4. 写出命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题,并判断逆命题的真假. 若是假命题,请举一个反例说明;若是真命题,请画出图形,写出已知与求证,并证明.

一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形；真命题，证明略

5. 如图甲,A,E,F,C在一条直线上,$AE= CF$,过E,F分别作$DE⊥AC$,$BF⊥AC$,若$AB= CD$,试证明BD平分EF. 若将$△DEC$的边EC沿AC方向移动变为图乙时,其余条件不变,上述结论是否成立? 请说明理由.

证明图甲中$BD$平分$EF$
- **步骤一：证明$Rt\triangle ABF\cong Rt\triangle CDE$
已知$AE = CF$，则$AE+EF=CF + EF$，即$AF = CE$。
因为$DE\perp AC$，$BF\perp AC$，所以$\angle AFB=\angle CED = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle ABF$和$Rt\triangle CDE$中，$\begin{cases}AB = CD\\AF = CE\end{cases}$，根据$HL$（斜边 - 直角边）定理，可得$Rt\triangle ABF\cong Rt\triangle CDE$。
所以$BF = DE$。
步骤二：证明$\triangle BFG\cong\triangle DEG$
在$\triangle BFG$和$\triangle DEG$中，$\begin{cases}\angle BGF=\angle DGE\\\angle BFG=\angle DEG\\BF = DE\end{cases}$，根据$AAS$（角 - 角 - 边）定理，可得$\triangle BFG\cong\triangle DEG$。
所以$EG = FG$，即$BD$平分$EF$。
证明图乙中$BD$平分$EF$（结论成立）
步骤一：证明$Rt\triangle ABF\cong Rt\triangle CDE$
已知$AE = CF$，则$AE - EF=CF - EF$，即$AF = CE$。
因为$DE\perp AC$，$BF\perp AC$，所以$\angle AFB=\angle CED = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle ABF$和$Rt\triangle CDE$中，$\begin{cases}AB = CD\\AF = CE\end{cases}$，根据$HL$（斜边 - 直角边）定理，可得$Rt\triangle ABF\cong Rt\triangle CDE$。
所以$BF = DE$。
步骤二：证明$\triangle BFG\cong\triangle DEG$
在$\triangle BFG$和$\triangle DEG$中，$\begin{cases}\angle BGF=\angle DGE\\\angle BFG=\angle DEG\\BF = DE\end{cases}$，根据$AAS$（角 - 角 - 边）定理，可得$\triangle BFG\cong\triangle DEG$。
所以$EG = FG$，即$BD$平分$EF$。
综上，图甲中$BD$平分$EF$得证，图乙中上述结论**成立**。

1. 在四边形中,钝角最多有______个,直角最多有______个,锐角最多有______个。

3 4 3

2. 若一个四边形的四个内角度数之比为$2:2:3:5$,则最小内角的度数为______。

60°

3. 如图,用四个螺钉将四根不可弯曲的木条围成一个木框(不计螺钉大小),其中相邻两个螺钉的距离依次为2,3,4,6,且相邻两根木条的夹角均可调整。若调整木条的夹角时不破坏此木框,则任意两个螺钉的距离的最大值为()。
A. 5
B. 6
C. 7
D. 10

C

4. 如图,在六边形$ABCDEF$中,$∠C= ∠F$,$∠A= ∠D$,$BC// EF$。
(1)求证：$AF// CD$。
(2)求$∠A+∠B+∠C$的度数。

1. （1）证明：
延长$FA$，$CB$交于点$M$，延长$CD$，$FE$交于点$N$。
因为$BC// EF$，所以$\angle M+\angle F = 180^{\circ}$，$\angle N+\angle C = 180^{\circ}$。
又因为$\angle C=\angle F$，所以$\angle M=\angle N$。
因为$\angle MAB+\angle A = 180^{\circ}$，$\angle NDE+\angle D = 180^{\circ}$，且$\angle A=\angle D$，所以$\angle MAB=\angle NDE$。
在$\triangle MAB$和$\triangle NDE$中，$\angle M=\angle N$，$\angle MAB=\angle NDE$，所以$\angle MBA=\angle NED$。
因为$BC// EF$，所以$\angle MBA+\angle ABC = 180^{\circ}$，$\angle NED+\angle DEF = 180^{\circ}$，所以$\angle ABC=\angle DEF$。
六边形$ABCDEF$的内角和为$(6 - 2)×180^{\circ}=720^{\circ}$，即$\angle A+\angle B+\angle C+\angle D+\angle E+\angle F = 720^{\circ}$。
因为$\angle A=\angle D$，$\angle C=\angle F$，$\angle B=\angle E$，所以$2(\angle A+\angle B+\angle C)=720^{\circ}$，$\angle A+\angle B+\angle C = 360^{\circ}$。
又因为$\angle M+\angle F = 180^{\circ}$，$\angle C=\angle F$，$\angle MAB+\angle A = 180^{\circ}$，$\angle N+\angle C = 180^{\circ}$，$\angle NDE+\angle D = 180^{\circ}$，$\angle A=\angle D$，$\angle M=\angle N$，所以$\angle FAB+\angle BCD=360^{\circ}-(\angle MAB+\angle NDE)=360^{\circ}-(180^{\circ}-\angle A + 180^{\circ}-\angle D)=2\angle A$。
设$AF$与$CD$不平行，设$AF$与$CD$的延长线相交于点$P$，则$\angle P+\angle FAB+\angle BCD=180^{\circ}$（三角形内角和为$180^{\circ}$），这与$\angle FAB+\angle BCD = 2\angle A$矛盾（因为$\angle A\gt0^{\circ}$），所以$AF// CD$。
2. （2）
解：
六边形$ABCDEF$的内角和$S=(n - 2)×180^{\circ}$（$n = 6$），$S=(6 - 2)×180^{\circ}=720^{\circ}$。
因为$\angle A=\angle D$，$\angle B=\angle E$，$\angle C=\angle F$。
所以$\angle A+\angle B+\angle C=\frac{1}{2}×720^{\circ}=360^{\circ}$。
综上，（1）得证$AF// CD$；（2）$\angle A+\angle B+\angle C$的度数为$360^{\circ}$。

5. 一个人从点$M$出发,前进20米,向右转$15^{\circ}$,再前进20米,又向右转$15^{\circ}$……照这样走下去,他能不能回到点$M$？如果能,他回到点$M$时,一共走了多少米？如果不能,请说明理由。

解：能回到点$M$。
因为多边形外角和为$360^{\circ}$，每次向右转$15^{\circ}$，所以转的次数$n = \dfrac{360}{15}=24$（次）。
每次走$20$米，一共走的路程$S = 20×24 = 480$（米）。
综上，他能回到点$M$，一共走了$480$米。