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8. 如图,一块正方形铁皮的边长为$ a(a＞6) $,如果一边截去6,另一边截去5,所剩长方形铁皮的面积(阴影部分)可以表示为:
①$ (a-6)(a-5) $;②$ a^{2}-5 a-6(a-5) $;③$ a^{2}-6 a-5(a-6) $;
④$ a^{2}-5 a-6 a+30 $,其中正确的是________(填编号)。
①$ (a-6)(a-5) $;②$ a^{2}-5 a-6(a-5) $;③$ a^{2}-6 a-5(a-6) $;
④$ a^{2}-5 a-6 a+30 $,其中正确的是________(填编号)。
答案
①②③④
9. 如果关于$ x $的多项式$ 2 x^{2}-3 x+m $与$ 3 x-2 $的乘积不含$ x $的一次项,求$ m $的值,并写出这两个多项式的积。
答案
【解析】：
本题可先根据多项式乘法法则求出两个多项式的乘积，再根据乘积不含$x$的一次项这一条件求出$m$的值，最后得出这两个多项式的积。
- **步骤一：计算$(2x^{2}-3x + m)(3x - 2)$的乘积**
根据多项式与多项式相乘的法则：先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。
$\begin{aligned}&(2x^{2}-3x + m)(3x - 2)\\=&2x^{2}\times3x - 2x^{2}\times2 - 3x\times3x + 3x\times2 + m\times3x - m\times2\\=&6x^{3}-4x^{2}-9x^{2}+6x + 3mx - 2m\\=&6x^{3}+(-4x^{2}-9x^{2})+(6x + 3mx)- 2m\\=&6x^{3}-13x^{2}+(6 + 3m)x - 2m\end{aligned}$
- **步骤二：根据条件求出$m$的值**
因为乘积不含$x$的一次项，即一次项系数为$0$。
在$6x^{3}-13x^{2}+(6 + 3m)x - 2m$中，一次项系数为$6 + 3m$，所以可得$6 + 3m = 0$。
解这个方程：
$\begin{aligned}6 + 3m &= 0\\3m &= -6\\m &= -2\end{aligned}$
- **步骤三：求出这两个多项式的积**
把$m = -2$代入$6x^{3}-13x^{2}+(6 + 3m)x - 2m$中，可得：
$\begin{aligned}&6x^{3}-13x^{2}+(6 + 3\times(-2))x - 2\times(-2)\\=&6x^{3}-13x^{2}+(6 - 6)x + 4\\=&6x^{3}-13x^{2}+ 4\end{aligned}$
【答案】：$m=-2$；$6x^{3}-13x^{2}+ 4$
本题可先根据多项式乘法法则求出两个多项式的乘积，再根据乘积不含$x$的一次项这一条件求出$m$的值，最后得出这两个多项式的积。
- **步骤一：计算$(2x^{2}-3x + m)(3x - 2)$的乘积**
根据多项式与多项式相乘的法则：先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。
$\begin{aligned}&(2x^{2}-3x + m)(3x - 2)\\=&2x^{2}\times3x - 2x^{2}\times2 - 3x\times3x + 3x\times2 + m\times3x - m\times2\\=&6x^{3}-4x^{2}-9x^{2}+6x + 3mx - 2m\\=&6x^{3}+(-4x^{2}-9x^{2})+(6x + 3mx)- 2m\\=&6x^{3}-13x^{2}+(6 + 3m)x - 2m\end{aligned}$
- **步骤二：根据条件求出$m$的值**
因为乘积不含$x$的一次项，即一次项系数为$0$。
在$6x^{3}-13x^{2}+(6 + 3m)x - 2m$中，一次项系数为$6 + 3m$，所以可得$6 + 3m = 0$。
解这个方程：
$\begin{aligned}6 + 3m &= 0\\3m &= -6\\m &= -2\end{aligned}$
- **步骤三：求出这两个多项式的积**
把$m = -2$代入$6x^{3}-13x^{2}+(6 + 3m)x - 2m$中，可得：
$\begin{aligned}&6x^{3}-13x^{2}+(6 + 3\times(-2))x - 2\times(-2)\\=&6x^{3}-13x^{2}+(6 - 6)x + 4\\=&6x^{3}-13x^{2}+ 4\end{aligned}$
【答案】：$m=-2$；$6x^{3}-13x^{2}+ 4$
10. 用长为12米的木条做成一个长方形的窗框(中间有一横条,如图),设窗框的横条长度为$ x $米。
(1) 用代数式表示窗框的面积$ S $。
(2) 当$ x $的值分别取1,2,3时,哪种情况做成的窗框的面积最大?
(1) 用代数式表示窗框的面积$ S $。
(2) 当$ x $的值分别取1,2,3时,哪种情况做成的窗框的面积最大?
答案
【解析】：
(1) 已知木条长$12$米，横条长度为$x$米，因为长方形窗框中间有一横条，所以长方形窗框的竖条总长度为$12 - 3x$米，那么竖条长度为$\frac{12 - 3x}{2}$米。
根据长方形面积公式$S = 长\times宽$，可得$S=x\cdot\frac{12 - 3x}{2}=-\frac{3}{2}x^{2}+6x$。
(2) 当$x = 1$时，$S=-\frac{3}{2}\times1^{2}+6\times1=-\frac{3}{2}+6=\frac{9}{2}=4.5$平方米；
当$x = 2$时，$S=-\frac{3}{2}\times2^{2}+6\times2=-6 + 12 = 6$平方米；
当$x = 3$时，$S=-\frac{3}{2}\times3^{2}+6\times3=-\frac{27}{2}+18=\frac{9}{2}=4.5$平方米。
比较$4.5$，$6$，$4.5$的大小，可得$6\gt4.5$。
【答案】：
(1)$S = -\frac{3}{2}x^{2}+6x$；
(2)当$x = 2$时，做成的窗框面积最大。
(1) 已知木条长$12$米，横条长度为$x$米，因为长方形窗框中间有一横条，所以长方形窗框的竖条总长度为$12 - 3x$米，那么竖条长度为$\frac{12 - 3x}{2}$米。
根据长方形面积公式$S = 长\times宽$，可得$S=x\cdot\frac{12 - 3x}{2}=-\frac{3}{2}x^{2}+6x$。
(2) 当$x = 1$时，$S=-\frac{3}{2}\times1^{2}+6\times1=-\frac{3}{2}+6=\frac{9}{2}=4.5$平方米；
当$x = 2$时，$S=-\frac{3}{2}\times2^{2}+6\times2=-6 + 12 = 6$平方米；
当$x = 3$时，$S=-\frac{3}{2}\times3^{2}+6\times3=-\frac{27}{2}+18=\frac{9}{2}=4.5$平方米。
比较$4.5$，$6$，$4.5$的大小，可得$6\gt4.5$。
【答案】：
(1)$S = -\frac{3}{2}x^{2}+6x$；
(2)当$x = 2$时，做成的窗框面积最大。
设$ 2^{a}=3,2^{b}=6,2^{c}=12 $。现给出实数$ a, b, c $三者之间的四个关系式:①$ a+c=2 b $;②$ a+b=2 c-3 $;③$ b+c=2 a+3 $;④$ b^{2}-a c=1 $。判断这四个关系式是否正确,并说明理由。
答案
【解析】：
本题可根据已知条件，结合指数运算法则，将$a$、$b$、$c$之间的关系转化为指数形式，再根据指数的性质进行判断。
- **判断①$a + c = 2b$是否正确：**
已知$2^a = 3$，$2^b = 6$，$2^c = 12$。
根据指数运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$2^a\times2^c = 2^{a + c}$，则$2^{a + c}=3\times12 = 36$。
又因为$(2^b)^2 = 2^{2b}$，所以$2^{2b}=6^2 = 36$。
由于$2^{a + c}=2^{2b}$，根据指数的性质：若两个同底数幂相等，则它们的指数相等，可得$a + c = 2b$，故①**正确**。
- **判断②$a + b = 2c - 3$是否正确：**
同样根据指数运算法则，$2^a\times2^b = 2^{a + b}$，则$2^{a + b}=3\times6 = 18$。
而$2^{2c - 3}=\frac{2^{2c}}{2^3}=\frac{(2^c)^2}{8}$，将$2^c = 12$代入可得$\frac{12^2}{8}=\frac{144}{8} = 18$。
因为$2^{a + b}=2^{2c - 3}$，所以$a + b = 2c - 3$，故②**正确**。
- **判断③$b + c = 2a + 3$是否正确：**
由指数运算法则可得$2^b\times2^c = 2^{b + c}$，则$2^{b + c}=6\times12 = 72$。
$2^{2a + 3}=2^{2a}\times2^3=(2^a)^2\times8$，将$2^a = 3$代入可得$3^2\times8 = 9\times8 = 72$。
因为$2^{b + c}=2^{2a + 3}$，所以$b + c = 2a + 3$，故③**正确**。
- **判断④$b^2 - ac = 1$是否正确：**
由$2^a = 3$，$2^b = 6$，$2^c = 12$可得$a = \log_2 3$，$b = \log_2 6$，$c = \log_2 12$。
将其代入$b^2 - ac$可得：
$(\log_2 6)^2 - \log_2 3\times\log_2 12$
$= (\log_2 (2\times3))^2 - \log_2 3\times\log_2 (3\times 4)$
根据对数运算法则$\log_a(MN)=\log_a M + \log_a N$，进一步化简可得：
$(\log_2 2 + \log_2 3)^2 - \log_2 3\times(\log_2 3 + \log_2 4)$
$=(1 + \log_2 3)^2 - \log_2 3\times(\log_2 3 + 2)$
展开式子得：
$1 + 2\log_2 3 + (\log_2 3)^2 - (\log_2 3)^2 - 2\log_2 3 = 1$
所以$b^2 - ac = 1$，故④**正确**。
【答案】：①②③④都正确。
本题可根据已知条件，结合指数运算法则，将$a$、$b$、$c$之间的关系转化为指数形式，再根据指数的性质进行判断。
- **判断①$a + c = 2b$是否正确：**
已知$2^a = 3$，$2^b = 6$，$2^c = 12$。
根据指数运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$2^a\times2^c = 2^{a + c}$，则$2^{a + c}=3\times12 = 36$。
又因为$(2^b)^2 = 2^{2b}$，所以$2^{2b}=6^2 = 36$。
由于$2^{a + c}=2^{2b}$，根据指数的性质：若两个同底数幂相等，则它们的指数相等，可得$a + c = 2b$，故①**正确**。
- **判断②$a + b = 2c - 3$是否正确：**
同样根据指数运算法则，$2^a\times2^b = 2^{a + b}$，则$2^{a + b}=3\times6 = 18$。
而$2^{2c - 3}=\frac{2^{2c}}{2^3}=\frac{(2^c)^2}{8}$，将$2^c = 12$代入可得$\frac{12^2}{8}=\frac{144}{8} = 18$。
因为$2^{a + b}=2^{2c - 3}$，所以$a + b = 2c - 3$，故②**正确**。
- **判断③$b + c = 2a + 3$是否正确：**
由指数运算法则可得$2^b\times2^c = 2^{b + c}$，则$2^{b + c}=6\times12 = 72$。
$2^{2a + 3}=2^{2a}\times2^3=(2^a)^2\times8$，将$2^a = 3$代入可得$3^2\times8 = 9\times8 = 72$。
因为$2^{b + c}=2^{2a + 3}$，所以$b + c = 2a + 3$，故③**正确**。
- **判断④$b^2 - ac = 1$是否正确：**
由$2^a = 3$，$2^b = 6$，$2^c = 12$可得$a = \log_2 3$，$b = \log_2 6$，$c = \log_2 12$。
将其代入$b^2 - ac$可得：
$(\log_2 6)^2 - \log_2 3\times\log_2 12$
$= (\log_2 (2\times3))^2 - \log_2 3\times\log_2 (3\times 4)$
根据对数运算法则$\log_a(MN)=\log_a M + \log_a N$，进一步化简可得：
$(\log_2 2 + \log_2 3)^2 - \log_2 3\times(\log_2 3 + \log_2 4)$
$=(1 + \log_2 3)^2 - \log_2 3\times(\log_2 3 + 2)$
展开式子得：
$1 + 2\log_2 3 + (\log_2 3)^2 - (\log_2 3)^2 - 2\log_2 3 = 1$
所以$b^2 - ac = 1$，故④**正确**。
【答案】：①②③④都正确。
