8. 一个多边形的每一个外角都等于$36°$,则该多边形的内角和等于 ()

A.$1080°$
B.$900°$
C.$1440°$
D.$720°$

C

1. 多边形外角和为360°，已知每个外角为36°，则边数$n=360°÷36°=10$；
2. 根据多边形内角和公式$(n-2)×180°$，代入$n=10$，得内角和为$(10-2)×180°=1440°$。

9. 如图,已知在菱形$ABCD$中,对角线$AC$与$BD$相交于点$O$,
$∠ BAD=120°$,$AC=4$,则该菱形的面积是 ()

A.$16\sqrt{3}$
B.16
C.$8\sqrt{3}$
D.8

C

1. 已知四边形ABCD是菱形，故$AC⊥ BD$，$AO=\frac{1}{2}AC=2$，$BD=2BO$，且$∠ BAC=\frac{1}{2}∠ BAD=60°$。
2. 在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，$∠ AOB=90°$，$∠ ABO=30°$，因此$AB=2AO=4$。
3. 由勾股定理计算得：$BO=\sqrt{AB^2-AO^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，则$BD=4\sqrt{3}$。
4. 根据菱形面积公式，面积$=\frac{1}{2}× AC× BD=\frac{1}{2}×4×4\sqrt{3}=8\sqrt{3}$。

10. 如图,在正方形$ABCD$中,对角线$AC,BD$相交于点$O,E$,
$F$分别为$AO,DO$上的一点,且$EF// AD$,连接$AF,DE$.若$∠ FAC=15°$,则$∠ AED$的度数为 ()

A.$80°$
B.$90°$
C.$105°$
D.$115°$

C

1. 正方形$ABCD$中，对角线$AC$、$BD$交于$O$，故$OA=OD$，$∠ AOD=90°$，$∠ OAD=∠ ODA=45°$。
2. 因为$EF// AD$，所以$∠ OEF=∠ OAD=45°$，$∠ OFE=∠ ODA=45°$，得$OE=OF$，因此$OA-OE=OD-OF$，即$AE=DF$。
3. 在$△ ADE$和$△ DAF$中：
$AD=DA$，$∠ DAE=∠ ADF=45°$，$AE=DF$，
所以$△ ADE≌△ DAF$（$\mathrm{SAS}$），故$∠ ADE=∠ DAF$。
4. 由$∠ FAC=15°$，$∠ DAC=45°$，得$∠ DAF=∠ DAC-∠ FAC=45°-15°=30°$，即$∠ ADE=30°$。
5. 在$△ AED$中，$∠ AED=180°-∠ EAD-∠ ADE=180°-45°-30°=105°$。

二、填空题(每小题3分,共15分)
11. 已知$(x-y+3)^{2}+\sqrt{2-y}=0$,则$x+y=$.

解：
因为$(x-y+3)^{2} ≥ 0$，$\sqrt{2-y} ≥ 0$，且$(x-y+3)^{2}+\sqrt{2-y}=0$，
所以$\begin{cases} x-y+3=0 \\ 2-y=0 \end{cases}$
由$2-y=0$，得$y=2$，
将$y=2$代入$x-y+3=0$，得$x-2+3=0$，解得$x=-1$，
则$x+y=-1+2=1$。

12. 计算:$\sqrt{8}-\sqrt{2}=$.

$\sqrt{2}$

先化简二次根式，$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，再合并同类二次根式：$2\sqrt{2}-\sqrt{2}=(2-1)\sqrt{2}=\sqrt{2}$。

13. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$AB=4$,$BC=3$.若$DE$是$△ ABC$的中位线,延长$DE$交$△ ABC$的外角平分线于点$F$,则线段$DF$的长为.

4

1. 在$Rt△ABC$中，根据勾股定理，$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$；
2. 因为$DE$是$△ABC$的中位线，所以$DE// BC$，$DE=\frac{1}{2}BC=\frac{3}{2}$，且$E$为$AC$中点，故$EC=\frac{1}{2}AC=\frac{5}{2}$；
3. 由于$CF$平分$△ABC$的外角$∠ACM$，则$∠FCM=∠ECF$；
4. 由$DE// BC$，得$∠F=∠FCM$，因此$∠F=∠ECF$，即$EF=EC=\frac{5}{2}$；
5. 计算$DF=DE+EF=\frac{3}{2}+\frac{5}{2}=4$。

14. 如图,在矩形$ABCD$中,$∠ BAC=60°$,以点$A$为圆心,任意长为半径画弧,分别交$AB,AC$于点$M,N$,再分别以点$M$,
$N$为圆心,大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径画弧相交于点$P$,作射线$AP$交$BC$于点$E$.若$BE=1$,则矩形$ABCD$的面积等于.

$\boldsymbol{3\sqrt{3}}$

1. 由矩形性质得$∠ ABC=90°$，已知$∠ BAC=60°$，故$∠ ACB=30°$。
2. 根据尺规作图可知$AP$平分$∠ BAC$，因此$∠ BAE=∠ CAE=30°$。
3. 在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$BE=1$，$∠ BAE=30°$，由三角函数得$AB=BE÷\tan30°=\sqrt{3}$。
4. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC=60°$，$AB=\sqrt{3}$，由三角函数得$BC=AB×\tan60°=3$。
5. 矩形$ABCD$的面积$=AB× BC=\sqrt{3}×3=3\sqrt{3}$。

15. 把一张矩形纸片$ABCD$按如图所示的方式折叠,使点$B$和点$D$重合,折痕为$EF$.若$AB=4\ \mathrm{cm}$,$BC=8\ \mathrm{cm}$,则折痕$EF$的长是.

$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$

设$AE=x\ \mathrm{cm}$，由折叠性质得$ED=EB=(8-x)\ \mathrm{cm}$。在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，根据勾股定理：$AB^2+AE^2=EB^2$，即$4^2+x^2=(8-x)^2$，解得$x=3$，则$ED=5\ \mathrm{cm}$。
连接$BD$，在矩形$ABCD$中，$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$，故$OD=\frac{1}{2}BD=2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
由折叠性质知$EF⊥ BD$，在$\mathrm{Rt}△ EOD$中，$EO=\sqrt{ED^2-OD^2}=\sqrt{5^2-(2\sqrt{5})^2}=\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
因为$AD// BC$，易证$△ EOD≌△ FOB$（ASA），得$EO=FO$，所以$EF=2EO=2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。