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1. 填一填。
(1) 一个数最大的因数是 24，这个数的因数有(
(2) 一个数既是 15 的倍数，又是 15 的因数，这个数是(
(3) 3 的倍数中，最小的两位数是(
(4) 755 至少减去(
(1) 一个数最大的因数是 24，这个数的因数有(
8
)个，这个数最小的倍数是(24
)。(2) 一个数既是 15 的倍数，又是 15 的因数，这个数是(
15
)；一个数既是 6 的倍数，又是 24 的因数，这个数可能是(6,12,24
)。(3) 3 的倍数中，最小的两位数是(
12
)，最大的三位数是(999
)。(4) 755 至少减去(
5
)，才能同时是 2，3，5 的倍数。答案
8
24
15
6,12,24
12
999
5
24
15
6,12,24
12
999
5
解析
【分析】
1. 第(1)问：根据“一个数的最大因数是它本身”可确定这个数为24，接着找出24的所有因数并统计个数，再依据“一个数的最小倍数是它本身”得出最小倍数。
2. 第(2)问：一个数既是自身的因数又是自身的倍数，因此第一个空是15；先列出24的所有因数，再从中筛选出属于6的倍数的数即可。
3. 第(3)问：利用3的倍数特征（各位数字之和是3的倍数），找最小两位数时，十位取最小的1，再确定个位使各位和满足3的倍数要求；找最大三位数时，取最大的三位数999，验证其各位和是否为3的倍数即可。
4. 第(4)问：同时是2、3、5的倍数的数需满足个位是0且各位数字之和是3的倍数，先将755调整为个位是0的数750，验证其是否符合3的倍数特征，再计算755与750的差值。
【解析】
(1) 因为一个数的最大因数是它本身，所以这个数是24。
24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24，共8个；
根据“一个数的最小倍数是它本身”，可知这个数最小的倍数是24。
(2) 一个数既是15的倍数又是15的因数，这个数是15；
24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24，其中是6的倍数的数有6、12、24，所以这个数可能是6、12、24。
(3) 3的倍数特征是各位数字之和是3的倍数：
最小的两位数，十位最小为1，1+2=3（是3的倍数），所以最小的两位数是12；
最大的三位数是999，9+9+9=27（是3的倍数），所以最大的三位数是999。
(4) 同时是2、3、5的倍数的数需满足个位是0且各位数字之和是3的倍数。
755调整为个位是0的数是750，7+5+0=12（是3的倍数），755-750=5，所以755至少减去5才能同时是2、3、5的倍数。
【答案】
8；24；15；6,12,24；12；999；5
【知识点】
因数与倍数的性质；2、3、5的倍数特征；因数倍数的找法
【点评】
本题围绕因数和倍数的核心概念展开，考查了因数倍数的基本性质、特殊数的倍数特征，题目注重基础，需要学生熟练掌握相关概念并能灵活运用列举、特征分析的方法解决问题，是对因数倍数知识点的综合基础考查。
【难度系数】
0.7
1. 第(1)问：根据“一个数的最大因数是它本身”可确定这个数为24，接着找出24的所有因数并统计个数，再依据“一个数的最小倍数是它本身”得出最小倍数。
2. 第(2)问：一个数既是自身的因数又是自身的倍数，因此第一个空是15；先列出24的所有因数，再从中筛选出属于6的倍数的数即可。
3. 第(3)问：利用3的倍数特征（各位数字之和是3的倍数），找最小两位数时，十位取最小的1，再确定个位使各位和满足3的倍数要求；找最大三位数时，取最大的三位数999，验证其各位和是否为3的倍数即可。
4. 第(4)问：同时是2、3、5的倍数的数需满足个位是0且各位数字之和是3的倍数，先将755调整为个位是0的数750，验证其是否符合3的倍数特征，再计算755与750的差值。
【解析】
(1) 因为一个数的最大因数是它本身，所以这个数是24。
24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24，共8个；
根据“一个数的最小倍数是它本身”，可知这个数最小的倍数是24。
(2) 一个数既是15的倍数又是15的因数，这个数是15；
24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24，其中是6的倍数的数有6、12、24，所以这个数可能是6、12、24。
(3) 3的倍数特征是各位数字之和是3的倍数：
最小的两位数，十位最小为1，1+2=3（是3的倍数），所以最小的两位数是12；
最大的三位数是999，9+9+9=27（是3的倍数），所以最大的三位数是999。
(4) 同时是2、3、5的倍数的数需满足个位是0且各位数字之和是3的倍数。
755调整为个位是0的数是750，7+5+0=12（是3的倍数），755-750=5，所以755至少减去5才能同时是2、3、5的倍数。
【答案】
8；24；15；6,12,24；12；999；5
【知识点】
因数与倍数的性质；2、3、5的倍数特征；因数倍数的找法
【点评】
本题围绕因数和倍数的核心概念展开，考查了因数倍数的基本性质、特殊数的倍数特征，题目注重基础，需要学生熟练掌握相关概念并能灵活运用列举、特征分析的方法解决问题，是对因数倍数知识点的综合基础考查。
【难度系数】
0.7
2. 选一选。
(1) 因为 $32÷4 = 8$，所以(
A. 4 是 32 的因数
B. 4 是因数
C. 32 是 4 的因数
D. 32 是倍数
(2) 下面各数中，因数个数最多的是(
A. 18
B. 36
C. 40
D. 28
(3) 一个数最大的因数和最小的倍数的和是 76，这个数是(
A. 33
B. 38
C. 76
D. 152
(1) 因为 $32÷4 = 8$，所以(
A
)。A. 4 是 32 的因数
B. 4 是因数
C. 32 是 4 的因数
D. 32 是倍数
(2) 下面各数中，因数个数最多的是(
B
)。A. 18
B. 36
C. 40
D. 28
(3) 一个数最大的因数和最小的倍数的和是 76，这个数是(
B
)。A. 33
B. 38
C. 76
D. 152
答案
A
B
B
B
B
解析
【分析】
1. 第(1)题：首先要明确因数和倍数是相互依存的关系，不能单独说某个数是因数或倍数，必须指明谁是谁的因数或倍数。根据$32÷4=8$的整除关系，结合定义判断选项的正确性。
2. 第(2)题：要找出因数个数最多的数，需分别列举每个选项中数的所有因数，统计个数后进行对比选择。
3. 第(3)题：依据“一个数的最大因数和最小倍数都是它本身”这一关键性质，可知这个数的2倍等于76，通过除法运算即可求出该数。
【解析】
(1) 根据因数和倍数的定义：若整数$a$除以整数$b(b≠0)$的商为整数且无余数，则$b$是$a$的因数，$a$是$b$的倍数，且因数和倍数相互依存，不能单独存在。
选项A：4是32的因数，表述符合定义，正确；
选项B：单独说“4是因数”，未明确是谁的因数，错误；
选项C：32是4的倍数，而非因数，错误；
选项D：单独说“32是倍数”，未明确是谁的倍数，错误。
故选A。
(2) 分别列举各数的因数：
18的因数：1、2、3、6、9、18，共6个；
36的因数：1、2、3、4、6、9、12、18、36，共9个；
40的因数：1、2、4、5、8、10、20、40，共8个；
28的因数：1、2、4、7、14、28，共6个。
对比可知36的因数个数最多，故选B。
(3) 因为一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，设这个数为$x$，则$x+x=76$，即$2x=76$，解得$x=76÷2=38$，故选B。
【答案】
A；B；B
【知识点】
1. 因数与倍数的定义
2. 因数的列举方法
3. 因数与倍数的性质
【点评】
本题围绕因数和倍数的核心概念展开，考查了对基础定义的理解、因数的列举能力以及性质的应用，题目难度适中，注重对基础知识的巩固与运用。
【难度系数】
0.7
1. 第(1)题：首先要明确因数和倍数是相互依存的关系，不能单独说某个数是因数或倍数，必须指明谁是谁的因数或倍数。根据$32÷4=8$的整除关系，结合定义判断选项的正确性。
2. 第(2)题：要找出因数个数最多的数，需分别列举每个选项中数的所有因数，统计个数后进行对比选择。
3. 第(3)题：依据“一个数的最大因数和最小倍数都是它本身”这一关键性质，可知这个数的2倍等于76，通过除法运算即可求出该数。
【解析】
(1) 根据因数和倍数的定义：若整数$a$除以整数$b(b≠0)$的商为整数且无余数，则$b$是$a$的因数，$a$是$b$的倍数，且因数和倍数相互依存，不能单独存在。
选项A：4是32的因数，表述符合定义，正确；
选项B：单独说“4是因数”，未明确是谁的因数，错误；
选项C：32是4的倍数，而非因数，错误；
选项D：单独说“32是倍数”，未明确是谁的倍数，错误。
故选A。
(2) 分别列举各数的因数：
18的因数：1、2、3、6、9、18，共6个；
36的因数：1、2、3、4、6、9、12、18、36，共9个；
40的因数：1、2、4、5、8、10、20、40，共8个；
28的因数：1、2、4、7、14、28，共6个。
对比可知36的因数个数最多，故选B。
(3) 因为一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，设这个数为$x$，则$x+x=76$，即$2x=76$，解得$x=76÷2=38$，故选B。
【答案】
A；B；B
【知识点】
1. 因数与倍数的定义
2. 因数的列举方法
3. 因数与倍数的性质
【点评】
本题围绕因数和倍数的核心概念展开，考查了对基础定义的理解、因数的列举能力以及性质的应用，题目难度适中，注重对基础知识的巩固与运用。
【难度系数】
0.7
3. 欣欣花店购进一些百合，百合的枝数在 55～65 之间。如果每束花放 3 枝百合，那么余下 1 枝；如果每束花放 5 枝百合，那么也余下 1 枝。欣欣花店购进了多少枝百合？
答案
3×5=15(枝)
15×4=60(枝)
60+1=61(枝)
答：欣欣花店购进了61枝百合。
15×4=60(枝)
60+1=61(枝)
答：欣欣花店购进了61枝百合。
解析
【分析】
首先要理清题目中的数量关系：百合的枝数减去1之后，既是3的倍数也是5的倍数，也就是3和5的公倍数。我们先求出3和5的最小公倍数，再在55～65这个范围内找到符合条件的公倍数，最后加上余下的1枝，就能得到百合的总枝数。具体思考步骤：
1. 因为两种放法都余1枝，所以总枝数-1是3和5的公倍数；
2. 3和5是互质数，最小公倍数是它们的乘积；
3. 在55～65之间找到这个最小公倍数的倍数，再加1就是总枝数。
【解析】
1. 计算3和5的最小公倍数：
$3×5=15$（枝）
2. 在55～65之间寻找15的倍数：
$15×4=60$（枝），60处于55～65之间，符合要求；
3. 计算百合的总枝数：
$60+1=61$（枝）
答：欣欣花店购进了61枝百合。
【答案】
61枝
【知识点】
公倍数的应用、最小公倍数求法
【点评】
本题考查公倍数在实际问题中的应用，解题核心是抓住“两种放法都余1枝”这一关键条件，转化为寻找3和5的公倍数问题，需要结合给定的数量范围锁定目标数，锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
首先要理清题目中的数量关系：百合的枝数减去1之后，既是3的倍数也是5的倍数，也就是3和5的公倍数。我们先求出3和5的最小公倍数，再在55～65这个范围内找到符合条件的公倍数，最后加上余下的1枝，就能得到百合的总枝数。具体思考步骤：
1. 因为两种放法都余1枝，所以总枝数-1是3和5的公倍数；
2. 3和5是互质数，最小公倍数是它们的乘积；
3. 在55～65之间找到这个最小公倍数的倍数，再加1就是总枝数。
【解析】
1. 计算3和5的最小公倍数：
$3×5=15$（枝）
2. 在55～65之间寻找15的倍数：
$15×4=60$（枝），60处于55～65之间，符合要求；
3. 计算百合的总枝数：
$60+1=61$（枝）
答：欣欣花店购进了61枝百合。
【答案】
61枝
【知识点】
公倍数的应用、最小公倍数求法
【点评】
本题考查公倍数在实际问题中的应用，解题核心是抓住“两种放法都余1枝”这一关键条件，转化为寻找3和5的公倍数问题，需要结合给定的数量范围锁定目标数，锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
4. 乐乐在写一个数的因数时，没有有序地思考，他写的是 1，28，7，56，4，8。李老师说他少写了两个，他少写了哪两个？
答案
2、14
答：李老师少写了2和14.
答：李老师少写了2和14.
解析
【分析】
首先要确定乐乐写的是哪个数的因数，从他写出的数里最大的是56，可知这个数就是56。找一个数的因数需要有序地一对一对找，这样能避免遗漏，我们可以从1开始，通过除法依次找出56的所有因数，再对比乐乐写出的因数，就能找出他少写的两个数。
【解析】
1. 确定目标数：乐乐写出的因数中最大的是56，因此这个数是56。
2. 有序列举56的所有因数：
$56÷1=56$，所以1和56是56的因数；
$56÷2=28$，所以2和28是56的因数；
$56÷4=14$，所以4和14是56的因数；
$56÷7=8$，所以7和8是56的因数；
综上，56的所有因数为：1、2、4、7、8、14、28、56。
3. 对比乐乐写出的因数（1，28，7，56，4，8），可发现缺少的是2和14。
【答案】
2、14
答：他少写了2和14。
【知识点】
找一个数的因数、有序列举法
【点评】
本题考查找一个数因数的方法，重点在于引导学生掌握有序一对一对找因数的技巧，避免遗漏，培养严谨有序的思考习惯，同时巩固对因数概念的理解。
【难度系数】
0.7
首先要确定乐乐写的是哪个数的因数，从他写出的数里最大的是56，可知这个数就是56。找一个数的因数需要有序地一对一对找，这样能避免遗漏，我们可以从1开始，通过除法依次找出56的所有因数，再对比乐乐写出的因数，就能找出他少写的两个数。
【解析】
1. 确定目标数：乐乐写出的因数中最大的是56，因此这个数是56。
2. 有序列举56的所有因数：
$56÷1=56$，所以1和56是56的因数；
$56÷2=28$，所以2和28是56的因数；
$56÷4=14$，所以4和14是56的因数；
$56÷7=8$，所以7和8是56的因数；
综上，56的所有因数为：1、2、4、7、8、14、28、56。
3. 对比乐乐写出的因数（1，28，7，56，4，8），可发现缺少的是2和14。
【答案】
2、14
答：他少写了2和14。
【知识点】
找一个数的因数、有序列举法
【点评】
本题考查找一个数因数的方法，重点在于引导学生掌握有序一对一对找因数的技巧，避免遗漏，培养严谨有序的思考习惯，同时巩固对因数概念的理解。
【难度系数】
0.7
5. 一个长方形(不包括正方形)的长和宽都是整数米，面积是 36 平方米，这样形状不同的长方形共有多少个？
答案
36=1×36=2×18=3×12=4×9
答：这样形状不同的长方形共有4个。
答：这样形状不同的长方形共有4个。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以从长方形的面积公式入手。长方形的面积=长×宽，已知面积是36平方米，且长和宽都是整数米，同时长方形不包括正方形（即长≠宽），所以我们需要找出36的所有整数因数对，并且要保证长大于宽（避免重复计数，比如1×36和36×1是同一个长方形），最后统计符合条件的因数对数量即可。
【解析】
根据长方形面积公式，对36进行因数分解，找出所有满足长×宽=36且长＞宽、长≠宽的整数组合：
36 = 1×36
36 = 2×18
36 = 3×12
36 = 4×9
其中6×6的情况是正方形，不符合题目要求，需排除。
统计上述符合条件的组合，一共有4组。
【答案】
4个
【知识点】
因数分解、长方形面积计算、长方形的特征
【点评】
本题主要考查对长方形面积公式的灵活运用以及因数分解的能力，解题关键是要注意排除正方形的情况，同时避免因长和宽顺序颠倒而重复计数，属于基础题型，容易掌握。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们可以从长方形的面积公式入手。长方形的面积=长×宽，已知面积是36平方米，且长和宽都是整数米，同时长方形不包括正方形（即长≠宽），所以我们需要找出36的所有整数因数对，并且要保证长大于宽（避免重复计数，比如1×36和36×1是同一个长方形），最后统计符合条件的因数对数量即可。
【解析】
根据长方形面积公式，对36进行因数分解，找出所有满足长×宽=36且长＞宽、长≠宽的整数组合：
36 = 1×36
36 = 2×18
36 = 3×12
36 = 4×9
其中6×6的情况是正方形，不符合题目要求，需排除。
统计上述符合条件的组合，一共有4组。
【答案】
4个
【知识点】
因数分解、长方形面积计算、长方形的特征
【点评】
本题主要考查对长方形面积公式的灵活运用以及因数分解的能力，解题关键是要注意排除正方形的情况，同时避免因长和宽顺序颠倒而重复计数，属于基础题型，容易掌握。
【难度系数】
0.8
