【阅读理解】
(1)如图 3-ZH-1①，等边三角形 $ ABC $ 内有一点 $ P $，若 $ PA = 3 $，$ PB = 4 $，$ PC = 5 $，求 $ ∠ APB $ 的度数.
将 $ △ ABP $ 绕顶点 $ A $ 旋转至 $ △ ACP' $ 处，得 $ △ ACP' ≌ △ ABP $，可以利用旋转变换，将三条线段 $ PA $，$ PB $，$ PC $ 转化到一个三角形中，从而求出 $ ∠ APB $ 的度数. 请你写出完整的解题过程；
【基本运用】
(2)请你利用(1)的解答方法，解答问题：
如图②，$ △ ABC $ 中，$ ∠ CAB = 90° $，$ AB = AC $，$ E $，$ F $ 为 $ BC $ 上的点，且 $ ∠ EAF = 45° $，$ BE = 3 $，$ FC = 2 $，求 $ EF $ 的长；
【能力提升】
(3)如图③，在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ ACB = 90° $，$ AC = 1 $，$ ∠ ABC = 30° $，$ P $ 为 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 内一点，连接 $ AP $，$ BP $，$ CP $，则 $ PA + PB + PC $ 的最小值是.

解:(1)
∵由旋转的性质可知△ACP'≌△ABP,
∴AP'=AP=3,CP'=BP=4,∠AP'C=∠APB,∠BAP=∠CAP',
∴∠PAP'=∠BAC=60°,
∴△APP'为等边三角形,
∴PP'=AP=3,∠AP'P=60°.
∵PC²=PP'²+P'C²,
∴△PP'C是直角三角形,∠PP'C=90°,
∴∠APB=∠AP'C=∠AP'P+∠PP'C=60°+90°=150°.
(2)如图所示，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE',连接E'F.
由旋转的性质可知AE'=AE,CE'=BE,∠CAE'=∠BAE,∠ACE'=∠B,∠EAE'=90°.
∵∠EAF=45°,
∴∠E'AF=∠EAE'−∠EAF=90°−45°=45°,
∴∠EAF=∠E'AF.
在△EAF和△E'AF中,
∵AE=AE'、∠EAF=∠E'AF,AF=AF,
∴△EAF≌△E'AF(SAS).
∴EF=E'F.
∵∠CAB=90°,AB=AC,
∴∠B=∠ACB=45°,
∴∠E'CF=∠ACF+∠ACE'=45°+45°=90°,
∴由勾股定理,得FC²+CE'²=E'F².
∵BE=CE'=3,CF=2,
∴EF=E'F=√(3²+2²)=√13

(3)
∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=1,∠ABC=30°,
∴AB=2,
∴BC=√(AB²−AC²)=√(2²−1²)=√3
将△APB绕点B顺时针旋转60°得到△A'P'B,连接PP',如图所示.
由旋转得A'B=AB=2,BP=BP',A'P'=AP,∠PBP'=∠A'BA=60°,
∴△BPP'是等边三角形,∠A'BC=90°,
∴BP=PP',
∴PA+PB+PC=A'P'+P'P+PC,
∴当点A',P',P,C在同一直线上时，PA+PB+PC的值最小,此时在Rt△A'BC中,
∴A'C=√(BC²+A'B²)=√((√3)²+2²)=√7,
∴PA+PB+PC=A'P'+PP'+PC=A'C=√7.故填√7.

参考答案 活15