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4. 某遗址公园有一个重$4.2\ \mathrm{t}$的圆柱形石柱，高为$2.5\ \mathrm{m}$。小贤通过查阅资料得知，石柱所用材料每立方米重$2.8\ \mathrm{t}$。请你帮他计算出这个石柱的底面积是多少。
答案
$0.6\ \mathrm{m}^{2}$
解析
【分析】
要计算石柱的底面积，我们可以从圆柱体积公式入手。圆柱体积公式为$V = Sh$（其中$S$是底面积，$h$是高），因此底面积$S = \frac{V}{h}$。已知石柱的高$h = 2.5\ \mathrm{m}$，所以需要先求出石柱的体积$V$。
根据题意，石柱总重$4.2\ \mathrm{t}$，材料每立方米重$2.8\ \mathrm{t}$，由“体积 = 总重量÷单位体积重量”，可算出石柱体积，再代入底面积公式即可求解。
【解析】
1. 计算石柱的体积：
已知总重量为$4.2\ \mathrm{t}$，单位体积重量为$2.8\ \mathrm{t/m^3}$，则体积$V = 4.2÷2.8 = 1.5\ \mathrm{m^3}$。
2. 计算石柱的底面积：
根据圆柱体积公式$V = Sh$，可得底面积$S = V÷ h = 1.5÷2.5 = 0.6\ \mathrm{m^2}$。
【答案】
$0.6\ \mathrm{m}^{2}$
【知识点】
圆柱体积公式应用；除法的实际应用
【点评】
本题主要考查圆柱体积公式的逆运用，以及质量与体积的数量关系。解题关键是先通过总重量和单位体积重量求出石柱体积，再利用体积公式计算底面积，属于基础应用型题目，需要学生理清各物理量之间的逻辑关系。
【难度系数】
0.8
要计算石柱的底面积，我们可以从圆柱体积公式入手。圆柱体积公式为$V = Sh$（其中$S$是底面积，$h$是高），因此底面积$S = \frac{V}{h}$。已知石柱的高$h = 2.5\ \mathrm{m}$，所以需要先求出石柱的体积$V$。
根据题意，石柱总重$4.2\ \mathrm{t}$，材料每立方米重$2.8\ \mathrm{t}$，由“体积 = 总重量÷单位体积重量”，可算出石柱体积，再代入底面积公式即可求解。
【解析】
1. 计算石柱的体积：
已知总重量为$4.2\ \mathrm{t}$，单位体积重量为$2.8\ \mathrm{t/m^3}$，则体积$V = 4.2÷2.8 = 1.5\ \mathrm{m^3}$。
2. 计算石柱的底面积：
根据圆柱体积公式$V = Sh$，可得底面积$S = V÷ h = 1.5÷2.5 = 0.6\ \mathrm{m^2}$。
【答案】
$0.6\ \mathrm{m}^{2}$
【知识点】
圆柱体积公式应用；除法的实际应用
【点评】
本题主要考查圆柱体积公式的逆运用，以及质量与体积的数量关系。解题关键是先通过总重量和单位体积重量求出石柱体积，再利用体积公式计算底面积，属于基础应用型题目，需要学生理清各物理量之间的逻辑关系。
【难度系数】
0.8
5. 星期天，小芳请6位好朋友来家里做客，她选用一盒长方体包装的牛奶招待朋友，给每位好朋友倒上一满杯后，她自己还有牛奶喝吗？
答案
她自己还有120 mL牛奶喝。
解析
【分析】
要判断小芳自己是否还有牛奶喝，需先分别计算出长方体牛奶盒的总容积和6杯圆柱形杯子的总容积，再通过两者的差值判断。若差值大于0，则还有牛奶喝，同时可求出剩余量。具体思路为：先利用长方体体积公式算出牛奶盒的容积，再用圆柱体积公式算出单杯牛奶的容积，乘以6得到6杯的总容积，最后用牛奶盒容积减去6杯总容积，根据结果判断剩余情况。
【解析】
1. 计算长方体牛奶盒的容积：
根据长方体体积公式 $ V = 长×宽×高 $，代入数据：
$ 12×6×15 = 1080 \, \mathrm{cm}^3 $，又因为 $ 1 \, \mathrm{cm}^3 = 1 \, \mathrm{mL} $，所以牛奶盒的容积为 $ 1080 \, \mathrm{mL} $。
2. 计算单杯牛奶的体积：
根据圆柱体积公式 $ V = 底面积×高 $，代入数据：
$ 20×8 = 160 \, \mathrm{cm}^3 = 160 \, \mathrm{mL} $
3. 计算6杯牛奶的总容积：
$ 160×6 = 960 \, \mathrm{mL} $
4. 计算剩余牛奶量：
$ 1080 - 960 = 120 \, \mathrm{mL} $
因为剩余量大于0，所以小芳自己还有牛奶喝。
【答案】
她自己还有120 mL牛奶喝。
【知识点】
长方体体积计算，圆柱体积计算，容积单位换算
【点评】
本题考查立体图形的体积计算及容积单位换算，需要学生熟练掌握长方体和圆柱的体积公式，并能结合实际问题进行数值计算与比较，培养解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
要判断小芳自己是否还有牛奶喝，需先分别计算出长方体牛奶盒的总容积和6杯圆柱形杯子的总容积，再通过两者的差值判断。若差值大于0，则还有牛奶喝，同时可求出剩余量。具体思路为：先利用长方体体积公式算出牛奶盒的容积，再用圆柱体积公式算出单杯牛奶的容积，乘以6得到6杯的总容积，最后用牛奶盒容积减去6杯总容积，根据结果判断剩余情况。
【解析】
1. 计算长方体牛奶盒的容积：
根据长方体体积公式 $ V = 长×宽×高 $，代入数据：
$ 12×6×15 = 1080 \, \mathrm{cm}^3 $，又因为 $ 1 \, \mathrm{cm}^3 = 1 \, \mathrm{mL} $，所以牛奶盒的容积为 $ 1080 \, \mathrm{mL} $。
2. 计算单杯牛奶的体积：
根据圆柱体积公式 $ V = 底面积×高 $，代入数据：
$ 20×8 = 160 \, \mathrm{cm}^3 = 160 \, \mathrm{mL} $
3. 计算6杯牛奶的总容积：
$ 160×6 = 960 \, \mathrm{mL} $
4. 计算剩余牛奶量：
$ 1080 - 960 = 120 \, \mathrm{mL} $
因为剩余量大于0，所以小芳自己还有牛奶喝。
【答案】
她自己还有120 mL牛奶喝。
【知识点】
长方体体积计算，圆柱体积计算，容积单位换算
【点评】
本题考查立体图形的体积计算及容积单位换算，需要学生熟练掌握长方体和圆柱的体积公式，并能结合实际问题进行数值计算与比较，培养解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
6. 把一个高是$10\ \mathrm{cm}$的圆柱按下图所示切开，拼成一个近似的长方体，表面积增加了$60\ \mathrm{cm}^2$。圆柱的体积是多少立方厘米？
答案
$282.6\ \mathrm{cm}^{3}$
解析
【分析】
我们先明确圆柱切拼为近似长方体后的表面积变化：切拼后，长方体与圆柱相比，上下底面积、侧面积均与圆柱对应部分相等，新增的表面积是左右两个完全相同的长方形的面积，这两个长方形的长是圆柱的高，宽是圆柱的底面半径。已知表面积增加了$60\ \mathrm{cm}^2$，圆柱高$10\ \mathrm{cm}$，我们可以先求出一个长方形的面积，进而算出底面半径，最后代入圆柱体积公式计算体积。
【解析】
1. 计算单个新增长方形的面积：
$60÷2=30\ (\mathrm{cm}^2)$
2. 求圆柱底面半径：
因为长方形面积 = 长×宽，此处长方形的长为圆柱的高$10\ \mathrm{cm}$，所以底面半径$r=30÷10=3\ (\mathrm{cm})$
3. 计算圆柱体积：
根据圆柱体积公式$V=π r^2h$，代入数据得：
$V=3.14×3^2×10=3.14×9×10=282.6\ (\mathrm{cm}^3)$
【答案】
$282.6\ \mathrm{cm}^{3}$
【知识点】
圆柱体积计算，圆柱切拼表面积变化
【点评】
本题考查圆柱切拼变形后的表面积与体积综合应用，核心是理解切拼后新增表面积的构成，通过新增面积求出底面半径，再利用圆柱体积公式求解，需要熟练掌握圆柱体积公式及切拼前后的图形关系。
【难度系数】
0.6
我们先明确圆柱切拼为近似长方体后的表面积变化：切拼后，长方体与圆柱相比，上下底面积、侧面积均与圆柱对应部分相等，新增的表面积是左右两个完全相同的长方形的面积，这两个长方形的长是圆柱的高，宽是圆柱的底面半径。已知表面积增加了$60\ \mathrm{cm}^2$，圆柱高$10\ \mathrm{cm}$，我们可以先求出一个长方形的面积，进而算出底面半径，最后代入圆柱体积公式计算体积。
【解析】
1. 计算单个新增长方形的面积：
$60÷2=30\ (\mathrm{cm}^2)$
2. 求圆柱底面半径：
因为长方形面积 = 长×宽，此处长方形的长为圆柱的高$10\ \mathrm{cm}$，所以底面半径$r=30÷10=3\ (\mathrm{cm})$
3. 计算圆柱体积：
根据圆柱体积公式$V=π r^2h$，代入数据得：
$V=3.14×3^2×10=3.14×9×10=282.6\ (\mathrm{cm}^3)$
【答案】
$282.6\ \mathrm{cm}^{3}$
【知识点】
圆柱体积计算，圆柱切拼表面积变化
【点评】
本题考查圆柱切拼变形后的表面积与体积综合应用，核心是理解切拼后新增表面积的构成，通过新增面积求出底面半径，再利用圆柱体积公式求解，需要熟练掌握圆柱体积公式及切拼前后的图形关系。
【难度系数】
0.6
