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一、选择题(每小题3分,共30分)
1. 下列式子一定是二次根式的是 ()
A. $\sqrt{-x-2}$ B. $\sqrt{x}$ C. $\sqrt{3}$ D. $\sqrt{-3}$
1. 下列式子一定是二次根式的是 ()
A. $\sqrt{-x-2}$ B. $\sqrt{x}$ C. $\sqrt{3}$ D. $\sqrt{-3}$
答案
解：根据二次根式的定义，形如$\sqrt{a}$（$a≥0$）的式子是二次根式。
选项A：$\sqrt{-x-2}$，被开方数$-x-2$的值可能为负数，不一定满足$a≥0$，故不一定是二次根式；
选项B：$\sqrt{x}$，被开方数$x$的值可能为负数，不一定满足$a≥0$，故不一定是二次根式；
选项C：$\sqrt{3}$，被开方数$3＞0$，满足$a≥0$，一定是二次根式；
选项D：$\sqrt{-3}$，被开方数$-3＜0$，不满足$a≥0$，不是二次根式。
综上，答案选C。
选项A：$\sqrt{-x-2}$，被开方数$-x-2$的值可能为负数，不一定满足$a≥0$，故不一定是二次根式；
选项B：$\sqrt{x}$，被开方数$x$的值可能为负数，不一定满足$a≥0$，故不一定是二次根式；
选项C：$\sqrt{3}$，被开方数$3＞0$，满足$a≥0$，一定是二次根式；
选项D：$\sqrt{-3}$，被开方数$-3＜0$，不满足$a≥0$，不是二次根式。
综上，答案选C。
2. 若二次根式$\sqrt{1-x}$在实数范围内有意义,则实数x的取值范围在数轴上表示为 ()
答案
C
解析
根据二次根式有意义的条件，被开方数需为非负数，即$1-x≥0$，解不等式得$x≤1$。在数轴上表示该取值范围时，数字1处为实心点，且向左延伸，对应选项C。
3. 下列计算错误的是 ()
A.$\sqrt{14} × \sqrt{7}=7\sqrt{2}$
B.$\sqrt{60} ÷ \sqrt{5}=2\sqrt{3}$
C.$\sqrt{9a}+\sqrt{25a}=8\sqrt{a}$
D.$3\sqrt{2}-\sqrt{2}=3$
A.$\sqrt{14} × \sqrt{7}=7\sqrt{2}$
B.$\sqrt{60} ÷ \sqrt{5}=2\sqrt{3}$
C.$\sqrt{9a}+\sqrt{25a}=8\sqrt{a}$
D.$3\sqrt{2}-\sqrt{2}=3$
答案
D
解析
分别计算各选项：
A. $\sqrt{14} × \sqrt{7}=\sqrt{14×7}=\sqrt{98}=7\sqrt{2}$，计算正确；
B. $\sqrt{60} ÷ \sqrt{5}=\sqrt{60÷5}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，计算正确；
C. $\sqrt{9a}+\sqrt{25a}=3\sqrt{a}+5\sqrt{a}=8\sqrt{a}$，计算正确；
D. $3\sqrt{2}-\sqrt{2}=(3-1)\sqrt{2}=2\sqrt{2}≠3$，计算错误。
A. $\sqrt{14} × \sqrt{7}=\sqrt{14×7}=\sqrt{98}=7\sqrt{2}$，计算正确；
B. $\sqrt{60} ÷ \sqrt{5}=\sqrt{60÷5}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，计算正确；
C. $\sqrt{9a}+\sqrt{25a}=3\sqrt{a}+5\sqrt{a}=8\sqrt{a}$，计算正确；
D. $3\sqrt{2}-\sqrt{2}=(3-1)\sqrt{2}=2\sqrt{2}≠3$，计算错误。
4. 下列各组数中,能成为直角三角形三条边长的是 ()
A.3,5,7
B.5,7,8
C.4,6,7
D.$1,\sqrt{3},2$
A.3,5,7
B.5,7,8
C.4,6,7
D.$1,\sqrt{3},2$
答案
D
解析
根据勾股定理的逆定理，验证各组数中两短边的平方和是否等于最长边的平方：
选项A：$3^2+5^2=9+25=34$，$7^2=49$，$34≠49$，不能构成直角三角形；
选项B：$5^2+7^2=25+49=74$，$8^2=64$，$74≠64$，不能构成直角三角形；
选项C：$4^2+6^2=16+36=52$，$7^2=49$，$52≠49$，不能构成直角三角形；
选项D：$1^2+(\sqrt{3})^2=1+3=4$，$2^2=4$，$4=4$，能构成直角三角形。
选项A：$3^2+5^2=9+25=34$，$7^2=49$，$34≠49$，不能构成直角三角形；
选项B：$5^2+7^2=25+49=74$，$8^2=64$，$74≠64$，不能构成直角三角形；
选项C：$4^2+6^2=16+36=52$，$7^2=49$，$52≠49$，不能构成直角三角形；
选项D：$1^2+(\sqrt{3})^2=1+3=4$，$2^2=4$，$4=4$，能构成直角三角形。
5. 如图,点P是平面直角坐标系中的一点,则点P到原点的距离是 ()
A.3
B.$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{7}$
D.$\sqrt{53}$
A.3
B.$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{7}$
D.$\sqrt{53}$
答案
A
解析
根据勾股定理，点$ P(x,y) $到原点的距离为$\sqrt{x^2+y^2}$。将$ P(\sqrt{2},\sqrt{7}) $代入，得距离为$\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{7})^2}=\sqrt{2+7}=\sqrt{9}=3$。
6. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$CF$是边$AB$上的中线,
$D,E$分别是$AC,BC$的中点.若$DE=3$,则$CF=$ ()
A.1.5
B.3
C.6
D.9
$D,E$分别是$AC,BC$的中点.若$DE=3$,则$CF=$ ()
A.1.5
B.3
C.6
D.9
答案
B
解析
1. 由于D、E分别是AC、BC的中点，故DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理，可得$DE=\frac{1}{2}AB$。
2. 已知$DE=3$，因此$AB=2DE=6$。
3. 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，CF是AB边上的中线，根据直角三角形斜边中线的性质，可得$CF=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$。
2. 已知$DE=3$，因此$AB=2DE=6$。
3. 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，CF是AB边上的中线，根据直角三角形斜边中线的性质，可得$CF=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$。
7. 在四边形$ABCD$中,$AD// BC$,$AB=CD$.下列条件中,能使四边形$ABCD$为矩形的是 ()
A.$AB// CD$
B.$AD=BC$
C.$∠ A=∠ B$
D.$∠ A=∠ D$
A.$AB// CD$
B.$AD=BC$
C.$∠ A=∠ B$
D.$∠ A=∠ D$
答案
C
解析
已知四边形$ABCD$中，$AD// BC$，$AB=CD$，则该四边形为等腰梯形或平行四边形。
选项A：$AB// CD$，可推出四边形$ABCD$是平行四边形，但无法确定有直角，不能判定为矩形；
选项B：$AD=BC$，可推出四边形$ABCD$是平行四边形，但无法确定有直角，不能判定为矩形；
选项C：因为$AD// BC$，所以$∠ A+∠ B=180°$，又$∠ A=∠ B$，则$∠ A=∠ B=90°$，结合$AD// BC$，$AB=CD$，可判定四边形$ABCD$为矩形；
选项D：$∠ A=∠ D$是等腰梯形的固有性质，无法判定为矩形。
综上，能使四边形$ABCD$为矩形的是选项C。
选项A：$AB// CD$，可推出四边形$ABCD$是平行四边形，但无法确定有直角，不能判定为矩形；
选项B：$AD=BC$，可推出四边形$ABCD$是平行四边形，但无法确定有直角，不能判定为矩形；
选项C：因为$AD// BC$，所以$∠ A+∠ B=180°$，又$∠ A=∠ B$，则$∠ A=∠ B=90°$，结合$AD// BC$，$AB=CD$，可判定四边形$ABCD$为矩形；
选项D：$∠ A=∠ D$是等腰梯形的固有性质，无法判定为矩形。
综上，能使四边形$ABCD$为矩形的是选项C。
