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四、解决问题。
19. 50 千克大豆可榨 16 千克油，照这样计算，1 千克大豆可榨多少千克油？榨 1 千克油需要大豆多少千克？
19. 50 千克大豆可榨 16 千克油，照这样计算，1 千克大豆可榨多少千克油？榨 1 千克油需要大豆多少千克？
答案
$16÷50=\frac{8}{25}（$千克）
$ 50÷16=\frac{25}{8}（$千克）
答：1千克大豆可榨$\frac{8}{25}$千克油，榨1千克油需要大豆$\frac{25}{8}$千克。
$ 50÷16=\frac{25}{8}（$千克）
答：1千克大豆可榨$\frac{8}{25}$千克油，榨1千克油需要大豆$\frac{25}{8}$千克。
解析
【分析】
要解决这两个问题，关键是明确除法的意义：
1. 求1千克大豆可榨多少千克油，是把榨出的油的总量平均分配到每千克大豆上，所以用榨出的油的质量除以大豆的总质量；
2. 求榨1千克油需要多少千克大豆，是把大豆的总质量平均分配到每千克油上，所以用大豆的总质量除以榨出的油的质量。
【解析】
1. 计算1千克大豆可榨油的质量：
$16÷50=\frac{8}{25}$（千克）
2. 计算榨1千克油需要大豆的质量：
$50÷16=\frac{25}{8}$（千克）
答：1千克大豆可榨$\frac{8}{25}$千克油，榨1千克油需要大豆$\frac{25}{8}$千克。
【答案】
1千克大豆可榨$\frac{8}{25}$千克油，榨1千克油需要大豆$\frac{25}{8}$千克。
【知识点】
1. 归一问题
2. 分数与除法的关系
【点评】
本题考查归一问题的实际应用，核心是找准被除数和除数，区分“每千克大豆榨油量”和“每千克油需大豆量”的不同计算逻辑，避免混淆两者的除法关系。
【难度系数】
0.8
要解决这两个问题，关键是明确除法的意义：
1. 求1千克大豆可榨多少千克油，是把榨出的油的总量平均分配到每千克大豆上，所以用榨出的油的质量除以大豆的总质量；
2. 求榨1千克油需要多少千克大豆，是把大豆的总质量平均分配到每千克油上，所以用大豆的总质量除以榨出的油的质量。
【解析】
1. 计算1千克大豆可榨油的质量：
$16÷50=\frac{8}{25}$（千克）
2. 计算榨1千克油需要大豆的质量：
$50÷16=\frac{25}{8}$（千克）
答：1千克大豆可榨$\frac{8}{25}$千克油，榨1千克油需要大豆$\frac{25}{8}$千克。
【答案】
1千克大豆可榨$\frac{8}{25}$千克油，榨1千克油需要大豆$\frac{25}{8}$千克。
【知识点】
1. 归一问题
2. 分数与除法的关系
【点评】
本题考查归一问题的实际应用，核心是找准被除数和除数，区分“每千克大豆榨油量”和“每千克油需大豆量”的不同计算逻辑，避免混淆两者的除法关系。
【难度系数】
0.8
20. 有甲、乙、丙三杯酸梅汤，其中酸梅汁和水的质量各不相同。甲杯中有酸梅汁 30 克，水 70 克；乙杯中有酸梅汁 10 克，水 30 克；丙杯中有酸梅汁 40 克，水 160 克。
(1) 三杯酸梅汤中酸梅汁的质量各占整杯酸梅汤的几分之几？
(2) 哪一杯酸梅汤最浓？
(1) 三杯酸梅汤中酸梅汁的质量各占整杯酸梅汤的几分之几？
(2) 哪一杯酸梅汤最浓？
答案
甲：$30÷(30+70)=\frac {3}{10}$
乙：$10÷(10+30)=\frac {1}{4}$
丙：$40÷(40+160)=\frac {1}{5}$
答：甲占了$\frac {3}{10}$，乙占了$\frac {1}{4}$，丙占了$\frac {1}{5}$
$\frac{3}{10}＞\frac{1}{4}＞\frac{1}{5}$
答：甲杯酸梅汤最浓。
乙：$10÷(10+30)=\frac {1}{4}$
丙：$40÷(40+160)=\frac {1}{5}$
答：甲占了$\frac {3}{10}$，乙占了$\frac {1}{4}$，丙占了$\frac {1}{5}$
$\frac{3}{10}＞\frac{1}{4}＞\frac{1}{5}$
答：甲杯酸梅汤最浓。
解析
【分析】
要解决这两个问题，可按以下思路思考：
1. 第(1)问：要求酸梅汁占整杯酸梅汤的几分之几，根据分数的意义，需用每杯酸梅汁的质量除以整杯酸梅汤的总质量（酸梅汁质量与水的质量之和），得到的结果就是酸梅汁占整杯的比例。
2. 第(2)问：酸梅汤的浓度由酸梅汁占整杯的比例决定，比例越大浓度越高，所以只需比较第(1)问求出的三个分数的大小，最大的分数对应的杯子就是最浓的。
【解析】
(1) 计算每杯酸梅汁占整杯的比例：
甲杯：整杯酸梅汤总质量为 $30+70=100$ 克，酸梅汁占比为 $30÷(30+70)=\frac{3}{10}$
乙杯：整杯酸梅汤总质量为 $10+30=40$ 克，酸梅汁占比为 $10÷(10+30)=\frac{1}{4}$
丙杯：整杯酸梅汤总质量为 $40+160=200$ 克，酸梅汁占比为 $40÷(40+160)=\frac{1}{5}$
答：甲杯酸梅汁占整杯的$\frac{3}{10}$，乙杯占$\frac{1}{4}$，丙杯占$\frac{1}{5}$。
(2) 比较三个分数的大小：
将三个分数通分转化为同分母分数：$\frac{3}{10}=\frac{6}{20}$，$\frac{1}{4}=\frac{5}{20}$，$\frac{1}{5}=\frac{4}{20}$，因为$\frac{6}{20}＞\frac{5}{20}＞\frac{4}{20}$，所以$\frac{3}{10}＞\frac{1}{4}＞\frac{1}{5}$。
答：甲杯酸梅汤最浓。
【答案】
(1) 甲杯占$\frac{3}{10}$，乙杯占$\frac{1}{4}$，丙杯占$\frac{1}{5}$；
(2) 甲杯酸梅汤最浓。
【知识点】
求一个数是另一个数的几分之几、分数大小比较
【点评】
本题是分数的基础应用题型，核心是理解“部分量占总量的比例”的计算方法，即部分量除以总量。在比较分数大小时，通分是直观易懂的方法，适合基础阶段学生掌握，能帮助学生巩固分数意义与分数大小比较的知识点。
【难度系数】
0.8
要解决这两个问题，可按以下思路思考：
1. 第(1)问：要求酸梅汁占整杯酸梅汤的几分之几，根据分数的意义，需用每杯酸梅汁的质量除以整杯酸梅汤的总质量（酸梅汁质量与水的质量之和），得到的结果就是酸梅汁占整杯的比例。
2. 第(2)问：酸梅汤的浓度由酸梅汁占整杯的比例决定，比例越大浓度越高，所以只需比较第(1)问求出的三个分数的大小，最大的分数对应的杯子就是最浓的。
【解析】
(1) 计算每杯酸梅汁占整杯的比例：
甲杯：整杯酸梅汤总质量为 $30+70=100$ 克，酸梅汁占比为 $30÷(30+70)=\frac{3}{10}$
乙杯：整杯酸梅汤总质量为 $10+30=40$ 克，酸梅汁占比为 $10÷(10+30)=\frac{1}{4}$
丙杯：整杯酸梅汤总质量为 $40+160=200$ 克，酸梅汁占比为 $40÷(40+160)=\frac{1}{5}$
答：甲杯酸梅汁占整杯的$\frac{3}{10}$，乙杯占$\frac{1}{4}$，丙杯占$\frac{1}{5}$。
(2) 比较三个分数的大小：
将三个分数通分转化为同分母分数：$\frac{3}{10}=\frac{6}{20}$，$\frac{1}{4}=\frac{5}{20}$，$\frac{1}{5}=\frac{4}{20}$，因为$\frac{6}{20}＞\frac{5}{20}＞\frac{4}{20}$，所以$\frac{3}{10}＞\frac{1}{4}＞\frac{1}{5}$。
答：甲杯酸梅汤最浓。
【答案】
(1) 甲杯占$\frac{3}{10}$，乙杯占$\frac{1}{4}$，丙杯占$\frac{1}{5}$；
(2) 甲杯酸梅汤最浓。
【知识点】
求一个数是另一个数的几分之几、分数大小比较
【点评】
本题是分数的基础应用题型，核心是理解“部分量占总量的比例”的计算方法，即部分量除以总量。在比较分数大小时，通分是直观易懂的方法，适合基础阶段学生掌握，能帮助学生巩固分数意义与分数大小比较的知识点。
【难度系数】
0.8
21. 做同一种灯笼，小明 8 分钟做了 17 个，壮壮 4 分钟做了 9 个，笑笑 7 分钟做了 15 个，谁做得快一些？
答案
$17÷8=\frac{17}{8}$
$ 9÷4=\frac{9}{4}$
$ 15÷7=\frac{15}{7}$
$ \frac{9}{4}＞\frac{15}{7}＞\frac{17}{8}$
答：壮壮做得快一些。
$ 9÷4=\frac{9}{4}$
$ 15÷7=\frac{15}{7}$
$ \frac{9}{4}＞\frac{15}{7}＞\frac{17}{8}$
答：壮壮做得快一些。
解析
【分析】
要判断谁做得快，关键是比较三人单位时间内做灯笼的数量（即工作效率）。我们需要分别用每个人做的灯笼总数除以所用时间，得到各自每分钟做的灯笼数（用分数表示），再比较这三个分数的大小，分数值最大的对应的人做得最快。
【解析】
1. 计算小明每分钟做的灯笼数：
$17÷8=\frac{17}{8}$（个）
2. 计算壮壮每分钟做的灯笼数：
$9÷4=\frac{9}{4}$（个）
3. 计算笑笑每分钟做的灯笼数：
$15÷7=\frac{15}{7}$（个）
4. 比较三个分数的大小：
将三个分数通分，$\frac{17}{8}=\frac{119}{56}$，$\frac{9}{4}=\frac{126}{56}$，$\frac{15}{7}=\frac{120}{56}$
因为$\frac{126}{56}＞\frac{120}{56}＞\frac{119}{56}$，所以$\frac{9}{4}＞\frac{15}{7}＞\frac{17}{8}$
答：壮壮做得快一些。
【答案】
壮壮做得快一些。
【知识点】
分数与除法的关系、分数大小比较
【点评】
本题主要考查工作效率的计算及分数大小的比较，解题核心是明确“谁做得快”即比较单位时间内的工作量，通过分数与除法的关系将工作效率用分数表示后，利用通分法比较分数大小即可得出结论。
【难度系数】
0.7
要判断谁做得快，关键是比较三人单位时间内做灯笼的数量（即工作效率）。我们需要分别用每个人做的灯笼总数除以所用时间，得到各自每分钟做的灯笼数（用分数表示），再比较这三个分数的大小，分数值最大的对应的人做得最快。
【解析】
1. 计算小明每分钟做的灯笼数：
$17÷8=\frac{17}{8}$（个）
2. 计算壮壮每分钟做的灯笼数：
$9÷4=\frac{9}{4}$（个）
3. 计算笑笑每分钟做的灯笼数：
$15÷7=\frac{15}{7}$（个）
4. 比较三个分数的大小：
将三个分数通分，$\frac{17}{8}=\frac{119}{56}$，$\frac{9}{4}=\frac{126}{56}$，$\frac{15}{7}=\frac{120}{56}$
因为$\frac{126}{56}＞\frac{120}{56}＞\frac{119}{56}$，所以$\frac{9}{4}＞\frac{15}{7}＞\frac{17}{8}$
答：壮壮做得快一些。
【答案】
壮壮做得快一些。
【知识点】
分数与除法的关系、分数大小比较
【点评】
本题主要考查工作效率的计算及分数大小的比较，解题核心是明确“谁做得快”即比较单位时间内的工作量，通过分数与除法的关系将工作效率用分数表示后，利用通分法比较分数大小即可得出结论。
【难度系数】
0.7
22. 小明和爷爷玩抽卡片的游戏，每张卡片上都写有一个分数。已知爷爷抽到的分数满足以下 2 个条件。
① 分子和分母相加等于 33。
② 分母加上 8，分子去掉 7 之后，这个分数是最小的假分数。
爷爷抽到的分数是多少？
① 分子和分母相加等于 33。
② 分母加上 8，分子去掉 7 之后，这个分数是最小的假分数。
爷爷抽到的分数是多少？
答案
答：爷爷抽到的分数是$ \frac{24}{9}$。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以通过设未知数结合已知条件建立等量关系来求解。首先明确最小的假分数是分子等于分母的分数（值为1），然后根据“分子和分母相加等于33”设出分子或分母，再利用第二个条件列出方程，最后解方程得到分子和分母的值。具体思考步骤如下：
1. 回忆假分数的定义：分子大于或等于分母的分数是假分数，其中最小的假分数是分子与分母相等的分数（即分数值为1）；
2. 设分子为未知数$x$，根据“分子和分母相加等于33”，可表示出分母为$33-x$；
3. 根据第二个条件“分母加上8，分子去掉7之后是最小的假分数”，此时分子$(x-7)$和分母$(33-x+8)$相等，据此列出方程并求解。
【解析】
设爷爷抽到的分数的分子为$x$，因为分子和分母相加等于33，所以分母为$33 - x$。
根据条件②，分母加上8后为$(33 - x) + 8$，分子去掉7后为$x - 7$，而最小的假分数是分子等于分母的分数（分数值为1），因此可列方程：
$x - 7 = (33 - x) + 8$
解方程：
$x - 7 = 41 - x$
移项得：
$x + x = 41 + 7$
$2x = 48$
$x = 24$
则分母为$33 - 24 = 9$，所以爷爷抽到的分数是$\frac{24}{9}$。
【答案】
$\frac{24}{9}$
【知识点】
1. 列方程解应用题
2. 假分数的定义
【点评】
本题综合考查了假分数的概念以及列方程解决问题的能力，解题关键是准确把握最小假分数的特征（分子等于分母），并结合已知条件建立等量关系，通过解方程求出分子和分母的值，逻辑严谨，步骤清晰，有助于提升学生的逻辑思维和方程应用能力。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们可以通过设未知数结合已知条件建立等量关系来求解。首先明确最小的假分数是分子等于分母的分数（值为1），然后根据“分子和分母相加等于33”设出分子或分母，再利用第二个条件列出方程，最后解方程得到分子和分母的值。具体思考步骤如下：
1. 回忆假分数的定义：分子大于或等于分母的分数是假分数，其中最小的假分数是分子与分母相等的分数（即分数值为1）；
2. 设分子为未知数$x$，根据“分子和分母相加等于33”，可表示出分母为$33-x$；
3. 根据第二个条件“分母加上8，分子去掉7之后是最小的假分数”，此时分子$(x-7)$和分母$(33-x+8)$相等，据此列出方程并求解。
【解析】
设爷爷抽到的分数的分子为$x$，因为分子和分母相加等于33，所以分母为$33 - x$。
根据条件②，分母加上8后为$(33 - x) + 8$，分子去掉7后为$x - 7$，而最小的假分数是分子等于分母的分数（分数值为1），因此可列方程：
$x - 7 = (33 - x) + 8$
解方程：
$x - 7 = 41 - x$
移项得：
$x + x = 41 + 7$
$2x = 48$
$x = 24$
则分母为$33 - 24 = 9$，所以爷爷抽到的分数是$\frac{24}{9}$。
【答案】
$\frac{24}{9}$
【知识点】
1. 列方程解应用题
2. 假分数的定义
【点评】
本题综合考查了假分数的概念以及列方程解决问题的能力，解题关键是准确把握最小假分数的特征（分子等于分母），并结合已知条件建立等量关系，通过解方程求出分子和分母的值，逻辑严谨，步骤清晰，有助于提升学生的逻辑思维和方程应用能力。
【难度系数】
0.6
23. 一种蛋糕每盒 250 克。小刚用 10 分钟吃完一盒，小军用$\dfrac{1}{4}$小时吃完一盒，小红用 0.2 小时吃完一盒。谁吃得最快？
方法一：把单位统一转化成“时”，并且都用分数表示。
小刚：$10÷60=\dfrac{1}{6}$(时)
小军：$\dfrac{1}{4}$时
小红：$0.2$时$=\dfrac{1}{5}$时
$\dfrac{1}{6}＜\dfrac{1}{5}＜\dfrac{1}{4}$
答：小刚吃得最快。
方法二：
方法一：把单位统一转化成“时”，并且都用分数表示。
小刚：$10÷60=\dfrac{1}{6}$(时)
小军：$\dfrac{1}{4}$时
小红：$0.2$时$=\dfrac{1}{5}$时
$\dfrac{1}{6}＜\dfrac{1}{5}＜\dfrac{1}{4}$
答：小刚吃得最快。
方法二：
答案
小军：$\frac{1}{4}$时=15分钟
小红：0.2时=12分钟
10＜12＜15
答：小刚吃得最快。
小红：0.2时=12分钟
10＜12＜15
答：小刚吃得最快。
解析
【分析】
要判断谁吃得最快，因为三人吃的是同样重量的蛋糕，所以用时越短，吃得越快。我们可以选择统一时间单位为“分钟”来比较，先将小军和小红的用时转化为分钟，再和小刚的10分钟对比，用时最少的就是吃得最快的。
【解析】
方法二：
把单位统一转化成“分钟”：
小军：$\frac{1}{4}$时$=\frac{1}{4}×60=15$分钟
小红：$0.2$时$=0.2×60=12$分钟
比较时间长短：$10＜12＜15$
由于吃同样的蛋糕，用时越短吃得越快，所以小刚吃得最快。
【答案】
答：小刚吃得最快。
【知识点】
时间单位换算，分数小数互化，数的大小比较
【点评】
本题核心是理解“相同工作量下，用时越短效率越高”，解题关键是统一时间单位后进行大小比较，两种单位转换方法均可解决问题，可根据自身习惯选择。
【难度系数】
0.9
要判断谁吃得最快，因为三人吃的是同样重量的蛋糕，所以用时越短，吃得越快。我们可以选择统一时间单位为“分钟”来比较，先将小军和小红的用时转化为分钟，再和小刚的10分钟对比，用时最少的就是吃得最快的。
【解析】
方法二：
把单位统一转化成“分钟”：
小军：$\frac{1}{4}$时$=\frac{1}{4}×60=15$分钟
小红：$0.2$时$=0.2×60=12$分钟
比较时间长短：$10＜12＜15$
由于吃同样的蛋糕，用时越短吃得越快，所以小刚吃得最快。
【答案】
答：小刚吃得最快。
【知识点】
时间单位换算，分数小数互化，数的大小比较
【点评】
本题核心是理解“相同工作量下，用时越短效率越高”，解题关键是统一时间单位后进行大小比较，两种单位转换方法均可解决问题，可根据自身习惯选择。
【难度系数】
0.9
