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8. 经过刨平的木板上的两个定点，可以弹出一条笔直的墨线，能解释这一实际应用的数学知识是
两点确定一条直线
。答案
8. 两点确定一条直线
解析
【分析】
首先提取题目中的核心信息：操作的前提是木板上存在两个定点，最终得到的结果是唯一的笔直墨线，也就是唯一的一条直线。我们只需要对应所学的直线相关的基础公理，匹配“两个点对应唯一一条直线”的性质，就能直接得到对应的数学原理。
【解析】
在平面内，给定两个不同的点，有且只有一条直线可以同时经过这两个点，这一性质完全匹配题目中经过两个定点只能弹出一条笔直墨线的实际场景，因此对应的数学知识就是两点确定一条直线。
【答案】
两点确定一条直线
【知识点】
两点确定一条直线；直线的基本公理
【点评】
本题属于几何基础概念的实际应用题，结合木工弹墨线的生活场景考察对直线基本性质的理解，难度很低，答题时注意不要和“两点之间线段最短”这类相近的几何公理混淆即可。
【难度系数】
0.9
首先提取题目中的核心信息：操作的前提是木板上存在两个定点，最终得到的结果是唯一的笔直墨线，也就是唯一的一条直线。我们只需要对应所学的直线相关的基础公理，匹配“两个点对应唯一一条直线”的性质，就能直接得到对应的数学原理。
【解析】
在平面内，给定两个不同的点，有且只有一条直线可以同时经过这两个点，这一性质完全匹配题目中经过两个定点只能弹出一条笔直墨线的实际场景，因此对应的数学知识就是两点确定一条直线。
【答案】
两点确定一条直线
【知识点】
两点确定一条直线；直线的基本公理
【点评】
本题属于几何基础概念的实际应用题，结合木工弹墨线的生活场景考察对直线基本性质的理解，难度很低，答题时注意不要和“两点之间线段最短”这类相近的几何公理混淆即可。
【难度系数】
0.9
9. 如图，平面上有四个点 $ A $，$ B $，$ C $，$ D $，根据下列语句画图。
(1) 画直线 $ AB $，$ CD $ 交于点 $ E $；
(2) 画线段 $ AC $，$ BD $ 交于点 $ F $；
(3) 连接 $ AD $，并将其反向延长；
(4) 作射线 $ BC $。
(1) 画直线 $ AB $，$ CD $ 交于点 $ E $；
(2) 画线段 $ AC $，$ BD $ 交于点 $ F $；
(3) 连接 $ AD $，并将其反向延长；
(4) 作射线 $ BC $。
答案
9. 如图:
解析
【分析】
我们首先要明确直线、线段、射线各自的定义和延伸特性，再按照题目给出的4个要求依次完成作图：首先回忆直线可以向两端无限延伸，画直线AB、CD的时候两端都要出头，找到它们的交点标注E；其次线段有两个端点不能延伸，直接连接AC、BD，找到交点标注F；接着连接AD后，反向延长AD就是沿着A点背离D的方向向外延长；最后射线BC的端点是B，过C之后向远离B的方向延伸出头即可，一步步操作就可以完成全部作图。
【解析】
按照题目要求分步作图：
1. 画直线AB、CD交于点E：依据直线无端点、可向两端无限延伸的性质，分别过A、B两点画出两端均超出A、B的直线，过C、D两点画出两端均超出C、D的直线，两条直线的交点标记为E。
2. 画线段AC、BD交于点F：依据线段有两个端点、不可延伸的性质，直接连接点A和点C、点B和点D，两条线段的交点标记为F。
3. 连接AD并反向延长：先连接A、D两点得到线段AD，反向延长AD即从点A出发，沿远离点D的方向向外延伸，画出超出点A的延长部分。
4. 作射线BC：依据射线有一个端点、可向一端无限延伸的性质，以B为端点，经过点C后继续向远离B的方向延伸，画出另一端超出点C的射线即可。
【答案】
【知识点】
直线的画法；射线的画法；线段的画法
【点评】
本题是几何入门的基础作图题，核心考点是区分直线、射线、线段的延伸特性，易错点是混淆射线的端点位置、反向延长线的方向，只要牢记三类线的端点数量和延伸规则，按步骤操作即可顺利完成作图。
【难度系数】
0.8
我们首先要明确直线、线段、射线各自的定义和延伸特性，再按照题目给出的4个要求依次完成作图：首先回忆直线可以向两端无限延伸，画直线AB、CD的时候两端都要出头，找到它们的交点标注E；其次线段有两个端点不能延伸，直接连接AC、BD，找到交点标注F；接着连接AD后，反向延长AD就是沿着A点背离D的方向向外延长；最后射线BC的端点是B，过C之后向远离B的方向延伸出头即可，一步步操作就可以完成全部作图。
【解析】
按照题目要求分步作图：
1. 画直线AB、CD交于点E：依据直线无端点、可向两端无限延伸的性质，分别过A、B两点画出两端均超出A、B的直线，过C、D两点画出两端均超出C、D的直线，两条直线的交点标记为E。
2. 画线段AC、BD交于点F：依据线段有两个端点、不可延伸的性质，直接连接点A和点C、点B和点D，两条线段的交点标记为F。
3. 连接AD并反向延长：先连接A、D两点得到线段AD，反向延长AD即从点A出发，沿远离点D的方向向外延伸，画出超出点A的延长部分。
4. 作射线BC：依据射线有一个端点、可向一端无限延伸的性质，以B为端点，经过点C后继续向远离B的方向延伸，画出另一端超出点C的射线即可。
【答案】
【知识点】
直线的画法；射线的画法；线段的画法
【点评】
本题是几何入门的基础作图题，核心考点是区分直线、射线、线段的延伸特性，易错点是混淆射线的端点位置、反向延长线的方向，只要牢记三类线的端点数量和延伸规则，按步骤操作即可顺利完成作图。
【难度系数】
0.8
10. 如图：
(1) [试验观察] 如果经过两点画直线，那么：
第1个图形最多可以画
第2个图形最多可以画
第3个图形最多可以画
(2) [探索归纳] 如果平面上有 $ n(n ≥ 3) $ 个点，且任意 3 个点均不在一条直线上，那么经过两点最多可以画
(3) [解决问题] 某班 45 名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握 1 次手问好，那么一共握
(1) [试验观察] 如果经过两点画直线，那么：
第1个图形最多可以画
3
条直线；第2个图形最多可以画
6
条直线；第3个图形最多可以画
10
条直线。(2) [探索归纳] 如果平面上有 $ n(n ≥ 3) $ 个点，且任意 3 个点均不在一条直线上，那么经过两点最多可以画
$\frac{n(n - 1)}{2}$
条直线。(用含 $ n $ 的式子表示)(3) [解决问题] 某班 45 名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握 1 次手问好，那么一共握
990
次手。答案
10. (1) 3 6 10 (2) $\frac{n(n - 1)}{2}$ (3) 990
解析
【分析】
解题思路从特殊到一般逐步推进：首先先数出前三个图形的点的总数，在任意三点不共线的前提下，逐个累加两点连线的数量，得到前三个图形最多可画的直线数；接着归纳n个点的通用规律：每个点都可以和其余n-1个点连线，但是每条直线会被两个点重复计数一次，因此总数量要除以2，推导出通用公式；最后把握手问题转化为对应的点连线模型，代入公式计算即可得到总握手次数。
【解析】
(1) 第1个图形共有3个点，最多可画直线数为$2+1=3$条；
第2个图形共有4个点，最多可画直线数为$3+2+1=6$条；
第3个图形共有5个点，最多可画直线数为$4+3+2+1=10$条。
(2) 平面上有$n(n≥3)$个点，任意3个点均不在一条直线上，每个点可与剩余$n-1$个点确定$n-1$条直线，所有点的连线总计数为$n(n-1)$，但每条直线被2个点重复计数了1次，因此最多可画直线数为$\frac{n(n-1)}{2}$。
(3) 45名同学每两人握1次手，等价于45个点任意两点连线的总数量，代入公式得：$\frac{45×(45-1)}{2}=\frac{45×44}{2}=990$次。
【答案】
(1) 3；6；10 (2) $\frac{n(n - 1)}{2}$ (3) 990
【知识点】
两点确定直线；图形规律探究；组合计数应用
【点评】
本题从基础的两点画直线操作切入，先通过数具体图形的连线数量积累直观经验，再引导学生归纳出通用的计数公式，最后将实际握手问题转化为对应的数学模型，循序渐进，既巩固了直线的基本性质，也锻炼了学生从特殊到一般的归纳能力和知识迁移的应用能力。
【难度系数】
0.7
解题思路从特殊到一般逐步推进：首先先数出前三个图形的点的总数，在任意三点不共线的前提下，逐个累加两点连线的数量，得到前三个图形最多可画的直线数；接着归纳n个点的通用规律：每个点都可以和其余n-1个点连线，但是每条直线会被两个点重复计数一次，因此总数量要除以2，推导出通用公式；最后把握手问题转化为对应的点连线模型，代入公式计算即可得到总握手次数。
【解析】
(1) 第1个图形共有3个点，最多可画直线数为$2+1=3$条；
第2个图形共有4个点，最多可画直线数为$3+2+1=6$条；
第3个图形共有5个点，最多可画直线数为$4+3+2+1=10$条。
(2) 平面上有$n(n≥3)$个点，任意3个点均不在一条直线上，每个点可与剩余$n-1$个点确定$n-1$条直线，所有点的连线总计数为$n(n-1)$，但每条直线被2个点重复计数了1次，因此最多可画直线数为$\frac{n(n-1)}{2}$。
(3) 45名同学每两人握1次手，等价于45个点任意两点连线的总数量，代入公式得：$\frac{45×(45-1)}{2}=\frac{45×44}{2}=990$次。
【答案】
(1) 3；6；10 (2) $\frac{n(n - 1)}{2}$ (3) 990
【知识点】
两点确定直线；图形规律探究；组合计数应用
【点评】
本题从基础的两点画直线操作切入，先通过数具体图形的连线数量积累直观经验，再引导学生归纳出通用的计数公式，最后将实际握手问题转化为对应的数学模型，循序渐进，既巩固了直线的基本性质，也锻炼了学生从特殊到一般的归纳能力和知识迁移的应用能力。
【难度系数】
0.7
