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10. 冰壶运动是2022年北京冬奥会比赛项目之一，冰壶是由不含云母的花岗岩凿磨制成.有一冰壶体积$V = 7×10^{-3}m^{3}$，密度$\rho = 2.7×10^{3}kg/m^{3}$，取$g = 10N/kg$.
(1) 求冰壶的质量；
(2) 将冰壶放在水平地面上，与地面的接触面积$S = 0.02m^{2}$，求冰壶对水平地面的压强.
(1) 求冰壶的质量；
(2) 将冰壶放在水平地面上，与地面的接触面积$S = 0.02m^{2}$，求冰壶对水平地面的压强.
答案
10. (1) 冰壶的质量是 18.9 kg (2) 冰壶对水平地面的压强是 9450 Pa
解析
(1)由$\rho=\frac{m}{V}$得，冰壶的质量$m = \rho V=2.7×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}×7×10^{-3}\ \mathrm{m}^{3}=18.9\ \mathrm{kg}$
(2)冰壶对水平地面的压力$F = G=mg=18.9\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=189\ \mathrm{N}$，压强$p=\frac{F}{S}=\frac{189\ \mathrm{N}}{0.02\ \mathrm{m}^{2}} = 9450\ \mathrm{Pa}$
(2)冰壶对水平地面的压力$F = G=mg=18.9\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=189\ \mathrm{N}$，压强$p=\frac{F}{S}=\frac{189\ \mathrm{N}}{0.02\ \mathrm{m}^{2}} = 9450\ \mathrm{Pa}$
11. 将平底薄壁直圆筒状的空杯，放在饮料机的水平杯座上接饮料.杯座受到的压力$F$随杯中饮料的高度$h$变化的图像如图.饮料出口的横截面积$S_{1}=0.8cm^{2}$，饮料流出的速度$v = 50cm/s$，杯高$h = 10cm$，杯底面积$S_{2}=30cm^{2}$，$g$取$10N/kg$.
(1) 装满饮料时，杯底受到饮料的压力为多大?
(2) 饮料的密度为多大?
(3) 设杯底与杯座的接触面积也为$S_{2}$，饮料持续流入空杯$5s$后关闭开关，杯对杯座的压强为多大?
(1) 装满饮料时，杯底受到饮料的压力为多大?
(2) 饮料的密度为多大?
(3) 设杯底与杯座的接触面积也为$S_{2}$，饮料持续流入空杯$5s$后关闭开关，杯对杯座的压强为多大?
答案
(1) 由图像可知，空杯对杯座的压力$F_{0}=0.9\ \mathrm{N}$，装满饮料时杯对杯座的总压力$F_{\mathrm{总}}=4.5\ \mathrm{N}$，则杯底受到饮料的压力$F=F_{\mathrm{总}} - F_{0}=4.5\ \mathrm{N}-0.9\ \mathrm{N}=3.6\ \mathrm{N}$。
(2) 装满饮料时饮料的高度$h=10\ \mathrm{cm}=0.1\ \mathrm{m}$，杯底面积$S_{2}=30\ \mathrm{cm}^{2}=3×10^{-3}\ \mathrm{m}^{2}$，饮料的体积$V=S_{2}h=3×10^{-3}\ \mathrm{m}^{2}×0.1\ \mathrm{m}=3×10^{-4}\ \mathrm{m}^{3}$，饮料的重力$G=F=3.6\ \mathrm{N}$，由$G=mg=\rho Vg$可得，饮料的密度$\rho=\frac{G}{Vg}=\frac{3.6\ \mathrm{N}}{3×10^{-4}\ \mathrm{m}^{3}×10\ \mathrm{N/kg}}=1.2×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}$。
(3) 饮料持续流入空杯$5\ \mathrm{s}$的体积$V'=S_{1}vt=0.8\ \mathrm{cm}^{2}×50\ \mathrm{cm/s}×5\ \mathrm{s}=200\ \mathrm{cm}^{3}$，杯中饮料的高度$h'=\frac{V'}{S_{2}}=\frac{200\ \mathrm{cm}^{3}}{30\ \mathrm{cm}^{2}}=\frac{20}{3}\ \mathrm{cm}\approx6.67\ \mathrm{cm}＜10\ \mathrm{cm}$，此时饮料的重力$G'=\rho V'g=1.2×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}×200×10^{-6}\ \mathrm{m}^{3}×10\ \mathrm{N/kg}=2.4\ \mathrm{N}$，杯对杯座的压力$F'=F_{0}+G'=0.9\ \mathrm{N}+2.4\ \mathrm{N}=3.3\ \mathrm{N}$，杯对杯座的压强$p=\frac{F'}{S_{2}}=\frac{3.3\ \mathrm{N}}{3×10^{-3}\ \mathrm{m}^{2}}=1.1×10^{3}\ \mathrm{Pa}$。
(2) 装满饮料时饮料的高度$h=10\ \mathrm{cm}=0.1\ \mathrm{m}$，杯底面积$S_{2}=30\ \mathrm{cm}^{2}=3×10^{-3}\ \mathrm{m}^{2}$，饮料的体积$V=S_{2}h=3×10^{-3}\ \mathrm{m}^{2}×0.1\ \mathrm{m}=3×10^{-4}\ \mathrm{m}^{3}$，饮料的重力$G=F=3.6\ \mathrm{N}$，由$G=mg=\rho Vg$可得，饮料的密度$\rho=\frac{G}{Vg}=\frac{3.6\ \mathrm{N}}{3×10^{-4}\ \mathrm{m}^{3}×10\ \mathrm{N/kg}}=1.2×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}$。
(3) 饮料持续流入空杯$5\ \mathrm{s}$的体积$V'=S_{1}vt=0.8\ \mathrm{cm}^{2}×50\ \mathrm{cm/s}×5\ \mathrm{s}=200\ \mathrm{cm}^{3}$，杯中饮料的高度$h'=\frac{V'}{S_{2}}=\frac{200\ \mathrm{cm}^{3}}{30\ \mathrm{cm}^{2}}=\frac{20}{3}\ \mathrm{cm}\approx6.67\ \mathrm{cm}＜10\ \mathrm{cm}$，此时饮料的重力$G'=\rho V'g=1.2×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}×200×10^{-6}\ \mathrm{m}^{3}×10\ \mathrm{N/kg}=2.4\ \mathrm{N}$，杯对杯座的压力$F'=F_{0}+G'=0.9\ \mathrm{N}+2.4\ \mathrm{N}=3.3\ \mathrm{N}$，杯对杯座的压强$p=\frac{F'}{S_{2}}=\frac{3.3\ \mathrm{N}}{3×10^{-3}\ \mathrm{m}^{2}}=1.1×10^{3}\ \mathrm{Pa}$。
解析
(1) 由图像可知，空杯对杯座的压力$F_{0}=0.9\ \mathrm{N}$，装满饮料时杯对杯座的总压力$F_{\mathrm{总}}=4.5\ \mathrm{N}$，则杯底受到饮料的压力$F=F_{\mathrm{总}} - F_{0}=4.5\ \mathrm{N}-0.9\ \mathrm{N}=3.6\ \mathrm{N}$。
(2) 装满饮料时饮料的高度$h=10\ \mathrm{cm}=0.1\ \mathrm{m}$，杯底面积$S_{2}=30\ \mathrm{cm}^{2}=3×10^{-3}\ \mathrm{m}^{2}$，饮料的体积$V=S_{2}h=3×10^{-3}\ \mathrm{m}^{2}×0.1\ \mathrm{m}=3×10^{-4}\ \mathrm{m}^{3}$，饮料的重力$G=F=3.6\ \mathrm{N}$，由$G=mg=\rho Vg$可得，饮料的密度$\rho=\frac{G}{Vg}=\frac{3.6\ \mathrm{N}}{3×10^{-4}\ \mathrm{m}^{3}×10\ \mathrm{N/kg}}=1.2×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}$。
(3) 饮料持续流入空杯$5\ \mathrm{s}$的体积$V'=S_{1}vt=0.8\ \mathrm{cm}^{2}×50\ \mathrm{cm/s}×5\ \mathrm{s}=200\ \mathrm{cm}^{3}$，杯中饮料的高度$h'=\frac{V'}{S_{2}}=\frac{200\ \mathrm{cm}^{3}}{30\ \mathrm{cm}^{2}}=\frac{20}{3}\ \mathrm{cm}\approx6.67\ \mathrm{cm}＜10\ \mathrm{cm}$，此时饮料的重力$G'=\rho V'g=1.2×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}×200×10^{-6}\ \mathrm{m}^{3}×10\ \mathrm{N/kg}=2.4\ \mathrm{N}$，杯对杯座的压力$F'=F_{0}+G'=0.9\ \mathrm{N}+2.4\ \mathrm{N}=3.3\ \mathrm{N}$，杯对杯座的压强$p=\frac{F'}{S_{2}}=\frac{3.3\ \mathrm{N}}{3×10^{-3}\ \mathrm{m}^{2}}=1.1×10^{3}\ \mathrm{Pa}$。
(1) $3.6\ \mathrm{N}$
(2) $1.2×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}$
(3) $1.1×10^{3}\ \mathrm{Pa}$
(2) 装满饮料时饮料的高度$h=10\ \mathrm{cm}=0.1\ \mathrm{m}$，杯底面积$S_{2}=30\ \mathrm{cm}^{2}=3×10^{-3}\ \mathrm{m}^{2}$，饮料的体积$V=S_{2}h=3×10^{-3}\ \mathrm{m}^{2}×0.1\ \mathrm{m}=3×10^{-4}\ \mathrm{m}^{3}$，饮料的重力$G=F=3.6\ \mathrm{N}$，由$G=mg=\rho Vg$可得，饮料的密度$\rho=\frac{G}{Vg}=\frac{3.6\ \mathrm{N}}{3×10^{-4}\ \mathrm{m}^{3}×10\ \mathrm{N/kg}}=1.2×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}$。
(3) 饮料持续流入空杯$5\ \mathrm{s}$的体积$V'=S_{1}vt=0.8\ \mathrm{cm}^{2}×50\ \mathrm{cm/s}×5\ \mathrm{s}=200\ \mathrm{cm}^{3}$，杯中饮料的高度$h'=\frac{V'}{S_{2}}=\frac{200\ \mathrm{cm}^{3}}{30\ \mathrm{cm}^{2}}=\frac{20}{3}\ \mathrm{cm}\approx6.67\ \mathrm{cm}＜10\ \mathrm{cm}$，此时饮料的重力$G'=\rho V'g=1.2×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}×200×10^{-6}\ \mathrm{m}^{3}×10\ \mathrm{N/kg}=2.4\ \mathrm{N}$，杯对杯座的压力$F'=F_{0}+G'=0.9\ \mathrm{N}+2.4\ \mathrm{N}=3.3\ \mathrm{N}$，杯对杯座的压强$p=\frac{F'}{S_{2}}=\frac{3.3\ \mathrm{N}}{3×10^{-3}\ \mathrm{m}^{2}}=1.1×10^{3}\ \mathrm{Pa}$。
(1) $3.6\ \mathrm{N}$
(2) $1.2×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}$
(3) $1.1×10^{3}\ \mathrm{Pa}$
