知识点一 函数、不等式、方程间的关系
对于一次函数 $ y = kx + b $，当时，形成方程 $ kx + b = 0 $；当或时，形成不等式，即 $ kx + b ＞ 0 $ 或 $ kx + b ＜ 0 $。

知识点一 $ y = 0 $ $ y ＞ 0 $ $ y ＜ 0 $

$y = 0$；$y ＞ 0$；$y ＜ 0$

知识点二 一元一次不等式与一次函数的关系
1. 不等式 $ kx + b ＞ 0 $ 的解集 $ ⇔ $ 一次函数 $ y = kx + b $ 的图象位于 $ x $ 轴的部分所对应的自变量的取值范围；
2. 不等式 $ kx + b ＜ 0 $ 的解集 $ ⇔ $ 一次函数 $ y = kx + b $ 的图象位于 $ x $ 轴的部分所对应的自变量的取值范围；
3. 不等式 $ kx + b ＞ k_1x + b_1 $ 的解集 $ ⇔ $ 一次函数 $ y = kx + b $ 位于一次函数 $ y = k_1x + b_1 $的图象所对应的自变量的取值范围；
4. 不等式 $ kx + b ＜ k_1x + b_1 $ 的解集 $ ⇔ $ 一次函数 $ y = kx + b $ 位于一次函数 $ y = k_1x + b_1 $的图象所对应的自变量的取值范围。

知识点二 1. 上方 2. 下方 3. 上方 4. 下方

例 1 已知一次函数 $ y_1 = kx + b (k ≠ 0) $ 的图象经过点 $ A(1, 4) $ 和点 $ B(2, 2) $。
(1) 求该一次函数的表达式；
(2) 当 $ -2 ≤ x ≤ 2 $ 时，求函数 $ y_1 $ 的最大值；
(3) 已知一次函数 $ y_2 = -x + 2m - 6 $，当 $ x ＜ m $ 时，总有 $ y_1 ＞ y_2 $，求 $ m $ 的取值范围。

【点拨】(1) 利用待定系数法求解即可；
(2) 根据一次函数 $ y $ 随 $ x $ 的变化情况求解即可；
(3) 根据 $ y_1 ＞ y_2 $ 列出不等式，求得 $ x ＜ 12 - 2m $，再结合 $ x ＜ m $ 即可得到关于 $ m $ 的不等式。
【解】(1) 将 $ A(1, 4) $，$ B(2, 2) $ 代入 $ y_1 = kx + b $，得 $ \begin{cases} k + b = 4, \\ 2k + b = 2。 \end{cases} $
解得 $ \begin{cases} k = -2, \\ b = 6。 \end{cases} $
所以该一次函数的表达式为 $ y_1 = -2x + 6 $。
(2) 因为 $ y_1 = -2x + 6 $，$ k = -2 ＜ 0 $，
所以 $ y_1 $ 随着 $ x $ 的增大而减小。
所以当 $ x = -2 $ 时，$ y_1 $ 有最大值，
最大值为 $ -2 × (-2) + 6 = 10 $。
(3) $ y_1 - y_2 = -2x + 6 - (-x + 2m - 6) = -x + 12 - 2m $。
因为当 $ x ＜ m $ 时，总有 $ y_1 ＞ y_2 $，
所以当 $ x ＜ m $ 时，$ -x + 12 - 2m ＞ 0 $，
所以 $ x ＜ 12 - 2m $。
又因为 $ x ＜ m $，
所以 $ m ≤ 12 - 2m $，
所以 $ m ≤ 4 $。