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1. 下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是(
A.$(x + y)(-x - y)$
B.$(2x + 3y)(2x - 3z)$
C.$(-a - b)(-a + b)$
D.$(m - n)(n - m)$
C
)。A.$(x + y)(-x - y)$
B.$(2x + 3y)(2x - 3z)$
C.$(-a - b)(-a + b)$
D.$(m - n)(n - m)$
答案
1. C
解析
【分析】
我们首先要明确平方差公式的核心结构特征：两个二项式相乘时，必须有一组项完全相同，另一组项互为相反数，才能套用平方差公式计算。解题时我们只需要逐个比对四个选项的两个因式，排查是否满足“同项+相反项”的结构，就可以快速选出正确答案。
【解析】
平方差公式的通用形式为：$(A+B)(A-B)=A^2-B^2$，其适用的核心判定规则是：两个二项式因式中，存在完全相等的公共项$A$，剩余的两个项互为相反数（即$B$和$-B$）。我们逐一分析选项：
选项A：$(x + y)(-x - y) = -(x+y)(x+y)$，两个因式的所有项都互为相反数，不存在完全相同的公共项，不符合平方差公式的要求，该选项错误。
选项B：$(2x + 3y)(2x - 3z)$，两个因式的不同项分别是$3y$和$-3z$，二者既不相等也不互为相反数，不满足平方差的结构要求，该选项错误。
选项C：$(-a - b)(-a + b)$，两个因式中完全相同的公共项是$-a$，剩余的项$-b$和$+b$互为相反数，完全符合平方差公式的结构，可以计算为$(-a)^2 - b^2$，该选项正确。
选项D：$(m - n)(n - m) = -(m-n)(m-n)$，两个因式的所有项都互为相反数，不存在完全相同的公共项，不符合平方差公式的要求，该选项错误。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式，多项式乘法
【点评】
本题属于平方差公式的基础概念考察题，核心是考察学生对平方差公式结构特征的识别能力，易错点是学生容易混淆平方差和完全平方的适用场景，后续解题时可以牢记“找同项、找反项”的两步判断法，就能快速准确判断是否可以套用平方差公式。
【难度系数】
0.9
我们首先要明确平方差公式的核心结构特征：两个二项式相乘时，必须有一组项完全相同，另一组项互为相反数，才能套用平方差公式计算。解题时我们只需要逐个比对四个选项的两个因式，排查是否满足“同项+相反项”的结构，就可以快速选出正确答案。
【解析】
平方差公式的通用形式为：$(A+B)(A-B)=A^2-B^2$，其适用的核心判定规则是：两个二项式因式中，存在完全相等的公共项$A$，剩余的两个项互为相反数（即$B$和$-B$）。我们逐一分析选项：
选项A：$(x + y)(-x - y) = -(x+y)(x+y)$，两个因式的所有项都互为相反数，不存在完全相同的公共项，不符合平方差公式的要求，该选项错误。
选项B：$(2x + 3y)(2x - 3z)$，两个因式的不同项分别是$3y$和$-3z$，二者既不相等也不互为相反数，不满足平方差的结构要求，该选项错误。
选项C：$(-a - b)(-a + b)$，两个因式中完全相同的公共项是$-a$，剩余的项$-b$和$+b$互为相反数，完全符合平方差公式的结构，可以计算为$(-a)^2 - b^2$，该选项正确。
选项D：$(m - n)(n - m) = -(m-n)(m-n)$，两个因式的所有项都互为相反数，不存在完全相同的公共项，不符合平方差公式的要求，该选项错误。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式，多项式乘法
【点评】
本题属于平方差公式的基础概念考察题，核心是考察学生对平方差公式结构特征的识别能力，易错点是学生容易混淆平方差和完全平方的适用场景，后续解题时可以牢记“找同项、找反项”的两步判断法，就能快速准确判断是否可以套用平方差公式。
【难度系数】
0.9
2. 计算$(-3x + 4)(-3x - 4)$等于(
A.$(3x)^{2} - 4^{2}$
B.$4^{2} - (3x)^{2}$
C.$-(3x)^{2} - 4^{2}$
D.$3x - y^{2}$
A
)。A.$(3x)^{2} - 4^{2}$
B.$4^{2} - (3x)^{2}$
C.$-(3x)^{2} - 4^{2}$
D.$3x - y^{2}$
答案
2. A
解析
$(-3x + 4)(-3x - 4)$
$=(-3x)^{2}-4^{2}$
$=(3x)^{2}-4^{2}$
A
$=(-3x)^{2}-4^{2}$
$=(3x)^{2}-4^{2}$
A
3. 等式$(-a - 1)( ) = 1 - a^{2}$，括号内应填入(
A.$a - 1$
B.$1 - a$
C.$a + 1$
D.$-1 - a$
A
)。A.$a - 1$
B.$1 - a$
C.$a + 1$
D.$-1 - a$
答案
3. A
解析
因为$1 - a^{2}=(1 - a)(1 + a)$，而$(-a - 1)=-(a + 1)$，所以括号内的式子为$(1 - a)(1 + a)÷(-(a + 1))=-(1 - a)=a - 1$。
A
A
4. 下列各式中，计算正确的是(
A.$(x - 2)(2 - x) = x^{2} - 2$
B.$(x + 2)(3x - 2) = 3x^{2} - 4$
C.$(x^{2} - c)(x^{2} + c) = x^{4} - c^{2}$
D.$(-x - y)(x + y) = x^{2} - y^{2}$
C
)。A.$(x - 2)(2 - x) = x^{2} - 2$
B.$(x + 2)(3x - 2) = 3x^{2} - 4$
C.$(x^{2} - c)(x^{2} + c) = x^{4} - c^{2}$
D.$(-x - y)(x + y) = x^{2} - y^{2}$
答案
4. C
解析
【分析】
这是一道整式乘法的正误判断题，解题的核心思路是逐一验算每个选项等号左侧的整式运算结果，和右侧给出的结果比对即可判断对错。首先回忆整式乘法的运算法则，以及平方差公式、完全平方公式的结构特征：多项式乘多项式需要把一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项再合并同类项，平方差公式要求是“两数和×两数差”的结构，完全平方公式展开后有三项。我们逐个展开每个选项的左侧式子，化简后和右侧对比，就能选出正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一计算验证：
1. 选项A：
左边展开：$(x-2)(2-x) = -(x-2)(x-2) = -(x-2)^2 = -(x^2 -4x +4) = -x^2 +4x -4$，和右侧的$x^2-2$完全不相等，A错误。
2. 选项B：
左边展开：$(x+2)(3x-2) = x·3x + x·(-2) + 2·3x + 2·(-2) = 3x^2 -2x +6x -4 = 3x^2 +4x -4$，和右侧的$3x^2-4$不相等，B错误。
3. 选项C：
左侧符合平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$的结构，其中$a=x^2$，$b=c$，因此展开得：$(x^2 -c)(x^2 +c) = (x^2)^2 - c^2 = x^4 -c^2$，和右侧结果完全一致，C正确。
4. 选项D：
左边展开：$(-x-y)(x+y) = -(x+y)(x+y) = -(x+y)^2 = -x^2 -2xy -y^2$，和右侧的$x^2 - y^2$不相等，D错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
多项式乘法，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，重点考察学生对常见乘法公式结构的辨识能力，易错点是混淆平方差公式和完全平方公式的适用条件，漏写多项式相乘的交叉项，通过逐项验算的方法可以快速排除错误选项，帮助学生加深对乘法公式特征的记忆。
【难度系数】
0.8
这是一道整式乘法的正误判断题，解题的核心思路是逐一验算每个选项等号左侧的整式运算结果，和右侧给出的结果比对即可判断对错。首先回忆整式乘法的运算法则，以及平方差公式、完全平方公式的结构特征：多项式乘多项式需要把一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项再合并同类项，平方差公式要求是“两数和×两数差”的结构，完全平方公式展开后有三项。我们逐个展开每个选项的左侧式子，化简后和右侧对比，就能选出正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一计算验证：
1. 选项A：
左边展开：$(x-2)(2-x) = -(x-2)(x-2) = -(x-2)^2 = -(x^2 -4x +4) = -x^2 +4x -4$，和右侧的$x^2-2$完全不相等，A错误。
2. 选项B：
左边展开：$(x+2)(3x-2) = x·3x + x·(-2) + 2·3x + 2·(-2) = 3x^2 -2x +6x -4 = 3x^2 +4x -4$，和右侧的$3x^2-4$不相等，B错误。
3. 选项C：
左侧符合平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$的结构，其中$a=x^2$，$b=c$，因此展开得：$(x^2 -c)(x^2 +c) = (x^2)^2 - c^2 = x^4 -c^2$，和右侧结果完全一致，C正确。
4. 选项D：
左边展开：$(-x-y)(x+y) = -(x+y)(x+y) = -(x+y)^2 = -x^2 -2xy -y^2$，和右侧的$x^2 - y^2$不相等，D错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
多项式乘法，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，重点考察学生对常见乘法公式结构的辨识能力，易错点是混淆平方差公式和完全平方公式的适用条件，漏写多项式相乘的交叉项，通过逐项验算的方法可以快速排除错误选项，帮助学生加深对乘法公式特征的记忆。
【难度系数】
0.8
5. 下列各式中，计算结果是$a^{2} - 16b^{2}$的是(
A.$(-4b + a)(-4b - a)$
B.$(-4b + a)(4b - a)$
C.$(a + 2b)(a - 8b)$
D.$(-4b - a)(4b - a)$
D
)。A.$(-4b + a)(-4b - a)$
B.$(-4b + a)(4b - a)$
C.$(a + 2b)(a - 8b)$
D.$(-4b - a)(4b - a)$
答案
5. D
解析
A. $(-4b + a)(-4b - a)=(-4b)^2 - a^2=16b^2 - a^2$；
B. $(-4b + a)(4b - a)=-(4b - a)^2=-16b^2 + 8ab - a^2$；
C. $(a + 2b)(a - 8b)=a^2 - 8ab + 2ab - 16b^2=a^2 - 6ab - 16b^2$；
D. $(-4b - a)(4b - a)=(-a - 4b)(-a + 4b)=(-a)^2 - (4b)^2=a^2 - 16b^2$。
D
B. $(-4b + a)(4b - a)=-(4b - a)^2=-16b^2 + 8ab - a^2$；
C. $(a + 2b)(a - 8b)=a^2 - 8ab + 2ab - 16b^2=a^2 - 6ab - 16b^2$；
D. $(-4b - a)(4b - a)=(-a - 4b)(-a + 4b)=(-a)^2 - (4b)^2=a^2 - 16b^2$。
D
6. 判断对错。
(1) $(a + 1)(a - 1) = a^{2} - 1$。 (
(2) $(a^{2} + 1)(a^{2} - 1) = a^{4} - 1$。 (
(3) $(-a - 1)(a - 1) = -a^{2} - 1$。 (
(4) $(\dfrac{1}{2}a + \dfrac{2}{3})(\dfrac{1}{2}a - \dfrac{2}{3}) = \dfrac{1}{4}a^{2} - \dfrac{4}{9}$。 (
(1) $(a + 1)(a - 1) = a^{2} - 1$。 (
√
)(2) $(a^{2} + 1)(a^{2} - 1) = a^{4} - 1$。 (
√
)(3) $(-a - 1)(a - 1) = -a^{2} - 1$。 (
×
)(4) $(\dfrac{1}{2}a + \dfrac{2}{3})(\dfrac{1}{2}a - \dfrac{2}{3}) = \dfrac{1}{4}a^{2} - \dfrac{4}{9}$。 (
√
)答案
6. (1) √ (2) √ (3) × (4) √
解析
【分析】
这道题是平方差公式的正误判断题，解题的核心思路是先回忆平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，若其中一项完全相同，另一项互为相反数，那么运算结果等于“完全相同项的平方”减去“互为相反数项的平方”，即$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$。我们只需要逐个小题对照公式，将左侧的式子按平方差规则展开，和题目给出的右侧结果比对，完全一致则判断为对，不一致则判断为错即可。
【解析】
我们逐个验证每一个小题：
(1) 对$(a+1)(a-1)$套用平方差公式，相同项为$a$，互为相反数的项为$1$和$-1$，展开得$a^2 - 1^2 = a^2 -1$，和等式右侧完全相等，因此该式正确。
(2) 将$a^2$视作整体，对$(a^2+1)(a^2-1)$套用平方差公式，展开得$(a^2)^2 -1^2 = a^4 -1$，和等式右侧完全相等，因此该式正确。
(3) 先对$(-a-1)(a-1)$调整因式顺序变形为$(-1 -a)(-1 +a)$，此时相同项为$-1$，互为相反数的项为$-a$和$a$，展开得$(-1)^2 -a^2 = 1 -a^2$，和题目给出的右侧$-a^2 -1$不相等，因此该式错误。
(4) 对$(\dfrac{1}{2}a + \dfrac{2}{3})(\dfrac{1}{2}a - \dfrac{2}{3})$套用平方差公式，展开得$(\dfrac{1}{2}a)^2 - (\dfrac{2}{3})^2 = \dfrac{1}{4}a^2 - \dfrac{4}{9}$，和等式右侧完全相等，因此该式正确。
【答案】
(1) √ (2) √ (3) × (4) √
【知识点】
平方差公式；整式乘法运算
【点评】
本题属于平方差公式的基础巩固题型，重点考察学生对平方差公式结构的识别能力，易错点是第(3)小题，很多同学容易找错相同项和相反项导致符号计算错误，解题时要牢记“先找同项、再找异项，同方减去异方”的运算规则，就能避免出错。
【难度系数】
0.8
这道题是平方差公式的正误判断题，解题的核心思路是先回忆平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，若其中一项完全相同，另一项互为相反数，那么运算结果等于“完全相同项的平方”减去“互为相反数项的平方”，即$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$。我们只需要逐个小题对照公式，将左侧的式子按平方差规则展开，和题目给出的右侧结果比对，完全一致则判断为对，不一致则判断为错即可。
【解析】
我们逐个验证每一个小题：
(1) 对$(a+1)(a-1)$套用平方差公式，相同项为$a$，互为相反数的项为$1$和$-1$，展开得$a^2 - 1^2 = a^2 -1$，和等式右侧完全相等，因此该式正确。
(2) 将$a^2$视作整体，对$(a^2+1)(a^2-1)$套用平方差公式，展开得$(a^2)^2 -1^2 = a^4 -1$，和等式右侧完全相等，因此该式正确。
(3) 先对$(-a-1)(a-1)$调整因式顺序变形为$(-1 -a)(-1 +a)$，此时相同项为$-1$，互为相反数的项为$-a$和$a$，展开得$(-1)^2 -a^2 = 1 -a^2$，和题目给出的右侧$-a^2 -1$不相等，因此该式错误。
(4) 对$(\dfrac{1}{2}a + \dfrac{2}{3})(\dfrac{1}{2}a - \dfrac{2}{3})$套用平方差公式，展开得$(\dfrac{1}{2}a)^2 - (\dfrac{2}{3})^2 = \dfrac{1}{4}a^2 - \dfrac{4}{9}$，和等式右侧完全相等，因此该式正确。
【答案】
(1) √ (2) √ (3) × (4) √
【知识点】
平方差公式；整式乘法运算
【点评】
本题属于平方差公式的基础巩固题型，重点考察学生对平方差公式结构的识别能力，易错点是第(3)小题，很多同学容易找错相同项和相反项导致符号计算错误，解题时要牢记“先找同项、再找异项，同方减去异方”的运算规则，就能避免出错。
【难度系数】
0.8
