1. 已知$\triangle ABC$,两个完全一样的三角板如图摆放,它们的一组对应直角边分别在AB,AC上,且这组对应边所对的顶点重合于点M,点M一定在()

A.$∠B$的平分线上
B.$∠A$的平分线上
C.AC边的高上
D.AB边的中线上

B

2. 如图,$∠AOB= 70^{\circ },QC⊥OA$于点C,$QD⊥OB$于点D,若$QC= QD$,则$∠CQO$的度数为____.

$55^{\circ}$

3. 如图,点O在$\triangle ABC$内部,且到三边的距离相等.若$∠A= 60^{\circ }$,则$∠BOC$的度数为____.

$120^{\circ}$

4. (教材变式)如图,已知$BE⊥AC$于点E,$CF⊥AB$于点F,BE,CF相交于点D,$BD= CD$. 求证:AD平分$∠BAC$.

证明：$\because BE\perp AC,CF\perp AB$，
$\therefore \angle BFD=\angle CED = 90^{\circ}$。
在$\triangle DFB$和$\triangle DEC$中，
$\left\{\begin{array}{l} \angle DFB=\angle DEC = 90^{\circ},\\ \angle BDF=\angle CDE,\\ BD = CD,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle DFB\cong \triangle DEC(AAS)$，
$\therefore DE = DF$。
又$\because DE\perp AC,DF\perp AB$，
$\therefore AD$平分$\angle BAC$。

5. (教材变式)如图,$∠A= ∠B= 90^{\circ }$,E为AB的中点,DE平分$∠ADC$.
(1)求证:CE平分$∠BCD$;
(2)求证:$AD+BC= CD$.

证明：(1)过点$E$作$EF\perp CD$于点$F$。
$\because DE$平分$\angle ADC$，
$\therefore \angle ADE=\angle CDE$。
$\because EA\perp AD$，
$\therefore EA = EF$。
$\because EA = EB$，
$\therefore EB = EF$。
$\because EB\perp BC,EF\perp CD$，
$\therefore CE$平分$\angle BCD$；
(2)由(1)可得$EA = EF = EB$。
$\because ED = ED,EC = EC$，
$\therefore \triangle ADE\cong \triangle FDE$，
$\triangle BEC\cong \triangle FEC$，
$\therefore AD = DF,BC = CF$，
$\therefore AD + BC = CD$。