7. 请用平方差公式计算，并直接写出结果。
(1) $(3x - 2y)(3x + 2y) =$；
(2) $(-3x - 2y)(-3x + 2y) =$；
(3) $(-3x - 2y)(3x - 2y) =$；
(4) $(-\dfrac{1}{5}x - 2y)(\dfrac{1}{5}x - 2y) =$。

7. (1) $ 9x^{2}-4y^{2} $ (2) $ 9x^{2}-4y^{2} $ (3) $ 4y^{2}-9x^{2} $ (4) $ 4y^{2}-\frac{1}{25}x^{2} $

【分析】
解题的核心是牢记平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，若其中一项完全相同，另一项互为相反数，就可以套用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$计算。解题时先从两个因式中找出完全相同的项作为公式里的$a$，找出符号相反的互为相反数的项作为公式里的$b$，再代入公式计算，注意对带负号的项做平方运算时不要搞错符号。
【解析】
我们逐个套用平方差公式计算：
(1) 两个因式中完全相同的项是$3x$，互为相反数的项是$-2y$和$+2y$，代入公式得：
原式$=(3x)^2 - (2y)^2 = 9x^2 - 4y^2$
(2) 两个因式中完全相同的项是$-3x$，互为相反数的项是$-2y$和$+2y$，代入公式得：
原式$=(-3x)^2 - (2y)^2 = 9x^2 - 4y^2$
(3) 两个因式中完全相同的项是$-2y$，互为相反数的项是$-3x$和$+3x$，代入公式得：
原式$=(-2y)^2 - (3x)^2 = 4y^2 - 9x^2$
(4) 两个因式中完全相同的项是$-2y$，互为相反数的项是$-\frac{1}{5}x$和$+\frac{1}{5}x$，代入公式得：
原式$=(-2y)^2 - (\frac{1}{5}x)^2 = 4y^2 - \frac{1}{25}x^2$
【答案】
(1) $9x^{2}-4y^{2}$；(2) $9x^{2}-4y^{2}$；(3) $4y^{2}-9x^{2}$；(4) $4y^{2}-\frac{1}{25}x^{2}$
【知识点】
平方差公式，整式乘法
【点评】
本题是平方差公式的基础专项练习，核心考察学生对平方差公式结构特征的识别能力，易错点是在带负号的因式中找相同项和相反项时容易混淆符号，要牢记“相同项平方减去相反项中任意一项的平方”的判断规则，就能避免计算错误。
【难度系数】
0.8

8. 计算：
(1) $(3y - 4b)(3y + 4b)$；
(2) $(-8 + 7m^{2})(-8 - 7m^{2})$；
(3) $(\dfrac{1}{2}x + 4y)(-\dfrac{1}{2}x + 4y)$；
(4) $a(a - 3) - (a + 7)(a - 7)$。

8. (1) $ 9y^{2}-16b^{2} $。 (2) $ 64-49m^{4} $。 (3) $ 16y^{2}-\frac{1}{4}x^{2} $。 (4) $ -3a+49 $。

(1) $(3y - 4b)(3y + 4b)=(3y)^{2}-(4b)^{2}=9y^{2}-16b^{2}$
(2) $(-8 + 7m^{2})(-8 - 7m^{2})=(-8)^{2}-(7m^{2})^{2}=64-49m^{4}$
(3) $(\dfrac{1}{2}x + 4y)(-\dfrac{1}{2}x + 4y)=(4y)^{2}-(\dfrac{1}{2}x)^{2}=16y^{2}-\dfrac{1}{4}x^{2}$
(4) $a(a - 3) - (a + 7)(a - 7)=a^{2}-3a-(a^{2}-49)=a^{2}-3a-a^{2}+49=-3a+49$

9. 先化简，再求值：$(2 - x)(x + 2) - (-y + 2)(-2 - y)$，其中$x = -1$，$y = \dfrac{1}{2}$。

9. 解：原式 $ =8-x^{2}-y^{2} $。将 $ x=-1 $，$ y=\frac{1}{2} $ 代入，得原式 $ =8-(-1)^{2}-(\frac{1}{2})^{2}=\frac{27}{4} $。

解：原式$=(2 - x)(x + 2) - (-y + 2)(-2 - y)$
$=2^2 - x^2 - [(-y)(-2) + (-y)(-y) + 2(-2) + 2(-y)]$
$=4 - x^2 - (2y + y^2 - 4 - 2y)$
$=4 - x^2 - (y^2 - 4)$
$=4 - x^2 - y^2 + 4$
$=8 - x^2 - y^2$
将$x = -1$，$y = \frac{1}{2}$代入，得：
原式$=8 - (-1)^2 - (\frac{1}{2})^2$
$=8 - 1 - \frac{1}{4}$
$=7 - \frac{1}{4}$
$=\frac{28}{4} - \frac{1}{4}$
$=\frac{27}{4}$

10. 阅读材料后解决问题，小明遇到下面一个问题：
计算$(2 + 1)×(2^{2} + 1)×(2^{4} + 1)×(2^{8} + 1)$。
经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：
$(2 + 1)×(2^{2} + 1)×(2^{4} + 1)×(2^{8} + 1)$
$= (2 - 1)×(2 + 1)×(2^{2} + 1)×(2^{4} + 1)×(2^{8} + 1)$
$= (2^{2} - 1)×(2^{2} + 1)×(2^{4} + 1)×(2^{8} + 1)$
$= (2^{4} - 1)×(2^{4} + 1)×(2^{8} + 1)$
$= (2^{8} - 1)×(2^{8} + 1)$
$= 2^{16} - 1$。
请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题：
(1) $(2 + 1)×(2^{2} + 1)×(2^{4} + 1)×(2^{8} + 1)×(2^{16} + 1)$；
(2) $(3 + 1)×(3^{2} + 1)×(3^{4} + 1)×(3^{8} + 1)×(3^{16} + 1)$。

10. 解：(1) 原式 $ =(2-1)×(2+1)×(2^{2}+1)×(2^{4}+1)×(2^{8}+1)×(2^{16}+1)=(2^{2}-1)×(2^{2}+1)×(2^{4}+1)×(2^{8}+1)×(2^{16}+1)=2^{32}-1 $。 (2) 原式 $ =\frac{1}{2}×(3-1)×(3+1)×(3^{2}+1)×(3^{4}+1)×(3^{8}+1)×(3^{16}+1)=\frac{3^{32}-1}{2} $。

10. 解：(1) 原式$=(2-1)×(2+1)×(2^{2}+1)×(2^{4}+1)×(2^{8}+1)×(2^{16}+1)$
$=(2^{2}-1)×(2^{2}+1)×(2^{4}+1)×(2^{8}+1)×(2^{16}+1)$
$=(2^{4}-1)×(2^{4}+1)×(2^{8}+1)×(2^{16}+1)$
$=(2^{8}-1)×(2^{8}+1)×(2^{16}+1)$
$=(2^{16}-1)×(2^{16}+1)$
$=2^{32}-1$。
(2) 原式$=\frac{1}{2}×(3-1)×(3+1)×(3^{2}+1)×(3^{4}+1)×(3^{8}+1)×(3^{16}+1)$
$=\frac{1}{2}×(3^{2}-1)×(3^{2}+1)×(3^{4}+1)×(3^{8}+1)×(3^{16}+1)$
$=\frac{1}{2}×(3^{4}-1)×(3^{4}+1)×(3^{8}+1)×(3^{16}+1)$
$=\frac{1}{2}×(3^{8}-1)×(3^{8}+1)×(3^{16}+1)$
$=\frac{1}{2}×(3^{16}-1)×(3^{16}+1)$
$=\frac{1}{2}×(3^{32}-1)$
$=\frac{3^{32}-1}{2}$。