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1.若关于$x,y$的方程组$\begin{cases}x+my=0,\\2x+3y=8\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=1,\\y=▲,\end{cases}$其中$y$的值被盖住了,不过仍能求出$m$,则$m$的值为( )
A.$-\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$-\dfrac{1}{4}$
D.$\dfrac{1}{4}$
A.$-\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$-\dfrac{1}{4}$
D.$\dfrac{1}{4}$
答案
A
解析
将已知的x=1代入方程2x+3y=8，得2×1 + 3y = 8，解得y=2。再把x=1、y=2代入方程x+my=0，得1 + 2m = 0，解得m=-1/2。
2.《九章算术》中记载:今有共买羊,人出五,不足四十五;人出七,不足三.问人数、羊价各几何?
其大意是,今有人合伙买羊,若每人出5钱,还差45钱;若每人出7钱,仍差3钱.问合伙人数、羊价各是多少.设合伙人数为$ x $,羊价为$ y $钱,根据题意,可列方程组为()
A.$\begin{cases} y=5x+45, \\ y=7x+3 \end{cases}$
B.$\begin{cases} y=5x+45, \\ y=7x-3 \end{cases}$
C.$\begin{cases} y=5x-45, \\ y=7x+3 \end{cases}$
D.$\begin{cases} y=5x-45, \\ y=7x-3 \end{cases}$
其大意是,今有人合伙买羊,若每人出5钱,还差45钱;若每人出7钱,仍差3钱.问合伙人数、羊价各是多少.设合伙人数为$ x $,羊价为$ y $钱,根据题意,可列方程组为()
A.$\begin{cases} y=5x+45, \\ y=7x+3 \end{cases}$
B.$\begin{cases} y=5x+45, \\ y=7x-3 \end{cases}$
C.$\begin{cases} y=5x-45, \\ y=7x+3 \end{cases}$
D.$\begin{cases} y=5x-45, \\ y=7x-3 \end{cases}$
答案
A
解析
根据题意梳理等量关系：
1. 每人出5钱时，所有人凑出的总钱数5x加上还差的45钱等于羊价y，可得方程y=5x+45；
2. 每人出7钱时，所有人凑出的总钱数7x加上还差的3钱等于羊价y，可得方程y=7x+3；
联立得到的方程组对应选项A。
1. 每人出5钱时，所有人凑出的总钱数5x加上还差的45钱等于羊价y，可得方程y=5x+45；
2. 每人出7钱时，所有人凑出的总钱数7x加上还差的3钱等于羊价y，可得方程y=7x+3；
联立得到的方程组对应选项A。
3.汽车从甲地到乙地,如果每小时行驶35 km,就要迟到2 h;如果每小时行驶50 km,可提前1 h到达.那么甲、乙两地相距 km.
答案
350
解析
我们可以设汽车准点到达乙地需要的时间为$ x $小时，根据甲乙两地距离不变列一元一次方程求解：
1. 若每小时行驶35km，迟到2小时，实际行驶时间为$ (x+2) $小时，甲乙两地距离可表示为$ 35(x+2) $km；
2. 若每小时行驶50km，提前1小时到达，实际行驶时间为$ (x-1) $小时，甲乙两地距离可表示为$ 50(x-1) $km；
3. 列等式：$ 35(x+2) = 50(x-1) $
展开得：$ 35x + 70 = 50x - 50 $
移项整理：$ 15x = 120 $，解得$ x=8 $
4. 代入计算两地距离：$ 35×(8+2) = 350 $km
1. 若每小时行驶35km，迟到2小时，实际行驶时间为$ (x+2) $小时，甲乙两地距离可表示为$ 35(x+2) $km；
2. 若每小时行驶50km，提前1小时到达，实际行驶时间为$ (x-1) $小时，甲乙两地距离可表示为$ 50(x-1) $km；
3. 列等式：$ 35(x+2) = 50(x-1) $
展开得：$ 35x + 70 = 50x - 50 $
移项整理：$ 15x = 120 $，解得$ x=8 $
4. 代入计算两地距离：$ 35×(8+2) = 350 $km
4. 某工地需派 96 名工人去挖土或运土,平均每人每天挖土 $5\ \mathrm{m}^3$ 或运土 $3\ \mathrm{m}^3$. 如何分配挖土和运土的人数,才能使得挖出的土刚好能被运完? 设分配 $x$ 人挖土,$y$ 人运土. 为求 $x,y$,小聪正确地列出了其中一个方程 $x+y=96$,则另一个方程为.
答案
$5x=3y$
解析
已知分配$x$人挖土，每人每天挖土$5\ \mathrm{m}^3$，则每日挖土总量为$5x\ \mathrm{m}^3$；分配$y$人运土，每人每天运土$3\ \mathrm{m}^3$，则每日运土总量为$3y\ \mathrm{m}^3$。要让挖出的土刚好能被运完，说明每日挖土的总体积等于每日运土的总体积，据此即可列出另一个方程。
5. 关于 $ x,y $ 的二元一次方程 $ 2x - y = m - 1 $ 的解满足 $ \begin{cases} x ≤ 1, \\ y ≤ 5. \end{cases} $ 若 $ k = 3y - 3x + 2m $，则 $ k $ 的最大值为 ______.
答案
8
解析
首先对二元一次方程$2x - y = m - 1$变形，可得$m = 2x - y + 1$。
将$m = 2x - y + 1$代入$k = 3y - 3x + 2m$，化简得：
$k = 3y - 3x + 2(2x - y + 1) = 3y - 3x + 4x - 2y + 2 = x + y + 2$。
取$x$的最大值$x=1$代入原方程$2x - y = m - 1$，得$2×1 - y = m - 1$，整理得$y = 3 - m$。
结合条件$y ≤ 5$，代入得$3 - m ≤ 5$，解得$m ≥ -2$。
将$x=1$、$y=3-m$代入$k=x+y+2$，得$k = 1 + 3 - m + 2 = 6 - m$。
根据一次函数的性质，要使$k$取最大值，需让$m$取最小值，$m$的最小值为$-2$，代入计算得$k_{max}=6 - (-2)=8$。
将$m = 2x - y + 1$代入$k = 3y - 3x + 2m$，化简得：
$k = 3y - 3x + 2(2x - y + 1) = 3y - 3x + 4x - 2y + 2 = x + y + 2$。
取$x$的最大值$x=1$代入原方程$2x - y = m - 1$，得$2×1 - y = m - 1$，整理得$y = 3 - m$。
结合条件$y ≤ 5$，代入得$3 - m ≤ 5$，解得$m ≥ -2$。
将$x=1$、$y=3-m$代入$k=x+y+2$，得$k = 1 + 3 - m + 2 = 6 - m$。
根据一次函数的性质，要使$k$取最大值，需让$m$取最小值，$m$的最小值为$-2$，代入计算得$k_{max}=6 - (-2)=8$。
6.某商场投入13 800元资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价和销售价如表所示：
(1)该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？
(2)全部售完这500箱矿泉水，该商场共获得利润多少元？
(1)该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？
(2)全部售完这500箱矿泉水，该商场共获得利润多少元？
答案
(1) 该商场购进甲种矿泉水300箱，乙种矿泉水200箱；(2) 全部售完共获得利润6600元。
解析
(1) 设该商场购进甲种矿泉水$ x $箱，则购进乙种矿泉水$(500 - x)$箱。
根据投入总资金为13800元，结合两种矿泉水的成本价列方程：
$24x + 33(500 - x) = 13800$
展开并整理方程：
$24x + 16500 - 33x = 13800 \\-9x = -2700 \x = 300$
因此乙种矿泉水的购进数量为：$ 500 - 300 = 200 $箱。
(2) 先计算单箱矿泉水的利润：
甲种矿泉水单箱利润：$ 36 - 24 = 12 $元
乙种矿泉水单箱利润：$ 48 - 33 = 15 $元
总利润为两种矿泉水的利润之和：
$300 × 12 + 200 × 15 = 3600 + 3000 = 6600 \mathrm{元}$
根据投入总资金为13800元，结合两种矿泉水的成本价列方程：
$24x + 33(500 - x) = 13800$
展开并整理方程：
$24x + 16500 - 33x = 13800 \\-9x = -2700 \x = 300$
因此乙种矿泉水的购进数量为：$ 500 - 300 = 200 $箱。
(2) 先计算单箱矿泉水的利润：
甲种矿泉水单箱利润：$ 36 - 24 = 12 $元
乙种矿泉水单箱利润：$ 48 - 33 = 15 $元
总利润为两种矿泉水的利润之和：
$300 × 12 + 200 × 15 = 3600 + 3000 = 6600 \mathrm{元}$
