A$，$∠ B$，$∠ C$ 的对边长，则 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$
1. 下列说法正确的是(
D
).A.若 $a$，$b$，$c$ 是 $△ ABC$ 的三边长，则 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$
B.若 $a$，$b$，$c$ 是 $Rt△ ABC$ 的三边长，则 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$
C.若在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ A = 90^{\circ}$，$a$，$b$，$c$ 分别是 $∠ A$，$∠ B$，$∠ C$ 的对边长，则 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$
D.若在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ C = 90^{\circ}$，$a$，$b$，$c$ 分别是 $∠ A$，$∠ B$，$∠ C$ 的对边长，则 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$
答案
1. D
解析
【分析】
要判断每个选项的正误，需紧扣勾股定理的核心内容：勾股定理仅适用于直角三角形，且是两直角边的平方和等于斜边的平方，斜边是直角所对的边。
1. 分析选项A：该选项未说明△ABC是直角三角形，勾股定理不适用于任意三角形，因此A错误。
2. 分析选项B：仅指出是直角三角形，但未明确直角的位置，无法确定c为斜边，不能直接得出$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，因此B错误。
3. 分析选项C：∠A=90°，则a是直角所对的斜边，根据勾股定理应该是$b^{2}+c^{2}=a^{2}$，而非$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，因此C错误。
4. 分析选项D：∠C=90°，c是直角所对的斜边，a、b为直角边，符合勾股定理“两直角边的平方和等于斜边的平方”的结论，因此D正确。
【解析】
选项A：勾股定理仅适用于直角三角形，任意三角形不满足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，故A错误。
选项B：$Rt△ABC$中未指明直角所对的边，无法确定$c$为斜边，不能得出$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，故B错误。
选项C：在$Rt△ABC$中，$∠A = 90°$，则$a$为斜边，根据勾股定理应是$b^{2}+c^{2}=a^{2}$，故C错误。
选项D：在$Rt△ABC$中，$∠C = 90°$，$c$为斜边，$a$、$b$为直角边，由勾股定理可得$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的定义
【点评】
本题重点考查勾股定理的准确应用，解题的关键是牢记勾股定理的适用条件（直角三角形）以及斜边是直角所对的边，容易出错的点是忽略直角的位置，误判斜边的对应关系。
【难度系数】
0.7
要判断每个选项的正误，需紧扣勾股定理的核心内容：勾股定理仅适用于直角三角形，且是两直角边的平方和等于斜边的平方，斜边是直角所对的边。
1. 分析选项A：该选项未说明△ABC是直角三角形，勾股定理不适用于任意三角形，因此A错误。
2. 分析选项B：仅指出是直角三角形，但未明确直角的位置，无法确定c为斜边，不能直接得出$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，因此B错误。
3. 分析选项C：∠A=90°，则a是直角所对的斜边，根据勾股定理应该是$b^{2}+c^{2}=a^{2}$，而非$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，因此C错误。
4. 分析选项D：∠C=90°，c是直角所对的斜边，a、b为直角边，符合勾股定理“两直角边的平方和等于斜边的平方”的结论，因此D正确。
【解析】
选项A：勾股定理仅适用于直角三角形，任意三角形不满足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，故A错误。
选项B：$Rt△ABC$中未指明直角所对的边，无法确定$c$为斜边，不能得出$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，故B错误。
选项C：在$Rt△ABC$中，$∠A = 90°$，则$a$为斜边，根据勾股定理应是$b^{2}+c^{2}=a^{2}$，故C错误。
选项D：在$Rt△ABC$中，$∠C = 90°$，$c$为斜边，$a$、$b$为直角边，由勾股定理可得$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的定义
【点评】
本题重点考查勾股定理的准确应用，解题的关键是牢记勾股定理的适用条件（直角三角形）以及斜边是直角所对的边，容易出错的点是忽略直角的位置，误判斜边的对应关系。
【难度系数】
0.7
2. 直角三角形中一直角边的长为 $9$，另两边长为连续自然数，则直角三角形的周长为(
A.$121$
B.$120$
C.$90$
D.不能确定
C
).A.$121$
B.$120$
C.$90$
D.不能确定
答案
2. C
解析
设另一直角边为$n$，斜边为$n + 1$（$n$为自然数）。
由勾股定理得：$9^2 + n^2 = (n + 1)^2$
展开得：$81 + n^2 = n^2 + 2n + 1$
化简得：$2n = 80$，解得$n = 40$
则斜边为$40 + 1 = 41$
周长为$9 + 40 + 41 = 90$
C
由勾股定理得：$9^2 + n^2 = (n + 1)^2$
展开得：$81 + n^2 = n^2 + 2n + 1$
化简得：$2n = 80$，解得$n = 40$
则斜边为$40 + 1 = 41$
周长为$9 + 40 + 41 = 90$
C
3. 如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为 $1$，点 $A$，$B$，$C$ 都在格点上，则 $△ ABC$ 中，边长为无理数的边数是(
A.$0$
B.$1$
C.$2$
D.$3$
C
).A.$0$
B.$1$
C.$2$
D.$3$
答案
3. C
解析
设每个小正方形边长为1，建立网格坐标系，设点$A(0,5)$，$B(2,1)$，$C(5,3)$。
计算各边长：
$AB$：$\sqrt{(2-0)^2 + (1-5)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$（无理数）
$BC$：$\sqrt{(5-2)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$（无理数）
$AC$：$\sqrt{(5-0)^2 + (3-5)^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29}$（无理数）
边长为无理数的边数是3。
1
计算各边长：
$AB$：$\sqrt{(2-0)^2 + (1-5)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$（无理数）
$BC$：$\sqrt{(5-2)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$（无理数）
$AC$：$\sqrt{(5-0)^2 + (3-5)^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29}$（无理数）
边长为无理数的边数是3。
1
二、填空题
4. 如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为 $7cm$，则正方形 $A$，$B$，$C$，$D$ 的面积之和为
4. 如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为 $7cm$，则正方形 $A$，$B$，$C$，$D$ 的面积之和为
49
$cm^{2}$.答案
4. 49
解析
【分析】
首先观察图形特征，根据勾股定理的几何意义：直角三角形中，两条直角边对应的正方形面积之和等于斜边对应的正方形面积。我们可以把正方形A、B的面积之和转化为一个中等正方形的面积，正方形C、D的面积之和转化为另一个中等正方形的面积，而这两个中等正方形的面积之和等于最大正方形的面积，因此只需求出最大正方形的面积，即可得到A、B、C、D的面积之和。
【解析】
设正方形A、B、C、D的面积分别为$ S_A $、$ S_B $、$ S_C $、$ S_D $。
1. 根据勾股定理的几何意义，在直角三角形中，两条直角边对应的正方形面积和等于斜边对应的正方形面积，因此：
$ S_A + S_B $等于图中左侧中等正方形的面积，$ S_C + S_D $等于图中右侧中等正方形的面积；
2. 同理，这两个中等正方形的面积之和等于最大正方形的面积；
3. 已知最大正方形的边长为$ 7cm $，则其面积为$ 7^2 = 49cm^2 $，因此：
$ S_A + S_B + S_C + S_D = 49cm^2 $
【答案】
49
【知识点】
勾股定理的几何应用
【点评】
本题考查勾股定理的几何应用，关键是将正方形面积与直角三角形边的平方建立关联，通过面积转化简化计算，无需单独求解每个小正方形的边长，体现了转化思想的应用。
【难度系数】
0.7
首先观察图形特征，根据勾股定理的几何意义：直角三角形中，两条直角边对应的正方形面积之和等于斜边对应的正方形面积。我们可以把正方形A、B的面积之和转化为一个中等正方形的面积，正方形C、D的面积之和转化为另一个中等正方形的面积，而这两个中等正方形的面积之和等于最大正方形的面积，因此只需求出最大正方形的面积，即可得到A、B、C、D的面积之和。
【解析】
设正方形A、B、C、D的面积分别为$ S_A $、$ S_B $、$ S_C $、$ S_D $。
1. 根据勾股定理的几何意义，在直角三角形中，两条直角边对应的正方形面积和等于斜边对应的正方形面积，因此：
$ S_A + S_B $等于图中左侧中等正方形的面积，$ S_C + S_D $等于图中右侧中等正方形的面积；
2. 同理，这两个中等正方形的面积之和等于最大正方形的面积；
3. 已知最大正方形的边长为$ 7cm $，则其面积为$ 7^2 = 49cm^2 $，因此：
$ S_A + S_B + S_C + S_D = 49cm^2 $
【答案】
49
【知识点】
勾股定理的几何应用
【点评】
本题考查勾股定理的几何应用，关键是将正方形面积与直角三角形边的平方建立关联，通过面积转化简化计算，无需单独求解每个小正方形的边长，体现了转化思想的应用。
【难度系数】
0.7
5. 在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ C = 90^{\circ}$，$∠ A = 30^{\circ}$，$BC = 1$，则 $AC =$
$\sqrt{3}$
.答案
5. $\sqrt{3}$
解析
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90^{\circ}$，$∠ A=30^{\circ}$，$BC=1$。
因为在直角三角形中，$30^{\circ}$角所对的直角边等于斜边的一半，所以$AB=2BC=2×1=2$。
由勾股定理得，$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{4 - 1}=\sqrt{3}$。
$\sqrt{3}$
因为在直角三角形中，$30^{\circ}$角所对的直角边等于斜边的一半，所以$AB=2BC=2×1=2$。
由勾股定理得，$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{4 - 1}=\sqrt{3}$。
$\sqrt{3}$
6. 在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ C = 90^{\circ}$，若 $AC + BC = 17cm$，$AB = 13cm$，则它的面积是
$30\mathrm{cm}^{2}$
.答案
6. $30\mathrm{cm}^{2}$
解析
解：设 $AC = x\ \mathrm{cm}$，则 $BC = (17 - x)\ \mathrm{cm}$。
在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ C = 90°$，由勾股定理得：
$AC^2 + BC^2 = AB^2$
即：
$x^2 + (17 - x)^2 = 13^2$
展开得：
$x^2 + 289 - 34x + x^2 = 169$
化简得：
$2x^2 - 34x + 120 = 0$
$x^2 - 17x + 60 = 0$
解得：
$x = 5\ \mathrm{或}\ x = 12$
当 $x = 5$ 时，$BC = 12\ \mathrm{cm}$；当 $x = 12$ 时，$BC = 5\ \mathrm{cm}$。
面积为：
$\frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × 5 × 12 = 30\ \mathrm{cm}^2$
$30\mathrm{cm}^{2}$
在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ C = 90°$，由勾股定理得：
$AC^2 + BC^2 = AB^2$
即：
$x^2 + (17 - x)^2 = 13^2$
展开得：
$x^2 + 289 - 34x + x^2 = 169$
化简得：
$2x^2 - 34x + 120 = 0$
$x^2 - 17x + 60 = 0$
解得：
$x = 5\ \mathrm{或}\ x = 12$
当 $x = 5$ 时，$BC = 12\ \mathrm{cm}$；当 $x = 12$ 时，$BC = 5\ \mathrm{cm}$。
面积为：
$\frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × 5 × 12 = 30\ \mathrm{cm}^2$
$30\mathrm{cm}^{2}$
