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1. 根据表格填空。
一个杯子里倒入水时,水的高度与水的体积如下表。
(1)表中(
(2)当水的高度增大时,体积随着(
(3)水的体积和高度的比值都是(
一个杯子里倒入水时,水的高度与水的体积如下表。
(1)表中(
水的高度
)和(水的体积
)是相关联的量,(水的体积
)随着(水的高度
)的变化而变化。(2)当水的高度增大时,体积随着(
增大
);当水的高度减小时,体积随着(减小
)。(3)水的体积和高度的比值都是(
25
)$\mathrm{cm^2}$,也就是水的体积和高度的比值是(一定
)的,这个比值就是圆柱形水杯的(底面积
),所以当它一定时,(水的高度
)和(水的体积
)成(正
)比例。答案
1. (1)水的高度 水的体积 水的体积 水的高度 (2)增大 减小 (3)25 一定 底面积 水的高度 水的体积 正
解析
【分析】
首先观察表格中的两个量：水的高度和水的体积。
1. 对于第(1)问，思考哪两个量会相互影响，从表格数据能看到，水的高度变化时，水的体积也跟着变化，所以这两个是相关联的量，体积随高度的变化而变化。
2. 第(2)问，看数据变化趋势：高度从2cm增加到12cm，体积从50cm³增加到300cm³，所以高度增大时体积增大；反之高度减小，体积也会跟着减小。
3. 第(3)问，计算体积和高度的比值，发现所有比值都是25，这个比值是固定的。结合圆柱体积公式$V=Sh$（$S$是底面积，$h$是高），可知这个比值就是水杯的底面积。当两个相关联的量的比值一定时，这两个量成正比例，所以水的体积和高度成正比例。
【解析】
(1) 观察表格数据可知，水的高度变化时，水的体积也随之变化，所以水的高度和水的体积是相关联的量，水的体积随着水的高度的变化而变化。
(2) 从表格数据的变化趋势看：当水的高度从2cm依次增大到12cm时，水的体积从50cm³依次增大到300cm³；反之，若水的高度减小，体积也会随之减小。所以当水的高度增大时，体积随着增大；当水的高度减小时，体积随着减小。
(3) 计算体积与高度的比值：
$50÷2=25$，$100÷4=25$，$150÷6=25$，$200÷8=25$，$250÷10=25$，$300÷12=25$，
可见水的体积和高度的比值都是$\boldsymbol{25}\ \mathrm{cm^2}$，这个比值是一定的。根据圆柱体积公式$V=Sh$（$V$是体积，$S$是底面积，$h$是高），可知这个比值就是圆柱形水杯的底面积。
根据正比例的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量。所以当底面积一定时，水的高度和水的体积成正比例。
【答案】
(1) 水的高度 水的体积 水的体积 水的高度
(2) 增大 减小
(3) 25 一定 底面积 水的高度 水的体积 正
【知识点】
相关联的量、正比例的判定、圆柱体积公式
【点评】
本题通过表格数据考查了相关联的量的识别、变化趋势分析以及正比例关系的判定，结合圆柱体积公式理解比值的实际意义，帮助学生巩固正比例的概念，培养数据分析能力。
【难度系数】
0.8
首先观察表格中的两个量：水的高度和水的体积。
1. 对于第(1)问，思考哪两个量会相互影响，从表格数据能看到，水的高度变化时，水的体积也跟着变化，所以这两个是相关联的量，体积随高度的变化而变化。
2. 第(2)问，看数据变化趋势：高度从2cm增加到12cm，体积从50cm³增加到300cm³，所以高度增大时体积增大；反之高度减小，体积也会跟着减小。
3. 第(3)问，计算体积和高度的比值，发现所有比值都是25，这个比值是固定的。结合圆柱体积公式$V=Sh$（$S$是底面积，$h$是高），可知这个比值就是水杯的底面积。当两个相关联的量的比值一定时，这两个量成正比例，所以水的体积和高度成正比例。
【解析】
(1) 观察表格数据可知，水的高度变化时，水的体积也随之变化，所以水的高度和水的体积是相关联的量，水的体积随着水的高度的变化而变化。
(2) 从表格数据的变化趋势看：当水的高度从2cm依次增大到12cm时，水的体积从50cm³依次增大到300cm³；反之，若水的高度减小，体积也会随之减小。所以当水的高度增大时，体积随着增大；当水的高度减小时，体积随着减小。
(3) 计算体积与高度的比值：
$50÷2=25$，$100÷4=25$，$150÷6=25$，$200÷8=25$，$250÷10=25$，$300÷12=25$，
可见水的体积和高度的比值都是$\boldsymbol{25}\ \mathrm{cm^2}$，这个比值是一定的。根据圆柱体积公式$V=Sh$（$V$是体积，$S$是底面积，$h$是高），可知这个比值就是圆柱形水杯的底面积。
根据正比例的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量。所以当底面积一定时，水的高度和水的体积成正比例。
【答案】
(1) 水的高度 水的体积 水的体积 水的高度
(2) 增大 减小
(3) 25 一定 底面积 水的高度 水的体积 正
【知识点】
相关联的量、正比例的判定、圆柱体积公式
【点评】
本题通过表格数据考查了相关联的量的识别、变化趋势分析以及正比例关系的判定，结合圆柱体积公式理解比值的实际意义，帮助学生巩固正比例的概念，培养数据分析能力。
【难度系数】
0.8
2. 文具店卖出书包的情况如下表。
(1)写出两组对应的总价和数量的比,并比较比值的大小。
(2)这个比值表示的意义是(
(3)书包的总价和数量成(
(1)写出两组对应的总价和数量的比,并比较比值的大小。
(2)这个比值表示的意义是(
单价
),用式子表示它与总价和数量之间的关系:(总价÷数量=单价(一定)
)。(3)书包的总价和数量成(
正
)比例。答案
2. (1)$150:2=75$ $225:3=75$ $75=75$ (答案不唯一) (2)单价 总价÷数量=单价(一定) (3)正
解析
【分析】
1. 第(1)问：先从表格里挑选两组对应的总价和数量，比如数量2对应总价150、数量3对应总价225，接着写出它们的比，计算出比值后对比大小即可，选取的组不唯一。
2. 第(2)问：结合生活中“总价÷数量=单价”的数量关系，就能知道这个比值表示书包的单价，进而写出三者的关系式。
3. 第(3)问：根据正比例的定义，两种相关联的量，若相对应的两个数比值一定，就成正比例。这里总价和数量的比值（单价）固定不变，所以可判断成正比例。
【解析】
(1) 选取表格中数量2与总价150、数量3与总价225：
$150:2 = 150÷2 = 75$
$225:3 = 225÷3 = 75$
比较可得：$75=75$（答案不唯一，也可选取其他对应组）
(2) 根据数量关系可知，这个比值表示书包的单价，用式子表示为：$\mathrm{总价}÷\mathrm{数量}=\mathrm{单价}$（一定）
(3) 书包的总价和数量是相关联的量，总价随数量变化而变化，且它们相对应的比值（单价）始终一定，符合正比例的定义，所以书包的总价和数量成正比例。
【答案】
(1)$150:2=75$ $225:3=75$ $75=75$ (答案不唯一)
(2)单价 总价÷数量=单价(一定)
(3)正
【知识点】
比的意义、正比例的判定、单价数量总价关系
【点评】
本题结合实际销售数据，考查了比的计算、单价的意义以及正比例的判定，需要学生熟练掌握单价、数量、总价之间的数量关系，以及正比例的定义，注重对基础概念的理解与应用。
【难度系数】
0.9
1. 第(1)问：先从表格里挑选两组对应的总价和数量，比如数量2对应总价150、数量3对应总价225，接着写出它们的比，计算出比值后对比大小即可，选取的组不唯一。
2. 第(2)问：结合生活中“总价÷数量=单价”的数量关系，就能知道这个比值表示书包的单价，进而写出三者的关系式。
3. 第(3)问：根据正比例的定义，两种相关联的量，若相对应的两个数比值一定，就成正比例。这里总价和数量的比值（单价）固定不变，所以可判断成正比例。
【解析】
(1) 选取表格中数量2与总价150、数量3与总价225：
$150:2 = 150÷2 = 75$
$225:3 = 225÷3 = 75$
比较可得：$75=75$（答案不唯一，也可选取其他对应组）
(2) 根据数量关系可知，这个比值表示书包的单价，用式子表示为：$\mathrm{总价}÷\mathrm{数量}=\mathrm{单价}$（一定）
(3) 书包的总价和数量是相关联的量，总价随数量变化而变化，且它们相对应的比值（单价）始终一定，符合正比例的定义，所以书包的总价和数量成正比例。
【答案】
(1)$150:2=75$ $225:3=75$ $75=75$ (答案不唯一)
(2)单价 总价÷数量=单价(一定)
(3)正
【知识点】
比的意义、正比例的判定、单价数量总价关系
【点评】
本题结合实际销售数据，考查了比的计算、单价的意义以及正比例的判定，需要学生熟练掌握单价、数量、总价之间的数量关系，以及正比例的定义，注重对基础概念的理解与应用。
【难度系数】
0.9
3. 同学们订阅《数学报》的份数与总价如下表。
根据表中的数据,说一说份数与总价是否成正比例,并说明理由。
根据表中的数据,说一说份数与总价是否成正比例,并说明理由。
答案
3. 答:份数与总价成正比例。因为总价随着份数的增大而增大,且总价÷份数=单价(一定)。
解析
【分析】
要判断份数与总价是否成正比例，首先回忆正比例的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量。我们可以先观察表格里总价和份数的变化关系，再计算每组总价与份数的比值，看是否为定值，若满足这两个条件，即可判断成正比例。
【解析】
1. 观察表格数据：总价随着份数的增加而增加，二者是相关联的量。
2. 计算每组总价与份数的比值：
$30÷5=6$（元）
$48÷8=6$（元）
$66÷11=6$（元）
$120÷20=6$（元）
$150÷25=6$（元）
$240÷40=6$（元）
$300÷50=6$（元）
3. 分析结果：总价和份数的比值（单价）始终为6元，是定值，符合正比例的定义。
【答案】
份数与总价成正比例。因为总价随着份数的增大而增大，且总价÷份数=单价(一定)。
【知识点】
正比例的判定、正比例的意义
【点评】
判断两种量是否成正比例，需同时满足两个核心条件：一是两种量是相关联的量，一种量变化另一种量也随之变化；二是两种量相对应的数的比值（商）一定。本题通过计算比值明确单价恒定，结合量的变化关系，即可快速判定成正比例。
【难度系数】
0.9
要判断份数与总价是否成正比例，首先回忆正比例的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量。我们可以先观察表格里总价和份数的变化关系，再计算每组总价与份数的比值，看是否为定值，若满足这两个条件，即可判断成正比例。
【解析】
1. 观察表格数据：总价随着份数的增加而增加，二者是相关联的量。
2. 计算每组总价与份数的比值：
$30÷5=6$（元）
$48÷8=6$（元）
$66÷11=6$（元）
$120÷20=6$（元）
$150÷25=6$（元）
$240÷40=6$（元）
$300÷50=6$（元）
3. 分析结果：总价和份数的比值（单价）始终为6元，是定值，符合正比例的定义。
【答案】
份数与总价成正比例。因为总价随着份数的增大而增大，且总价÷份数=单价(一定)。
【知识点】
正比例的判定、正比例的意义
【点评】
判断两种量是否成正比例，需同时满足两个核心条件：一是两种量是相关联的量，一种量变化另一种量也随之变化；二是两种量相对应的数的比值（商）一定。本题通过计算比值明确单价恒定，结合量的变化关系，即可快速判定成正比例。
【难度系数】
0.9
4. 【提优挑战】下表中的$x$和$y$是两个相关联的量,而且成正比例,请将表格补充完整。
答案
4. (从左到右)3.6 14 7.2 25 18
解析
【分析】
首先明确正比例的定义：两种相关联的量，相对应的两个数的比值（商）一定，即$\frac{y}{x}=k$（$k$为定值）。解题思路是先根据已知的$x=6$和$y=2.4$算出这个固定比值$k$，再利用$k$分别计算表格中未知的$x$或$y$：
1. 先计算定值$k$；
2. 已知$x$求$y$时，用$y = k× x$；
3. 已知$y$求$x$时，用$x = y÷ k$。
【解析】
1. 计算正比例的定值$k$：
因为$x$和$y$成正比例，所以$k=\frac{y}{x}=\frac{2.4}{6}=0.4$。
2. 计算各未知量：
当$x=9$时，$y=0.4×9=3.6$；
当$y=5.6$时，$x=5.6÷0.4=14$；
当$x=18$时，$y=0.4×18=7.2$；
当$y=10$时，$x=10÷0.4=25$；
当$x=45$时，$y=0.4×45=18$。
【答案】
(从左到右)3.6 14 7.2 25 18
【知识点】
正比例的意义，正比例的计算
【点评】
本题考查正比例的实际应用，核心是利用正比例中“比值一定”的特点，先确定比例常数，再通过乘除法计算未知量，需要熟练掌握正比例的概念及运算。
【难度系数】
0.6
首先明确正比例的定义：两种相关联的量，相对应的两个数的比值（商）一定，即$\frac{y}{x}=k$（$k$为定值）。解题思路是先根据已知的$x=6$和$y=2.4$算出这个固定比值$k$，再利用$k$分别计算表格中未知的$x$或$y$：
1. 先计算定值$k$；
2. 已知$x$求$y$时，用$y = k× x$；
3. 已知$y$求$x$时，用$x = y÷ k$。
【解析】
1. 计算正比例的定值$k$：
因为$x$和$y$成正比例，所以$k=\frac{y}{x}=\frac{2.4}{6}=0.4$。
2. 计算各未知量：
当$x=9$时，$y=0.4×9=3.6$；
当$y=5.6$时，$x=5.6÷0.4=14$；
当$x=18$时，$y=0.4×18=7.2$；
当$y=10$时，$x=10÷0.4=25$；
当$x=45$时，$y=0.4×45=18$。
【答案】
(从左到右)3.6 14 7.2 25 18
【知识点】
正比例的意义，正比例的计算
【点评】
本题考查正比例的实际应用，核心是利用正比例中“比值一定”的特点，先确定比例常数，再通过乘除法计算未知量，需要熟练掌握正比例的概念及运算。
【难度系数】
0.6
