1. 下列各式中,$y$是$x$的反比例函数的是（）

A.$y=\dfrac{5x}{2}$
B.$y=\dfrac{5}{2x}$
C.$y=\dfrac{k}{x}$
D.$y=2x+5$

1. B

【分析】首先明确反比例函数的定义：形如$ y=\frac{k}{x} $（$ k $为常数，且$ k≠0 $）的函数叫做反比例函数，需满足两个核心条件：一是函数形式为“非零常数除以自变量”，二是常数$ k $不能为0。接下来逐一分析选项，判断是否符合反比例函数的定义。
【解析】根据反比例函数的定义逐一分析选项：
1. 选项A：$ y=\frac{5x}{2} $，是正比例函数（形如$ y=ax $，$ a≠0 $），不符合反比例函数定义，排除；
2. 选项B：$ y=\frac{5}{2x}=\frac{\frac{5}{2}}{x} $，其中$ k=\frac{5}{2}≠0 $，满足反比例函数$ y=\frac{k}{x} $的形式，是反比例函数；
3. 选项C：$ y=\frac{k}{x} $未明确$ k $为非零常数，无法确定是反比例函数，排除；
4. 选项D：$ y=2x+5 $是一次函数（形如$ y=ax+b $，$ a≠0 $），不符合反比例函数定义，排除。
综上，正确答案为B。
【答案】B
【知识点】反比例函数的定义
【点评】本题考查反比例函数的基础定义，属于简单题型，只要准确记忆反比例函数的形式要求即可快速判断，是对基础概念的直接考查。
【难度系数】0.8

2. 为了给学生们创建更好的学习和生活环境,某学校利用假期时间进行了装修改造,以下相关情境中,$y$是$x$的反比例函数的是（）

A.在校园的绿化带内重新栽种绿植,一个工人每小时栽种$6\ \mathrm{m^{2}}$,栽种时间为$x\ \mathrm{h}$,栽种的总面积为$y\ \mathrm{m^{2}}$
B.用长为$80\ \mathrm{m}$的栅栏围一个矩形劳动实践基地,矩形长$x\ \mathrm{m}$,宽$y\ \mathrm{m}$
C.修建一个圆形花坛,花坛半径为$x\ \mathrm{m}$,面积为$y\ \mathrm{m^{2}}$
D.对教学楼${2000}\ \mathrm{m^{2}}$的外墙重新粉刷,每天粉刷$x\ \mathrm{m^{2}}$,需要粉刷$y$天

2. D

【分析】首先明确反比例函数的定义：形如$ y=\frac{k}{x} $（$ k $为常数，$ k≠0 $，$ x≠0 $）的函数，即两个变量的乘积为定值时，二者成反比例关系。接下来逐一分析选项：
选项A：栽种总面积=每小时栽种面积×时间，即$ y=6x $，属于正比例函数，不符合；
选项B：矩形周长=2×(长+宽)，即$ 2(x+y)=80 $，化简得$ y=40-x $，属于一次函数，不符合；
选项C：圆的面积公式为$ y=πx² $，属于二次函数，不符合；
选项D：总粉刷面积=每天粉刷面积×天数，即$ xy=2000 $，变形为$ y=\frac{2000}{x} $，符合反比例函数定义，因此选D。
【解析】根据反比例函数的定义，逐一推导各选项的函数表达式：
1. 选项A：由题意得$ y=6x $，是正比例函数，不是反比例函数；
2. 选项B：根据矩形周长公式，$ 2(x+y)=80 $，整理得$ y=40-x $，是一次函数，不是反比例函数；
3. 选项C：根据圆的面积公式，$ y=πx² $，是二次函数，不是反比例函数；
4. 选项D：总粉刷面积为$ 2000\ \mathrm{m^2} $，因此$ xy=2000 $，变形为$ y=\frac{2000}{x} $，符合反比例函数$ y=\frac{k}{x} $（$ k=2000≠0 $）的形式，故$ y $是$ x $的反比例函数。
【答案】D
【知识点】反比例函数的定义、正比例函数、一次函数、二次函数
【点评】本题为基础题，核心考查反比例函数的概念，要求学生能准确区分不同类型函数的表达式，通过推导各选项的函数形式即可快速得出答案，难度较低。
【难度系数】0.8

3. 若函数 $y=(a+1)x^{a^2-2}$ 是关于 $x$ 的反比例函数,则 $a$ 的值为（）

A.1
B.$-1$
C.$\pm1$
D.任意实数

3. A

【分析】
要解决这道题，需先明确反比例函数的定义：形如$y = kx^{-1}$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数是反比例函数。因此，对于给定函数$y=(a+1)x^{a^2-2}$，需同时满足两个条件：①$x$的指数等于$-1$；②$x$的系数不为$0$。据此列出方程和不等式，求解后结合选项得出答案。
【解析】
根据反比例函数的定义，需满足：
1. 指数条件：$a^2 - 2 = -1$，
解方程得：$a^2 = 1$，即$a = ±1$；
2. 系数条件：$a + 1 ≠ 0$，
解得：$a ≠ -1$；
综合两个条件，$a$只能取$1$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的定义
【点评】
本题考查反比例函数的定义，解题关键是牢记反比例函数的形式，需注意系数不为0的限制条件，避免因忽略该条件错选C选项，属于基础题型。
【难度系数】
0.7

4. 下列四个表格表示的变量关系中,变量$y$是$x$的反比例函数的是（）

A.
B.
C.
D.

4. D

【分析】要判断变量y是否为x的反比例函数，需依据反比例函数的定义：若两个变量x、y满足xy=k（k为常数，k≠0），则y是x的反比例函数。解题时只需逐一计算各选项中x与y的乘积，看哪个选项的乘积为固定的非零常数，即可确定答案。
【解析】根据反比例函数的定义，反比例函数需满足xy=k（k≠0，k为定值）。对各选项分析：A选项中x与y的乘积不是定值；B选项中x与y的乘积不是定值；C选项中x与y的乘积不是定值；D选项中x与y的乘积为固定的非零常数，符合反比例函数的定义，因此选D。
【答案】D
【知识点】反比例函数的定义
【点评】本题考查反比例函数的定义，核心是掌握反比例函数的判断方法，即两个变量的乘积为非零定值，属于基础题型，牢记定义即可快速解答。
【难度系数】0.7

5. 给出下列函数的表达式：①$y=\dfrac{x}{3}$；②$y=\dfrac{\sqrt{2}}{x}$；③$xy=21$；④$y=\dfrac{5}{x+2}$；⑤$y=-\dfrac{3}{2x}$；⑥$y=\dfrac{1}{x}+3$；⑦$y=x-4$；⑧$y=\dfrac{8}{x^{2}}$；⑨$\dfrac{y}{x}=4$；⑩$y=\dfrac{k+1}{x}$. 其中，$y$是关于$x$的反比例函数的有________(填序号).

5. ②③⑤

【分析】首先明确反比例函数的定义：形如$ y=\frac{k}{x} $（$ k $为常数，且$ k≠0 $）的函数是反比例函数，其变形形式为$ xy=k $（$ k≠0 $）或$ y=kx^{-1} $。判断时需注意：自变量$ x $只能在分母的单独位置，且系数$ k $必须是非零常数，据此逐一分析各函数。
【解析】逐个分析函数：
①$ y=\frac{x}{3} $是正比例函数（可化为$ y=\frac{1}{3}x $），不符合反比例函数形式；
②$ y=\frac{\sqrt{2}}{x} $符合$ y=\frac{k}{x} $（$ k=\sqrt{2}≠0 $），是反比例函数；
③由$ xy=21 $变形得$ y=\frac{21}{x} $，符合反比例函数形式，是；
④$ y=\frac{5}{x+2} $中分母是$ x+2 $，不是单独的$ x $，不符合；
⑤$ y=-\frac{3}{2x} $可化为$ y=\frac{-\frac{3}{2}}{x} $，$ k=-\frac{3}{2}≠0 $，符合；
⑥$ y=\frac{1}{x}+3 $含常数项，不是单纯的$ y=\frac{k}{x} $，不符合；
⑦$ y=x-4 $是一次函数，不符合；
⑧$ y=\frac{8}{x^2} $中分母是$ x^2 $，不是$ x $，不符合；
⑨由$ \frac{y}{x}=4 $得$ y=4x $，是正比例函数，不符合；
⑩$ y=\frac{k+1}{x} $未说明$ k+1≠0 $，当$ k=-1 $时不是反比例函数，不符合。
综上，符合条件的是②③⑤。
【答案】②③⑤
【知识点】反比例函数的定义
【点评】本题考查反比例函数的定义，核心是准确把握函数形式的要求，需区分反比例函数与正比例函数、一次函数等，避免忽略系数非零或自变量位置的错误。
【难度系数】0.5

6. 已知函数 $y=-\dfrac{6}{x}$, 当 $x=-2$ 时, $y$ 的值是.

6. 3

【分析】本题是已知反比例函数表达式，求自变量对应的函数值，解题思路为直接将给定的x值代入函数表达式，计算即可得到对应的y值。
【解析】把$x=-2$代入函数$y=-\dfrac{6}{x}$中，计算得：$y = -\dfrac{6}{-2} = 3$。
【答案】3
【知识点】反比例函数、函数值计算
【点评】本题属于反比例函数的基础求值题，仅需代入计算即可，难度较低，适合巩固基础知识点。
【难度系数】0.9

7. 把一个长、宽、高分别为 3 cm,2 cm,1 cm的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块，则该圆柱体铜块的底面积 $S(\mathrm{cm}^2)$ 与高 $h(\mathrm{cm})$之间的函数表达式为.

7. $S=\dfrac{6}{h}(h＞0)$

【分析】首先明确铜块铸造前后体积不变，先计算长方体铜块的体积，该体积等于铸成的圆柱体铜块的体积；再根据圆柱体体积公式，推导底面积$ S $与高$ h $的函数关系，同时注意高$ h $的取值范围为正数。
【解析】长方体铜块的体积为：$ V = 长×宽×高 = 3×2×1 = 6(\mathrm{cm}^3) $。
因为铸造前后体积不变，所以圆柱体铜块的体积也为$ 6\mathrm{cm}^3 $。
根据圆柱体体积公式$ V = S·h $，可得$ S = \frac{V}{h} = \frac{6}{h} $，又因为圆柱体的高$ h $必须大于0，因此函数表达式为$ S = \frac{6}{h}(h＞0) $。
【答案】$ S=\dfrac{6}{h}(h＞0) $
【知识点】长方体体积计算、圆柱体体积公式、反比例函数应用
【点评】本题考查体积不变原理及反比例函数的实际应用，属于基础题型，解题关键是抓住铸造前后体积相等的核心关系，难度较低。
【难度系数】0.8

8. 写出下列问题中两个变量之间关系的函数表达式，并指出它们是正比例函数还是反比例函数. 如果是反比例函数，请写出它们的比例系数$k$的值.
(1) 底边为 5 cm 的三角形的面积 $y(\mathrm{cm}^2)$随底边上的高$x(\mathrm{cm})$的变化而变化.
(2) 某村有耕地面积 200 亩，人均占有耕地面积$y$(亩)随人口数量$x$(人)的变化而变化.
(3) 一个放置于水平地面上的物体重 120 N，物体对地面的压强$p(\mathrm{Pa})$随该物体与地面的接触面积$S(\mathrm{m}^2)$的变化而变化.

8. 解:(1) $y=\dfrac{5}{2}x(x＞0)$,正比例函数.
(2) $y=\dfrac{200}{x}$（$x$ 为正整数）,反比例函数,$k=200$.
(3) $p=\dfrac{120}{S}(S＞0)$,反比例函数,$k=120$.

【分析】
要解决这道题，需先根据每个问题对应的公式（三角形面积公式、人均耕地公式、压强公式）列出两个变量的关系式，再依据正比例函数（形如$y=kx$，$k≠0$）和反比例函数（形如$y=\frac{k}{x}$，$k≠0$）的定义判断函数类型，同时明确自变量的实际取值范围。
【解析】
(1) 根据三角形面积公式：$面积=\frac{1}{2}×底×高$，已知底为5cm，高为$x$cm，面积为$y\mathrm{cm}^2$，则$y=\frac{1}{2}×5×x=\frac{5}{2}x$，其中$x＞0$，符合正比例函数$y=kx$（$k=\frac{5}{2}≠0$）的形式，故是正比例函数。
(2) 人均占有耕地面积=总耕地面积÷人口数量，总耕地200亩，人口为$x$人，人均耕地为$y$亩，则$y=\frac{200}{x}$，其中$x$为正整数，符合反比例函数$y=\frac{k}{x}$的形式，比例系数$k=200$。
(3) 水平地面上物体对地面的压力等于物体重力，压强公式为$压强=\frac{压力}{接触面积}$，压力为120N，接触面积为$S\mathrm{m}^2$，压强为$p\mathrm{Pa}$，则$p=\frac{120}{S}$，其中$S＞0$，符合反比例函数$y=\frac{k}{x}$的形式，比例系数$k=120$。
【答案】
(1) $y=\dfrac{5}{2}x(x＞0)$，正比例函数；(2) $y=\dfrac{200}{x}$（$x$为正整数），反比例函数，$k=200$；(3) $p=\dfrac{120}{S}(S＞0)$，反比例函数，$k=120$。
【知识点】
正比例函数、反比例函数、实际问题中的函数关系
【点评】
本题为基础应用题，考查根据实际场景推导函数表达式，以及正比例、反比例函数的定义，需牢记相关公式和函数形式，注意自变量的实际意义（取值范围），难度较低。
【难度系数】
0.3