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1. 下列式子中: ①$y=x^{2}$; ②$y=\dfrac{2}{x}$; ③$xy=1$;
④$y=x^{-1}$; ⑤$y=-\dfrac{2}{3}x$. 能表示 $y$ 是 $x$ 的反比例函数的有（
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
④$y=x^{-1}$; ⑤$y=-\dfrac{2}{3}x$. 能表示 $y$ 是 $x$ 的反比例函数的有（
B
）A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案
1. B
解析
【分析】首先明确反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数叫做反比例函数，其等价形式还有$xy=k$（$k≠0$）、$y=kx^{-1}$（$k≠0$）。接下来逐个分析所给式子：①$y=x^2$是二次函数，不符合；②$y=\frac{2}{x}$符合$y=\frac{k}{x}$（$k=2≠0$），是反比例函数；③$xy=1$可变形为$y=\frac{1}{x}$，符合反比例函数形式，是；④$y=x^{-1}$即$y=\frac{1}{x}$，符合反比例函数形式，是；⑤$y=-\frac{2}{3}x$是正比例函数，不符合。综上，符合的有②③④，共3个。
【解析】根据反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数为反比例函数，等价形式为$xy=k$（$k≠0$）、$y=kx^{-1}$（$k≠0$）。对各式子逐一判断：
1. ①$y=x^2$是二次函数，不是反比例函数；
2. ②$y=\frac{2}{x}$，符合$y=\frac{k}{x}$（$k=2≠0$），是反比例函数；
3. ③$xy=1$，变形为$y=\frac{1}{x}$，符合反比例函数形式，是；
4. ④$y=x^{-1}$，即$y=\frac{1}{x}$，符合反比例函数形式，是；
5. ⑤$y=-\frac{2}{3}x$是正比例函数，不是反比例函数。
因此，能表示$y$是$x$的反比例函数的有②③④，共3个，对应选项B。
【答案】B
【知识点】反比例函数的定义，函数的分类
【点评】本题考查反比例函数的基本定义，属于初中数学基础题型，解题关键是准确掌握反比例函数的三种常见形式，区分其与正比例函数、二次函数的差异，难度不大，概念清晰即可正确解答。
【难度系数】0.7
【解析】根据反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数为反比例函数，等价形式为$xy=k$（$k≠0$）、$y=kx^{-1}$（$k≠0$）。对各式子逐一判断：
1. ①$y=x^2$是二次函数，不是反比例函数；
2. ②$y=\frac{2}{x}$，符合$y=\frac{k}{x}$（$k=2≠0$），是反比例函数；
3. ③$xy=1$，变形为$y=\frac{1}{x}$，符合反比例函数形式，是；
4. ④$y=x^{-1}$，即$y=\frac{1}{x}$，符合反比例函数形式，是；
5. ⑤$y=-\frac{2}{3}x$是正比例函数，不是反比例函数。
因此，能表示$y$是$x$的反比例函数的有②③④，共3个，对应选项B。
【答案】B
【知识点】反比例函数的定义，函数的分类
【点评】本题考查反比例函数的基本定义，属于初中数学基础题型，解题关键是准确掌握反比例函数的三种常见形式，区分其与正比例函数、二次函数的差异，难度不大，概念清晰即可正确解答。
【难度系数】0.7
2. 若函数 $y=\dfrac{m-2}{x^{|m|-1}}$ 是反比例函数，则 $m$ 的值为（
A.2或$-2$
B.2
C.$-2$
D.0
C
）A.2或$-2$
B.2
C.$-2$
D.0
答案
2. C
解析
【分析】
要解决这道题，需先明确反比例函数的定义：形如$ y=\frac{k}{x} $（$ k $为常数，且$ k≠0 $）的函数叫做反比例函数，等价形式为$ y=kx^{-1} $。因此，给定函数$ y=\frac{m-2}{x^{|m|-1}} $是反比例函数，需满足两个核心条件：① 分母中$ x $的指数为1（即$ |m|-1=1 $）；② 分子的比例系数不为0（即$ m-2≠0 $）。接下来分别求解这两个条件，再结合选项确定$ m $的取值。
【解析】
根据反比例函数的定义，需同时满足：
1. $ x $的指数为1：$ |m|-1=1 $，解得$ |m|=2 $，即$ m=2 $或$ m=-2 $；
2. 比例系数不为0：$ m-2≠0 $，解得$ m≠2 $。
结合两个条件，$ m $只能取$ -2 $。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的定义
【点评】
本题考查反比例函数的定义，关键是牢记反比例函数中自变量的指数为-1（对应分母中$ x $的指数为1），且比例系数不能为0，需注意两个条件缺一不可，易错点是忽略比例系数不为0的限制，错选A选项。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，需先明确反比例函数的定义：形如$ y=\frac{k}{x} $（$ k $为常数，且$ k≠0 $）的函数叫做反比例函数，等价形式为$ y=kx^{-1} $。因此，给定函数$ y=\frac{m-2}{x^{|m|-1}} $是反比例函数，需满足两个核心条件：① 分母中$ x $的指数为1（即$ |m|-1=1 $）；② 分子的比例系数不为0（即$ m-2≠0 $）。接下来分别求解这两个条件，再结合选项确定$ m $的取值。
【解析】
根据反比例函数的定义，需同时满足：
1. $ x $的指数为1：$ |m|-1=1 $，解得$ |m|=2 $，即$ m=2 $或$ m=-2 $；
2. 比例系数不为0：$ m-2≠0 $，解得$ m≠2 $。
结合两个条件，$ m $只能取$ -2 $。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的定义
【点评】
本题考查反比例函数的定义，关键是牢记反比例函数中自变量的指数为-1（对应分母中$ x $的指数为1），且比例系数不能为0，需注意两个条件缺一不可，易错点是忽略比例系数不为0的限制，错选A选项。
【难度系数】
0.5
3. 若 $xy ≠ 0,x+y ≠ 0,\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}$ 与 $x+y$ 成反比例, 则 $(x+y)^2$ 与 $x^2+y^2$（
A.成正比例
B.成反比例
C.既不成正比例也不成反比例
D.关系不确定
A
）A.成正比例
B.成反比例
C.既不成正比例也不成反比例
D.关系不确定
答案
3. A 提示:因为$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}$与$x+y$成反比例,所以可设$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{k}{x+y}(k≠0)$,所以$\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{k}{x+y}(k≠0)$,即$xy=\dfrac{(x+y)^2}{k}(k≠0)$. 因为$xy≠0$,所以$x≠0$且$y≠0$,所以$x^2+y^2≠0$,所以$x^2+y^2+2xy≠2xy$,即$(x+y)^2≠2xy$,所以$\dfrac{(x+y)^2}{xy}≠2$,即$k≠2$. 因为$(x+y)^2=x^2+y^2+2xy$,所以$(x+y)^2=x^2+y^2+\dfrac{2(x+y)^2}{k}$.等式两边同时除以$(x+y)^2$,得$1=\dfrac{x^2+y^2}{(x+y)^2}+\dfrac{2}{k}$,所以$\dfrac{x^2+y^2}{(x+y)^2}=\dfrac{k-2}{k}(k≠0$ 且 $k≠2)$,所以$(x+y)^2=\dfrac{k}{k-2}(x^2+y^2)$. 因为$k≠2$,所以$\dfrac{k}{k-2}$是常数,所以$(x+y)^2$与$x^2+y^2$成正比例.
解析
【分析】
要判断$(x+y)^2$与$x^2+y^2$的比例关系，需先利用“$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$与$x+y$成反比例”的条件建立关系式，再通过代数式变形推导两者的关系。回忆：若两个量成反比例，则满足“一个量=常数/另一个量（常数≠0）”；若成正比例，则满足“一个量=常数×另一个量（常数≠0）”，据此逐步推导。
【解析】
解：因为$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$与$x+y$成反比例，所以设$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{k}{x+y}(k≠0)$。
对左边通分化简：$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{y+x}{xy}=\frac{x+y}{xy}$，因此等式变为：
$\frac{x+y}{xy}=\frac{k}{x+y}(k≠0)$
交叉相乘得：$xy=\frac{(x+y)^2}{k}(k≠0)$。
利用完全平方公式变形$x^2+y^2$：
$x^2+y^2=(x+y)^2 - 2xy$
将$xy=\frac{(x+y)^2}{k}$代入上式：
$x^2+y^2=(x+y)^2 - 2×\frac{(x+y)^2}{k}=(x+y)^2(1-\frac{2}{k})=(x+y)^2·\frac{k-2}{k}$
整理得：$(x+y)^2=\frac{k}{k-2}·(x^2+y^2)$。
因为$k≠0$且$k≠2$（由$xy≠0$、$x+y≠0$可推得），所以$\frac{k}{k-2}$是不为0的常数，即$(x+y)^2$与$x^2+y^2$的比值为常数，因此两者成正比例。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数定义、正比例函数定义、代数式化简
【点评】
本题考查正比例与反比例的定义，核心是利用成反比例的条件设关系式，结合分式运算和完全平方公式变形推导目标量的关系，需熟练掌握比例概念和代数变形技巧。
【难度系数】
0.5
要判断$(x+y)^2$与$x^2+y^2$的比例关系，需先利用“$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$与$x+y$成反比例”的条件建立关系式，再通过代数式变形推导两者的关系。回忆：若两个量成反比例，则满足“一个量=常数/另一个量（常数≠0）”；若成正比例，则满足“一个量=常数×另一个量（常数≠0）”，据此逐步推导。
【解析】
解：因为$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$与$x+y$成反比例，所以设$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{k}{x+y}(k≠0)$。
对左边通分化简：$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{y+x}{xy}=\frac{x+y}{xy}$，因此等式变为：
$\frac{x+y}{xy}=\frac{k}{x+y}(k≠0)$
交叉相乘得：$xy=\frac{(x+y)^2}{k}(k≠0)$。
利用完全平方公式变形$x^2+y^2$：
$x^2+y^2=(x+y)^2 - 2xy$
将$xy=\frac{(x+y)^2}{k}$代入上式：
$x^2+y^2=(x+y)^2 - 2×\frac{(x+y)^2}{k}=(x+y)^2(1-\frac{2}{k})=(x+y)^2·\frac{k-2}{k}$
整理得：$(x+y)^2=\frac{k}{k-2}·(x^2+y^2)$。
因为$k≠0$且$k≠2$（由$xy≠0$、$x+y≠0$可推得），所以$\frac{k}{k-2}$是不为0的常数，即$(x+y)^2$与$x^2+y^2$的比值为常数，因此两者成正比例。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数定义、正比例函数定义、代数式化简
【点评】
本题考查正比例与反比例的定义，核心是利用成反比例的条件设关系式，结合分式运算和完全平方公式变形推导目标量的关系，需熟练掌握比例概念和代数变形技巧。
【难度系数】
0.5
4. 如表,如果$x$与$y$成反比例关系,那么表格中“?”处应填
6
。答案
4. 6
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确题目中x与y成反比例关系，根据反比例的定义：两种相关联的量，若它们的乘积一定，则这两种量成反比例，即表格中对应位置的x和y的乘积相等。我们需要利用这个性质，结合已知数值计算“?”处的数值。
【解析】
因为x与y成反比例，所以x和y的乘积为定值，可得等式：10×3 = ?×5。
先计算左边的乘积：10×3 = 30，
再求解“?”处的数值：? = 30÷5 = 6。
【答案】
6
【知识点】
反比例关系
【点评】
本题考查反比例关系的基本应用，核心是掌握反比例中两个量乘积一定的性质，属于基础题型，只要理解反比例的概念即可快速解答。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先明确题目中x与y成反比例关系，根据反比例的定义：两种相关联的量，若它们的乘积一定，则这两种量成反比例，即表格中对应位置的x和y的乘积相等。我们需要利用这个性质，结合已知数值计算“?”处的数值。
【解析】
因为x与y成反比例，所以x和y的乘积为定值，可得等式：10×3 = ?×5。
先计算左边的乘积：10×3 = 30，
再求解“?”处的数值：? = 30÷5 = 6。
【答案】
6
【知识点】
反比例关系
【点评】
本题考查反比例关系的基本应用，核心是掌握反比例中两个量乘积一定的性质，属于基础题型，只要理解反比例的概念即可快速解答。
【难度系数】
0.7
5. 若 y 与 x 成反比例，z 与 y 成反比例，则 z与 x 成
正比例
.答案
5. 正比例 提示:设$y=\dfrac{m}{x}(m≠0)$,$z=\dfrac{n}{y}(n≠0)$,则$z=\dfrac{n}{\dfrac{m}{x}}$,即$z=\dfrac{n}{m}x(\dfrac{n}{m}≠0)$,所以$z$与$x$成正比例.
解析
【分析】
要判断z与x的关系，需先依据反比例函数的定义设出y和z的表达式，再通过代入化简推导z与x的函数形式，进而确定二者的关系。首先，根据y与x成反比例设出y的表达式；再根据z与y成反比例设出z的表达式；最后将y的表达式代入z的式子化简，即可判断z与x的关系。
【解析】
解：因为y与x成反比例，设$ y = \dfrac{m}{x} $（$ m≠0 $）；
又因为z与y成反比例，设$ z = \dfrac{n}{y} $（$ n≠0 $）；
将$ y = \dfrac{m}{x} $代入$ z = \dfrac{n}{y} $，得：
$ z = \dfrac{n}{\dfrac{m}{x}} = \dfrac{n}{m}x $，其中$ \dfrac{n}{m}≠0 $，符合正比例函数$ z = kx $（k为非零常数）的形式，因此z与x成正比例。
【答案】
正比例
【知识点】
反比例函数、正比例函数
【点评】
本题考查反比例函数与正比例函数的定义及关系转换，通过设表达式代入化简即可得出结论，属于基础函数关系的应用，难度较低。
【难度系数】
0.7
要判断z与x的关系，需先依据反比例函数的定义设出y和z的表达式，再通过代入化简推导z与x的函数形式，进而确定二者的关系。首先，根据y与x成反比例设出y的表达式；再根据z与y成反比例设出z的表达式；最后将y的表达式代入z的式子化简，即可判断z与x的关系。
【解析】
解：因为y与x成反比例，设$ y = \dfrac{m}{x} $（$ m≠0 $）；
又因为z与y成反比例，设$ z = \dfrac{n}{y} $（$ n≠0 $）；
将$ y = \dfrac{m}{x} $代入$ z = \dfrac{n}{y} $，得：
$ z = \dfrac{n}{\dfrac{m}{x}} = \dfrac{n}{m}x $，其中$ \dfrac{n}{m}≠0 $，符合正比例函数$ z = kx $（k为非零常数）的形式，因此z与x成正比例。
【答案】
正比例
【知识点】
反比例函数、正比例函数
【点评】
本题考查反比例函数与正比例函数的定义及关系转换，通过设表达式代入化简即可得出结论，属于基础函数关系的应用，难度较低。
【难度系数】
0.7
6. 将 $x=\dfrac{2}{3}$ 代入反比例函数 $y=-\dfrac{1}{x}$ 中,所得函数值记为 $y_1$, 又将 $x=y_1+1$ 代入反比例函数 $y=-\dfrac{1}{x}$ 中,所得函数值记为 $y_2$, 再将
$x=y_2+1$ 代入反比例函数 $y=-\dfrac{1}{x}$ 中,所得函数值记为 $y_3······$ 如此继续下去,
$y_{2\ 025}=$
$x=y_2+1$ 代入反比例函数 $y=-\dfrac{1}{x}$ 中,所得函数值记为 $y_3······$ 如此继续下去,
$y_{2\ 025}=$
$-\dfrac{1}{3}$
.答案
6. $-\dfrac{1}{3}$ 提示:由题意,得$y_1=-\dfrac{3}{2}$,$y_2=2$,$y_3=-\dfrac{1}{3}$,$y_4=-\dfrac{3}{2}$,$\dots$,如此继续下去,发现每3个函数值构成一个循环,因为$2\ 025÷ 3=675$,所以$y_{2\ 025}=y_3=-\dfrac{1}{3}$.
解析
【分析】
要解决这个问题，需按照题目规则依次计算前几个函数值，观察数值变化规律找到循环周期，再通过除法运算确定$y_{2025}$对应循环中的位置，最终得出结果。具体步骤为：先代入$x=\frac{2}{3}$求$y_1$，再依次代入$x=y_n+1$求后续函数值，发现循环规律后，用2025除以循环周期，根据余数确定答案。
【解析】
根据题意逐步计算各函数值：
1. 计算$y_1$：将$x=\frac{2}{3}$代入$y=-\frac{1}{x}$，得：
$y_1 = -\frac{1}{\frac{2}{3}} = -\frac{3}{2}$；
2. 计算$y_2$：将$x=y_1+1 = -\frac{3}{2}+1 = -\frac{1}{2}$代入$y=-\frac{1}{x}$，得：
$y_2 = -\frac{1}{-\frac{1}{2}} = 2$；
3. 计算$y_3$：将$x=y_2+1 = 2+1=3$代入$y=-\frac{1}{x}$，得：
$y_3 = -\frac{1}{3}$；
4. 计算$y_4$：将$x=y_3+1 = -\frac{1}{3}+1 = \frac{2}{3}$代入$y=-\frac{1}{x}$，得：
$y_4 = -\frac{1}{\frac{2}{3}} = -\frac{3}{2}$；
由此可知，函数值每3个为一个循环，周期$T=3$，循环序列为$-\frac{3}{2},2,-\frac{1}{3}$重复出现。
判断$y_{2025}$的位置：因为$2025÷3=675$，余数为0，说明$y_{2025}$对应循环中的第3个值，即$y_3=-\frac{1}{3}$。
【答案】
$-\dfrac{1}{3}$
【知识点】
反比例函数的应用，找规律
【点评】
本题通过递推计算函数值，考查学生观察、总结规律的能力，核心是发现函数值的周期性循环，利用周期性简化大数计算，是初中数学常见的规律探究类题目，难度适中。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需按照题目规则依次计算前几个函数值，观察数值变化规律找到循环周期，再通过除法运算确定$y_{2025}$对应循环中的位置，最终得出结果。具体步骤为：先代入$x=\frac{2}{3}$求$y_1$，再依次代入$x=y_n+1$求后续函数值，发现循环规律后，用2025除以循环周期，根据余数确定答案。
【解析】
根据题意逐步计算各函数值：
1. 计算$y_1$：将$x=\frac{2}{3}$代入$y=-\frac{1}{x}$，得：
$y_1 = -\frac{1}{\frac{2}{3}} = -\frac{3}{2}$；
2. 计算$y_2$：将$x=y_1+1 = -\frac{3}{2}+1 = -\frac{1}{2}$代入$y=-\frac{1}{x}$，得：
$y_2 = -\frac{1}{-\frac{1}{2}} = 2$；
3. 计算$y_3$：将$x=y_2+1 = 2+1=3$代入$y=-\frac{1}{x}$，得：
$y_3 = -\frac{1}{3}$；
4. 计算$y_4$：将$x=y_3+1 = -\frac{1}{3}+1 = \frac{2}{3}$代入$y=-\frac{1}{x}$，得：
$y_4 = -\frac{1}{\frac{2}{3}} = -\frac{3}{2}$；
由此可知，函数值每3个为一个循环，周期$T=3$，循环序列为$-\frac{3}{2},2,-\frac{1}{3}$重复出现。
判断$y_{2025}$的位置：因为$2025÷3=675$，余数为0，说明$y_{2025}$对应循环中的第3个值，即$y_3=-\frac{1}{3}$。
【答案】
$-\dfrac{1}{3}$
【知识点】
反比例函数的应用，找规律
【点评】
本题通过递推计算函数值，考查学生观察、总结规律的能力，核心是发现函数值的周期性循环，利用周期性简化大数计算，是初中数学常见的规律探究类题目，难度适中。
【难度系数】
0.5
7. 用函数表达式表示下列问题中的两个变量之间的关系.
(1) 实数 $m$ 与 $n$ 的积为$-200$,$m$ 随 $n$ 的变化而变化.
(2) 一个面积为 $6\ 400\ \mathrm{m}^2$ 的矩形的长$a(\mathrm{m})$随它的宽 $b(\mathrm{m})$ 的变化而变化.
(3) 某银行为资助某社会福利厂,提供了20万元的无息贷款,该厂的平均年还款额 $y$(万元)随还款年限 $x$(年)的变化而变化.
(4) 游泳池的容积为 $5\ 000\ \mathrm{m}^3$,向池内注水,注满水所需时间 $t(\mathrm{h})$ 随注水速度$v(\mathrm{m}^3/\mathrm{h})$的变化而变化.
(1) 实数 $m$ 与 $n$ 的积为$-200$,$m$ 随 $n$ 的变化而变化.
(2) 一个面积为 $6\ 400\ \mathrm{m}^2$ 的矩形的长$a(\mathrm{m})$随它的宽 $b(\mathrm{m})$ 的变化而变化.
(3) 某银行为资助某社会福利厂,提供了20万元的无息贷款,该厂的平均年还款额 $y$(万元)随还款年限 $x$(年)的变化而变化.
(4) 游泳池的容积为 $5\ 000\ \mathrm{m}^3$,向池内注水,注满水所需时间 $t(\mathrm{h})$ 随注水速度$v(\mathrm{m}^3/\mathrm{h})$的变化而变化.
答案
7. 解:(1) $m=-\dfrac{200}{n}$.
(2) $a=\dfrac{6\ 400}{b}(b＞0)$.
(3) $y=\dfrac{20}{x}(x＞0)$.
(4) $t=\dfrac{5\ 000}{v}(v＞0)$.
(2) $a=\dfrac{6\ 400}{b}(b＞0)$.
(3) $y=\dfrac{20}{x}(x＞0)$.
(4) $t=\dfrac{5\ 000}{v}(v＞0)$.
解析
【分析】
本题需根据每个问题中两个变量的数量关系，结合对应数学公式推导函数表达式，同时结合实际问题中变量的实际意义确定取值范围。具体思路：(1)利用两数之积为定值的关系变形得到m关于n的函数；(2)依据矩形面积公式变形得到长关于宽的函数，注意宽为正数；(3)根据总贷款额与年还款额、年限的关系变形得到年还款额关于年限的函数，注意年限为正数；(4)依据容积与注水速度、时间的关系变形得到时间关于速度的函数，注意速度为正数。
【解析】
解：(1) 由题意得 $ m · n = -200 $，变形可得 $ m = -\dfrac{200}{n} $；
(2) 根据矩形面积公式 $ 长 × 宽 = 面积 $，即 $ a · b = 6400 $，变形得 $ a = \dfrac{6400}{b} $，因宽 $ b $ 为正数，故 $ b ＞ 0 $；
(3) 总贷款额等于年还款额乘以还款年限，即 $ x · y = 20 $，变形得 $ y = \dfrac{20}{x} $，因还款年限 $ x $ 为正数，故 $ x ＞ 0 $；
(4) 游泳池容积等于注水速度乘以注水时间，即 $ v · t = 5000 $，变形得 $ t = \dfrac{5000}{v} $，因注水速度 $ v $ 为正数，故 $ v ＞ 0 $。
【答案】
(1) $ m = -\dfrac{200}{n} $；(2) $ a = \dfrac{6400}{b}(b ＞ 0) $；(3) $ y = \dfrac{20}{x}(x ＞ 0) $；(4) $ t = \dfrac{5000}{v}(v ＞ 0) $
【知识点】
反比例函数的应用，实际问题中的函数关系
【点评】
本题是反比例函数在实际问题中的基础应用，考查从实际情境提炼变量关系、推导函数表达式的能力，需注意实际变量的取值范围，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
本题需根据每个问题中两个变量的数量关系，结合对应数学公式推导函数表达式，同时结合实际问题中变量的实际意义确定取值范围。具体思路：(1)利用两数之积为定值的关系变形得到m关于n的函数；(2)依据矩形面积公式变形得到长关于宽的函数，注意宽为正数；(3)根据总贷款额与年还款额、年限的关系变形得到年还款额关于年限的函数，注意年限为正数；(4)依据容积与注水速度、时间的关系变形得到时间关于速度的函数，注意速度为正数。
【解析】
解：(1) 由题意得 $ m · n = -200 $，变形可得 $ m = -\dfrac{200}{n} $；
(2) 根据矩形面积公式 $ 长 × 宽 = 面积 $，即 $ a · b = 6400 $，变形得 $ a = \dfrac{6400}{b} $，因宽 $ b $ 为正数，故 $ b ＞ 0 $；
(3) 总贷款额等于年还款额乘以还款年限，即 $ x · y = 20 $，变形得 $ y = \dfrac{20}{x} $，因还款年限 $ x $ 为正数，故 $ x ＞ 0 $；
(4) 游泳池容积等于注水速度乘以注水时间，即 $ v · t = 5000 $，变形得 $ t = \dfrac{5000}{v} $，因注水速度 $ v $ 为正数，故 $ v ＞ 0 $。
【答案】
(1) $ m = -\dfrac{200}{n} $；(2) $ a = \dfrac{6400}{b}(b ＞ 0) $；(3) $ y = \dfrac{20}{x}(x ＞ 0) $；(4) $ t = \dfrac{5000}{v}(v ＞ 0) $
【知识点】
反比例函数的应用，实际问题中的函数关系
【点评】
本题是反比例函数在实际问题中的基础应用，考查从实际情境提炼变量关系、推导函数表达式的能力，需注意实际变量的取值范围，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
8. 已知 $y=y_1-y_2$, 并且 $y_1$ 与 $x$ 成正比例,
$y_2$ 与 $(x-2)$ 成反比例, 当 $x=-2$ 时, $y=$
$-7$; 当 $x=3$ 时, $y=13$.
(1) 求 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式.
(2) 求当 $x=5$ 时的函数值.
$y_2$ 与 $(x-2)$ 成反比例, 当 $x=-2$ 时, $y=$
$-7$; 当 $x=3$ 时, $y=13$.
(1) 求 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式.
(2) 求当 $x=5$ 时的函数值.
答案
8. 解:(1) 设$y_1=kx$,$y_2=\dfrac{m}{x-2}$,则$y=kx-\dfrac{m}{x-2}$,根据题意得$\begin{cases}-2k-\dfrac{m}{-4}=-7,\\3k-m=13,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=3,\\m=-4,\end{cases}$则函数表达式是$y=3x+\dfrac{4}{x-2}$.
(2) 当$x=5$时,$y=3×5+\dfrac{4}{5-2}=\dfrac{49}{3}$.
(2) 当$x=5$时,$y=3×5+\dfrac{4}{5-2}=\dfrac{49}{3}$.
解析
【分析】
要解决这道题，首先根据正比例、反比例函数的定义设定$y_1$和$y_2$的表达式，结合$y=y_1-y_2$得到$y$关于$x$的表达式；再代入已知的两组$x$、$y$值，列出关于待定系数的方程组，解方程组求出系数得到函数表达式；最后将$x=5$代入表达式计算对应函数值。
【解析】
(1) 设$y_1=kx$（$k≠0$，正比例函数形式），$y_2=\frac{m}{x-2}$（$m≠0$，反比例函数形式，因$y_2$与$x-2$成反比），则$y=y_1-y_2=kx-\frac{m}{x-2}$。
将$x=-2$，$y=-7$代入得：$-2k - \frac{m}{-2-2}=-7$，即$-2k + \frac{m}{4}=-7$；
将$x=3$，$y=13$代入得：$3k - \frac{m}{3-2}=13$，即$3k - m=13$。
联立方程组$\begin{cases}-2k + \frac{m}{4}=-7 \\3k - m=13 \end{cases}$，
由第二个方程得$m=3k-13$，代入第一个方程：
$-2k + \frac{3k-13}{4}=-7$，两边乘4得：$-8k +3k -13=-28$，
合并得：$-5k=-15$，解得$k=3$，则$m=3×3 -13=-4$。
因此$y$关于$x$的函数表达式为$y=3x + \frac{4}{x-2}$。
(2) 当$x=5$时，代入表达式得：
$y=3×5 + \frac{4}{5-2}=15 + \frac{4}{3}=\frac{49}{3}$。
【答案】
(1) $y=3x+\dfrac{4}{x-2}$；(2) $\dfrac{49}{3}$
【知识点】
正比例函数、反比例函数、待定系数法求函数表达式
【点评】
本题结合正比例、反比例函数的定义，利用待定系数法求解函数表达式，再代入求值，是初中函数部分的基础题型，需掌握函数形式设定和解二元一次方程组的方法。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先根据正比例、反比例函数的定义设定$y_1$和$y_2$的表达式，结合$y=y_1-y_2$得到$y$关于$x$的表达式；再代入已知的两组$x$、$y$值，列出关于待定系数的方程组，解方程组求出系数得到函数表达式；最后将$x=5$代入表达式计算对应函数值。
【解析】
(1) 设$y_1=kx$（$k≠0$，正比例函数形式），$y_2=\frac{m}{x-2}$（$m≠0$，反比例函数形式，因$y_2$与$x-2$成反比），则$y=y_1-y_2=kx-\frac{m}{x-2}$。
将$x=-2$，$y=-7$代入得：$-2k - \frac{m}{-2-2}=-7$，即$-2k + \frac{m}{4}=-7$；
将$x=3$，$y=13$代入得：$3k - \frac{m}{3-2}=13$，即$3k - m=13$。
联立方程组$\begin{cases}-2k + \frac{m}{4}=-7 \\3k - m=13 \end{cases}$，
由第二个方程得$m=3k-13$，代入第一个方程：
$-2k + \frac{3k-13}{4}=-7$，两边乘4得：$-8k +3k -13=-28$，
合并得：$-5k=-15$，解得$k=3$，则$m=3×3 -13=-4$。
因此$y$关于$x$的函数表达式为$y=3x + \frac{4}{x-2}$。
(2) 当$x=5$时，代入表达式得：
$y=3×5 + \frac{4}{5-2}=15 + \frac{4}{3}=\frac{49}{3}$。
【答案】
(1) $y=3x+\dfrac{4}{x-2}$；(2) $\dfrac{49}{3}$
【知识点】
正比例函数、反比例函数、待定系数法求函数表达式
【点评】
本题结合正比例、反比例函数的定义，利用待定系数法求解函数表达式，再代入求值，是初中函数部分的基础题型，需掌握函数形式设定和解二元一次方程组的方法。
【难度系数】
0.6
