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5. 如图1,$AB// CD$,要求用尺规在$CD上取一点H$,使得$AH平分\angle BAC$,下面是两位同学的做法.
小明：如图2,以点$A$为圆心,适当长度为半径画弧分别交$AC$,$AB于点E$,$F$,再分别以$E$,$F$为圆心,大于$\frac{1}{2}EF的长度为半径画弧交于点G$,连结并延长$AG交CD于点H$.
小红：你的作图是正确的,我的做法和你不一样,如图3,以$C$为圆心,$CA$为半径画弧,与$CD的交点就是点H$.
(1) 请证明小明的做法是正确的.
(2) 小红的做法正确吗？请说明理由.
小明：如图2,以点$A$为圆心,适当长度为半径画弧分别交$AC$,$AB于点E$,$F$,再分别以$E$,$F$为圆心,大于$\frac{1}{2}EF的长度为半径画弧交于点G$,连结并延长$AG交CD于点H$.
小红：你的作图是正确的,我的做法和你不一样,如图3,以$C$为圆心,$CA$为半径画弧,与$CD的交点就是点H$.
(1) 请证明小明的做法是正确的.
(2) 小红的做法正确吗？请说明理由.
答案
$ (1) $证明：由小明的作图可知，$AE = AF，$$EG = FG，$$AG = AG，$所以$ \triangle AEG\cong\triangle AFG（SSS），$则$ \angle EAG=\angle FAG，$即$ AG $平分$ \angle BAC。$又因为$ AB// CD，$所以$ \angle BAH=\angle AHC（$两直线平行，内错角相等$），$且$ \angle BAH=\angle HAC，$所以$ \angle HAC=\angle AHC，$所以$ AH $平分$ \angle BAC，$小明的做法正确。
$ (2) $解$:$正确。理由：
连接$AH$
易知$CA=CH$
∴$∠CAH=∠AHC$
∵$AB//CD$
∴$∠BAH=∠AHC$
∴$∠CAH=∠BAH$
∴$AH$平分$∠BAC$
