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7. 如图2-1-5，若$∠ A + ∠ ABC = 180°$，则下列结论一定正确的是(
A.$∠ 1 = ∠ 2$
B.$∠ 2 = ∠ 3$
C.$∠ 1 = ∠ 3$
D.$∠ 2 = ∠ 4$
D
).A.$∠ 1 = ∠ 2$
B.$∠ 2 = ∠ 3$
C.$∠ 1 = ∠ 3$
D.$∠ 2 = ∠ 4$
答案
7.D
解析
【分析】
解题时首先从已知条件入手，∠A与∠ABC是直线AD、BC被直线AB所截形成的同旁内角，同旁内角互补可判定两条直线平行，得到AD//BC；再结合平行线的性质，分析两条平行线被不同截线所截形成的角的关系，逐一判断选项即可。
【解析】
解：
∵∠A + ∠ABC = 180°，
∴AD//BC（同旁内角互补，两直线平行）。
∵AD//BC，BD为截线，
∴∠2 = ∠4（两直线平行，内错角相等），故D选项正确。
对于A选项：∠1=∠2需要满足AB//CD，题干未给出该判定条件，不一定成立；
对于B、C选项：∠3与∠1、∠2的数量关系没有足够的已知条件支撑，不一定成立。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；内错角
【点评】
本题核心考查平行线的判定与性质的综合应用，解题的关键是准确识别同旁内角、内错角对应的截线与被截直线，明确平行线判定是由角的关系推平行，性质是由平行推角的关系，避免混淆二者的使用逻辑。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知条件入手，∠A与∠ABC是直线AD、BC被直线AB所截形成的同旁内角，同旁内角互补可判定两条直线平行，得到AD//BC；再结合平行线的性质，分析两条平行线被不同截线所截形成的角的关系，逐一判断选项即可。
【解析】
解：
∵∠A + ∠ABC = 180°，
∴AD//BC（同旁内角互补，两直线平行）。
∵AD//BC，BD为截线，
∴∠2 = ∠4（两直线平行，内错角相等），故D选项正确。
对于A选项：∠1=∠2需要满足AB//CD，题干未给出该判定条件，不一定成立；
对于B、C选项：∠3与∠1、∠2的数量关系没有足够的已知条件支撑，不一定成立。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；内错角
【点评】
本题核心考查平行线的判定与性质的综合应用，解题的关键是准确识别同旁内角、内错角对应的截线与被截直线，明确平行线判定是由角的关系推平行，性质是由平行推角的关系，避免混淆二者的使用逻辑。
【难度系数】
0.7
8. 如图2-1-6，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD. 若∠AOC=58°，则∠EOB的度数为
32°
.答案
8.32°
解析
【分析】
解题时先结合图形梳理已知条件：①直线AB与CD相交于点O，可得到一组对顶角∠AOC和∠BOD；②OE⊥CD，说明OE与CD的夹角为90°。解题思路如下：第一步，利用对顶角相等的性质，求出与∠AOC相等的∠BOD的度数；第二步，根据垂直的定义得到∠EOD=90°，观察图形可知∠EOB是∠EOD减去∠BOD的差，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵直线AB，CD相交于点O，∠AOC=58°
∴∠BOD=∠AOC=58°（对顶角相等）
∵OE⊥CD
∴∠EOD=90°（垂直的定义）
∴∠EOB=∠EOD - ∠BOD=90°-58°=32°
【答案】
32°
【知识点】
对顶角的性质；垂直的定义
【点评】
本题属于相交线相关的基础计算题，解题关键是结合图形找准角的位置关系和和差关系，熟练掌握对顶角相等、垂直的定义即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先结合图形梳理已知条件：①直线AB与CD相交于点O，可得到一组对顶角∠AOC和∠BOD；②OE⊥CD，说明OE与CD的夹角为90°。解题思路如下：第一步，利用对顶角相等的性质，求出与∠AOC相等的∠BOD的度数；第二步，根据垂直的定义得到∠EOD=90°，观察图形可知∠EOB是∠EOD减去∠BOD的差，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵直线AB，CD相交于点O，∠AOC=58°
∴∠BOD=∠AOC=58°（对顶角相等）
∵OE⊥CD
∴∠EOD=90°（垂直的定义）
∴∠EOB=∠EOD - ∠BOD=90°-58°=32°
【答案】
32°
【知识点】
对顶角的性质；垂直的定义
【点评】
本题属于相交线相关的基础计算题，解题关键是结合图形找准角的位置关系和和差关系，熟练掌握对顶角相等、垂直的定义即可快速求解。
【难度系数】
0.8
9. 如图2-1-7，给出下列条件：①∠1=∠2；②∠3=∠4；③∠A=∠CDE；④∠ADC+∠C=180°.其中，能推出AD//BC的条件有
图2-1-7
图2-1-8
②④
.（填序号）图2-1-7
图2-1-8
答案
9.②④
解析
【分析】
要判断哪些条件能推出AD//BC，需依据平行线的判定定理：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行。解题时先明确每个条件中的两个角是哪两条直线被第三条直线所截形成的角，再对应判定定理判断是否能推出AD与BC平行即可。
【解析】
我们逐个分析给出的条件：
1. 条件①∠1=∠2：∠1和∠2是直线AB、CD被直线AC所截形成的内错角，根据内错角相等，两直线平行，可推出AB//CD，不能推出AD//BC，故①不符合要求；
2. 条件②∠3=∠4：∠3和∠4是直线AD、BC被直线BD所截形成的内错角，根据内错角相等，两直线平行，可推出AD//BC，故②符合要求；
3. 条件③∠A=∠CDE：∠A和∠CDE是直线AB、CD被直线AE所截形成的同位角，根据同位角相等，两直线平行，可推出AB//CD，不能推出AD//BC，故③不符合要求；
4. 条件④∠ADC+∠C=180°：∠ADC和∠C是直线AD、BC被直线CD所截形成的同旁内角，根据同旁内角互补，两直线平行，可推出AD//BC，故④符合要求。
综上，能推出AD//BC的条件是②④。
【答案】
②④
【知识点】
平行线的判定；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行
【点评】
本题考查平行线的判定应用，解题的关键是准确区分角的位置关系，找准截线和被截直线，避免因混淆被截直线出现判断错误。
【难度系数】
0.7
要判断哪些条件能推出AD//BC，需依据平行线的判定定理：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行。解题时先明确每个条件中的两个角是哪两条直线被第三条直线所截形成的角，再对应判定定理判断是否能推出AD与BC平行即可。
【解析】
我们逐个分析给出的条件：
1. 条件①∠1=∠2：∠1和∠2是直线AB、CD被直线AC所截形成的内错角，根据内错角相等，两直线平行，可推出AB//CD，不能推出AD//BC，故①不符合要求；
2. 条件②∠3=∠4：∠3和∠4是直线AD、BC被直线BD所截形成的内错角，根据内错角相等，两直线平行，可推出AD//BC，故②符合要求；
3. 条件③∠A=∠CDE：∠A和∠CDE是直线AB、CD被直线AE所截形成的同位角，根据同位角相等，两直线平行，可推出AB//CD，不能推出AD//BC，故③不符合要求；
4. 条件④∠ADC+∠C=180°：∠ADC和∠C是直线AD、BC被直线CD所截形成的同旁内角，根据同旁内角互补，两直线平行，可推出AD//BC，故④符合要求。
综上，能推出AD//BC的条件是②④。
【答案】
②④
【知识点】
平行线的判定；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行
【点评】
本题考查平行线的判定应用，解题的关键是准确区分角的位置关系，找准截线和被截直线，避免因混淆被截直线出现判断错误。
【难度系数】
0.7
10. 如图2-1-8，纸片的边缘AB，CD互相平行，将纸片沿EF折叠，使得点B，D分别落在点$B'$，$D'$处. 若$∠1=50°$，则$∠2$的度数是________.
答案
10.65°
解析
【分析】
解题时先结合已知条件回忆相关性质：首先AB与CD平行，可利用平行线的内错角相等得到角的等量关系；其次折叠前后对应角相等，可得到折叠后重合的两个角相等。观察图形可知，∠1与两个折叠后相等的角共同组成平角，先计算出折叠后角的度数，再结合平行线性质就能求出∠2的度数。
【解析】
解：
∵AB//CD，根据“两直线平行，内错角相等”，
∴∠2=∠DEF。
由折叠的性质可得：∠D'EF=∠DEF。
∵∠1+∠D'EF+∠DEF=180°（平角的定义），∠1=50°，
∴50°+2∠DEF=180°，
解得∠DEF=65°，
∴∠2=∠DEF=65°。
【答案】
65°
【知识点】
平行线的性质；折叠的性质；平角的定义
【点评】
本题是几何基础题，将平行线性质与折叠问题结合，解题的核心是找准折叠前后相等的角，再利用角的和差关系和平行线的角的等量关系求解，是折叠类几何题的常见考法。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知条件回忆相关性质：首先AB与CD平行，可利用平行线的内错角相等得到角的等量关系；其次折叠前后对应角相等，可得到折叠后重合的两个角相等。观察图形可知，∠1与两个折叠后相等的角共同组成平角，先计算出折叠后角的度数，再结合平行线性质就能求出∠2的度数。
【解析】
解：
∵AB//CD，根据“两直线平行，内错角相等”，
∴∠2=∠DEF。
由折叠的性质可得：∠D'EF=∠DEF。
∵∠1+∠D'EF+∠DEF=180°（平角的定义），∠1=50°，
∴50°+2∠DEF=180°，
解得∠DEF=65°，
∴∠2=∠DEF=65°。
【答案】
65°
【知识点】
平行线的性质；折叠的性质；平角的定义
【点评】
本题是几何基础题，将平行线性质与折叠问题结合，解题的核心是找准折叠前后相等的角，再利用角的和差关系和平行线的角的等量关系求解，是折叠类几何题的常见考法。
【难度系数】
0.7
11. 如图2-1-9，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB.
(1)若∠1=40°，∠2=30°，求∠NOD的度数.
(2)如果∠1=∠2，那么ON与CD互相垂直吗？请说明理由.
(3)若∠1 = $\frac{1}{3}$∠BOC，求∠MOD的度数.
(1)若∠1=40°，∠2=30°，求∠NOD的度数.
(2)如果∠1=∠2，那么ON与CD互相垂直吗？请说明理由.
(3)若∠1 = $\frac{1}{3}$∠BOC，求∠MOD的度数.
答案
11.(1)100° (2)$ON ⊥ CD$，理由略. (3)135°
解析
【分析】
解题时先抓住核心已知条件OM⊥AB，可得∠AOM=∠BOM=90°，再结合对顶角相等、平角为180°的性质分别求解三小问：
(1) 先利用垂直的性质求出∠AOC的度数，再计算∠CON的度数，最后根据平角的定义求∠NOD；
(2) 要判断ON与CD是否垂直，只需证明∠CON=90°即可，结合∠1=∠2和∠1+∠AOC=90°推导即可；
(3) 先根据∠BOC和∠1的数量关系列方程求出∠1的度数，再结合对顶角相等求出∠BOD，最后计算∠MOD的度数。
【解析】
(1)
∵OM⊥AB，
∴∠AOM=90°，即∠1+∠AOC=90°。
已知∠1=40°，
∴∠AOC=90°-40°=50°。
又
∵∠2=30°，
∴∠CON=∠AOC+∠2=50°+30°=80°。
∵CD是直线，∠CON+∠NOD=180°，
∴∠NOD=180°-80°=100°。
(2) ON⊥CD，理由如下：
∵OM⊥AB，
∴∠AOM=90°，即∠1+∠AOC=90°。
又
∵∠1=∠2，
∴∠2+∠AOC=90°，即∠CON=90°，
∴ON⊥CD。
(3)
∵OM⊥AB，
∴∠BOM=90°，
∴∠BOC=∠1+∠BOM=∠1+90°。
已知∠1=$\frac{1}{3}$∠BOC，即∠BOC=3∠1，代入得3∠1=∠1+90°，解得∠1=45°。
∵∠AOC=∠AOM-∠1=90°-45°=45°，且∠BOD与∠AOC是对顶角，
∴∠BOD=∠AOC=45°。
∴∠MOD=∠BOM+∠BOD=90°+45°=135°。
【答案】
(1)100°；(2)$ON ⊥ CD$；(3)135°
【知识点】
垂直的定义；对顶角的性质；平角的性质
【点评】
本题考查相交线相关的角度计算，解题关键是熟练运用垂直、对顶角、平角的性质，结合已知条件逐步推导角度关系即可求解。
【难度系数】
0.7
解题时先抓住核心已知条件OM⊥AB，可得∠AOM=∠BOM=90°，再结合对顶角相等、平角为180°的性质分别求解三小问：
(1) 先利用垂直的性质求出∠AOC的度数，再计算∠CON的度数，最后根据平角的定义求∠NOD；
(2) 要判断ON与CD是否垂直，只需证明∠CON=90°即可，结合∠1=∠2和∠1+∠AOC=90°推导即可；
(3) 先根据∠BOC和∠1的数量关系列方程求出∠1的度数，再结合对顶角相等求出∠BOD，最后计算∠MOD的度数。
【解析】
(1)
∵OM⊥AB，
∴∠AOM=90°，即∠1+∠AOC=90°。
已知∠1=40°，
∴∠AOC=90°-40°=50°。
又
∵∠2=30°，
∴∠CON=∠AOC+∠2=50°+30°=80°。
∵CD是直线，∠CON+∠NOD=180°，
∴∠NOD=180°-80°=100°。
(2) ON⊥CD，理由如下：
∵OM⊥AB，
∴∠AOM=90°，即∠1+∠AOC=90°。
又
∵∠1=∠2，
∴∠2+∠AOC=90°，即∠CON=90°，
∴ON⊥CD。
(3)
∵OM⊥AB，
∴∠BOM=90°，
∴∠BOC=∠1+∠BOM=∠1+90°。
已知∠1=$\frac{1}{3}$∠BOC，即∠BOC=3∠1，代入得3∠1=∠1+90°，解得∠1=45°。
∵∠AOC=∠AOM-∠1=90°-45°=45°，且∠BOD与∠AOC是对顶角，
∴∠BOD=∠AOC=45°。
∴∠MOD=∠BOM+∠BOD=90°+45°=135°。
【答案】
(1)100°；(2)$ON ⊥ CD$；(3)135°
【知识点】
垂直的定义；对顶角的性质；平角的性质
【点评】
本题考查相交线相关的角度计算，解题关键是熟练运用垂直、对顶角、平角的性质，结合已知条件逐步推导角度关系即可求解。
【难度系数】
0.7
12. 如图2-1-10，已知 $AC // DE$，$∠ D + ∠ BAC = 180°$。
(1) 试说明：$AB // CD$；
(2) 若 $CE$ 平分 $∠ ACD$，$AB ⊥ BC$，$∠ CED = 35°$，求 $∠ ACB$ 的度数。
图2-1-10
(1) 试说明：$AB // CD$；
(2) 若 $CE$ 平分 $∠ ACD$，$AB ⊥ BC$，$∠ CED = 35°$，求 $∠ ACB$ 的度数。
图2-1-10
答案
12.(1)略 (2)20°
解析
【分析】
(1) 要证明$AB// CD$，可通过证明内错角相等实现。首先利用$AC// DE$的性质得到$∠ D$与$∠ ACD$互补，结合已知$∠ D+∠ BAC=180°$，通过等量代换得到相等的内错角即可得证。
(2) 先利用$AC// DE$的内错角相等得到$∠ ACE$的度数，结合角平分线的性质求出$∠ ACD$的度数，再由$AB// CD$的内错角相等得到$∠ BAC$的度数，最后在直角$△ ABC$中利用三角形内角和即可求出$∠ ACB$的度数。
【解析】
(1) 证明：
$\because AC// DE$（已知）
$\therefore ∠ D + ∠ ACD = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）
又$\because ∠ D + ∠ BAC = 180°$（已知）
$\therefore ∠ ACD = ∠ BAC$（同角的补角相等）
$\therefore AB// CD$（内错角相等，两直线平行）
(2) 解：
$\because AC// DE$，$∠ CED=35°$（已知）
$\therefore ∠ ACE = ∠ CED = 35°$（两直线平行，内错角相等）
$\because CE$平分$∠ ACD$（已知）
$\therefore ∠ ACD = 2∠ ACE = 2×35°=70°$（角平分线的定义）
由(1)知$AB// CD$
$\therefore ∠ BAC = ∠ ACD = 70°$（两直线平行，内错角相等）
$\because AB⊥ BC$（已知）
$\therefore ∠ B=90°$（垂直的定义）
在$△ ABC$中，$∠ B+∠ BAC+∠ ACB=180°$（三角形内角和为$180°$）
$\therefore ∠ ACB = 180° - 90° - 70° = 20°$
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $20°$
【知识点】
平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题是基础的几何综合题，解题核心是熟练运用平行线的性质和判定进行角的关系转化，结合角平分线、直角的性质逐步推导即可求解，需要注意每一步推导都要有对应的定理依据。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明$AB// CD$，可通过证明内错角相等实现。首先利用$AC// DE$的性质得到$∠ D$与$∠ ACD$互补，结合已知$∠ D+∠ BAC=180°$，通过等量代换得到相等的内错角即可得证。
(2) 先利用$AC// DE$的内错角相等得到$∠ ACE$的度数，结合角平分线的性质求出$∠ ACD$的度数，再由$AB// CD$的内错角相等得到$∠ BAC$的度数，最后在直角$△ ABC$中利用三角形内角和即可求出$∠ ACB$的度数。
【解析】
(1) 证明：
$\because AC// DE$（已知）
$\therefore ∠ D + ∠ ACD = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）
又$\because ∠ D + ∠ BAC = 180°$（已知）
$\therefore ∠ ACD = ∠ BAC$（同角的补角相等）
$\therefore AB// CD$（内错角相等，两直线平行）
(2) 解：
$\because AC// DE$，$∠ CED=35°$（已知）
$\therefore ∠ ACE = ∠ CED = 35°$（两直线平行，内错角相等）
$\because CE$平分$∠ ACD$（已知）
$\therefore ∠ ACD = 2∠ ACE = 2×35°=70°$（角平分线的定义）
由(1)知$AB// CD$
$\therefore ∠ BAC = ∠ ACD = 70°$（两直线平行，内错角相等）
$\because AB⊥ BC$（已知）
$\therefore ∠ B=90°$（垂直的定义）
在$△ ABC$中，$∠ B+∠ BAC+∠ ACB=180°$（三角形内角和为$180°$）
$\therefore ∠ ACB = 180° - 90° - 70° = 20°$
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $20°$
【知识点】
平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题是基础的几何综合题，解题核心是熟练运用平行线的性质和判定进行角的关系转化，结合角平分线、直角的性质逐步推导即可求解，需要注意每一步推导都要有对应的定理依据。
【难度系数】
0.7
