14. 如图，在▱$ABCD$ 中，$AC$，$BD$ 交于点 $O_1$，作▱$BCD_1O_1$，连结 $BD_1$ 交 $AC$ 于点 $O_2$，作▱$BCD_2O_2$，连结 $BD_2$ 交 $AC$ 于点 $O_3······$依次类推，若 $AD = 1$，$AB = 2$，$∠ BAD = 120°$。
(1)求▱$BCD_2O_2$ 的面积。
(2)求▱$BCD_nO_n$ 的面积。

14. 解:(1)$\because$四边形$ABCD$是平行四边形,$AC,BD$交于点$O_1$,
$\therefore□ BCD_2O_2$的面积$=\dfrac{1}{4}S_{\mathrm{四边形}ABCD}$,
$\because AD=1,AB=2$,$∠ BAD=120°$,
$\therefore S_{\mathrm{四边形}ABCD}=1×\sqrt{3}=\sqrt{3}$,
$\therefore□ BCD_2O_2$的面积$=\dfrac{1}{4}S_{\mathrm{四边形}ABCD}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}$.
(2)根据上面的计算方法,依次类推,可得
$□ BCD_nO_n$面积是$\dfrac{\sqrt{3}}{2^n}$.

15. 如图，在▱$ABCD$ 中，点 $E$，$F$ 分别在边 $DC$，$AB$ 上，$DE = BF$，把平行四边形沿直线 $EF$ 折叠，使得点 $B$，$C$ 分别落在 $B'$，$C'$ 处，线段 $EC'$ 与线段 $AF$ 交于点 $G$，连结 $DG$，$B'G$。
(1)求证：$∠ 1 = ∠ 2$。
(2)求证：$DG = B'G$。

15. 证明:(1)$\because$在$□ ABCD$中,$DC// AB$,
$\therefore∠ 2=∠ FEC$,
由折叠得$∠ 1=∠ FEC,\therefore∠ 1=∠ 2$.
(2)$\because∠ 1=∠ 2,\therefore EG=GF$,
$\because AB// DC,\therefore∠ DEG=∠ EGF$,
由折叠得$EC'// B'F,\therefore∠ B'FG=∠ EGF$,
$\because DE=BF=B'F,\therefore DE=B'F$,
$\therefore△ DEG≌△ B'FG(\mathrm{SAS})$,
$\therefore DG=B'G$.