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10. 时钟上的时针不停地旋转，从上午9时到上午11时，时针旋转的角度为$\underline{\qquad}$°.
答案
10. 60
解析
【分析】
解决本题首先要明确钟面的角度规律：钟面为一个周角，共360°，被平均分为12个大格，对应时针走12小时，因此可先求出时针每小时旋转的角度；再计算从上午9时到上午11时经过的时长，用时长乘每小时旋转的角度即可得到最终结果。
【解析】
步骤1：计算时针每小时旋转的角度
钟面一周为360°，时针转完整一周需要12小时，因此时针每小时旋转的角度为：$360° ÷ 12 = 30°$
步骤2：计算经过的时长
从上午9时到上午11时，经过的时长为：$11 - 9 = 2$（小时）
步骤3：计算总旋转角度
总旋转角度 = 每小时旋转角度 × 时长，即$30° × 2 = 60°$
【答案】
60
【知识点】
钟面角计算，周角的特征
【点评】
本题是基础的角度计算应用题，解题核心是熟记时针每小时转动30°的规律，结合经过的时长就能快速求出结果，属于得分题。
【难度系数】
0.9
解决本题首先要明确钟面的角度规律：钟面为一个周角，共360°，被平均分为12个大格，对应时针走12小时，因此可先求出时针每小时旋转的角度；再计算从上午9时到上午11时经过的时长，用时长乘每小时旋转的角度即可得到最终结果。
【解析】
步骤1：计算时针每小时旋转的角度
钟面一周为360°，时针转完整一周需要12小时，因此时针每小时旋转的角度为：$360° ÷ 12 = 30°$
步骤2：计算经过的时长
从上午9时到上午11时，经过的时长为：$11 - 9 = 2$（小时）
步骤3：计算总旋转角度
总旋转角度 = 每小时旋转角度 × 时长，即$30° × 2 = 60°$
【答案】
60
【知识点】
钟面角计算，周角的特征
【点评】
本题是基础的角度计算应用题，解题核心是熟记时针每小时转动30°的规律，结合经过的时长就能快速求出结果，属于得分题。
【难度系数】
0.9
11. 已知$a$和$b$是方程$x^{2}+2026x - 4 = 0$的两个解，则$a^{2}+2025a - b$的值为________。
答案
11. 2 030
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步，利用一元二次方程根的定义，将根a代入原方程，得到a²的表达式，对所求代数式中的高次项a²进行降次化简；第二步，利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和a+b，整体代入化简后的式子计算即可得到结果，无需直接求解方程的根。
【解析】
∵a是方程$x^{2}+2026x - 4 = 0$的根
∴将x=a代入方程得：$a^2 + 2026a - 4 = 0$，整理得$a^2 = 4 - 2026a$
将$a^2 = 4 - 2026a$代入所求代数式：
$a^2 + 2025a - b = (4 - 2026a) + 2025a - b = 4 - a - b = 4 - (a + b)$
又
∵a、b是方程$x^{2}+2026x - 4 = 0$的两个根，根据根与系数的关系，两根之和$a + b = -\frac{2026}{1} = -2026$
将$a + b = -2026$代入上式：
$4 - (a + b) = 4 - (-2026) = 4 + 2026 = 2030$
【答案】
2030
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程根的性质的典型应用题型，核心技巧是通过根的定义降次、结合根与系数的关系整体代入计算，规避了直接求解方程根的复杂运算，需要熟练掌握这种整体代入的解题思路。
【难度系数】
0.7
解题思路分为两步：第一步，利用一元二次方程根的定义，将根a代入原方程，得到a²的表达式，对所求代数式中的高次项a²进行降次化简；第二步，利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和a+b，整体代入化简后的式子计算即可得到结果，无需直接求解方程的根。
【解析】
∵a是方程$x^{2}+2026x - 4 = 0$的根
∴将x=a代入方程得：$a^2 + 2026a - 4 = 0$，整理得$a^2 = 4 - 2026a$
将$a^2 = 4 - 2026a$代入所求代数式：
$a^2 + 2025a - b = (4 - 2026a) + 2025a - b = 4 - a - b = 4 - (a + b)$
又
∵a、b是方程$x^{2}+2026x - 4 = 0$的两个根，根据根与系数的关系，两根之和$a + b = -\frac{2026}{1} = -2026$
将$a + b = -2026$代入上式：
$4 - (a + b) = 4 - (-2026) = 4 + 2026 = 2030$
【答案】
2030
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程根的性质的典型应用题型，核心技巧是通过根的定义降次、结合根与系数的关系整体代入计算，规避了直接求解方程根的复杂运算，需要熟练掌握这种整体代入的解题思路。
【难度系数】
0.7
12. 在平面直角坐标系中，点$ A(-5,b) $关于原点的对称点为$ B(a,6) $，则$(a + b)^{2026} = \_\_\_\_\_\_$.
答案
12. 1
解析
【分析】
解题时首先回忆关于原点对称的点的坐标性质：两个点关于原点对称时，它们的横、纵坐标均互为相反数。我们可以利用这个性质，结合已知点A和对称点B的坐标，分别求出a、b的值，再代入代数式$(a+b)^{2026}$计算结果即可。
【解析】
解：
∵ 关于原点对称的两个点，横、纵坐标都互为相反数，
点$A(-5,b)$关于原点的对称点为$B(a,6)$，
∴ $a = -(-5) = 5$，$b = -6$，
∴ $a + b = 5 + (-6) = -1$，
∴ $(a + b)^{2026} = (-1)^{2026} = 1$。
【答案】
1
【知识点】
关于原点对称的点的坐标；有理数的乘方
【点评】
本题考查原点对称的坐标规律应用和乘方运算，解题的核心是熟练掌握原点对称的坐标变化特点，注意负数的偶次幂是正数，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆关于原点对称的点的坐标性质：两个点关于原点对称时，它们的横、纵坐标均互为相反数。我们可以利用这个性质，结合已知点A和对称点B的坐标，分别求出a、b的值，再代入代数式$(a+b)^{2026}$计算结果即可。
【解析】
解：
∵ 关于原点对称的两个点，横、纵坐标都互为相反数，
点$A(-5,b)$关于原点的对称点为$B(a,6)$，
∴ $a = -(-5) = 5$，$b = -6$，
∴ $a + b = 5 + (-6) = -1$，
∴ $(a + b)^{2026} = (-1)^{2026} = 1$。
【答案】
1
【知识点】
关于原点对称的点的坐标；有理数的乘方
【点评】
本题考查原点对称的坐标规律应用和乘方运算，解题的核心是熟练掌握原点对称的坐标变化特点，注意负数的偶次幂是正数，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
13. 已知关于$ x $的一元二次方程$ ax^2 + bx + 1 = 0 $的两根之差为4，则代数式$ 12a - b^2 $的最大值为________.
答案
13. 1
解析
【分析】
本题是一元二次方程与代数式最值结合的题型，解题思路如下：首先明确一元二次方程隐含条件a≠0；已知两根差为4，我们可以将两根差平方，利用完全平方公式变形为两根和、两根积的形式，再结合韦达定理（根与系数的关系）推导得到b²与a的关系式；最后将该关系式代入待求最值的代数式12a - b²，转化为仅含a的二次式，用配方法求最大值即可。
【解析】
设方程$ax^2 + bx + 1 = 0$的两根为$x_1$、$x_2$，且$a≠0$。
根据韦达定理可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1x_2 = \frac{1}{a}$
由题意两根之差为4，即$|x_1 - x_2|=4$，两边平方得：
$(x_1 - x_2)^2 = 16$
根据完全平方公式变形：$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$，代入韦达定理的结果：
$(-\frac{b}{a})^2 - 4×\frac{1}{a} = 16$
化简得：
$\frac{b^2}{a^2} - \frac{4}{a} = 16$
两边同乘$a^2$（$a≠0$）得：
$b^2 - 4a = 16a^2$，即$b^2 = 16a^2 + 4a$
将$b^2 = 16a^2 + 4a$代入$12a - b^2$得：
$12a - (16a^2 + 4a) = -16a^2 + 8a$
用配方法求最值：
$-16a^2 + 8a = -16(a^2 - \frac{1}{2}a) = -16[(a - \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{16}] = -16(a - \frac{1}{4})^2 + 1$
$\because -16(a - \frac{1}{4})^2 ≤ 0$
$\therefore$当$a = \frac{1}{4}$时，$-16(a - \frac{1}{4})^2 + 1$取得最大值1，即$12a - b^2$的最大值为1。
【答案】
1
【知识点】
韦达定理，配方法求最值，代数式变形
【点评】
本题综合考查了一元二次方程根与系数的关系及二次式最值的求解，核心是将两根差的条件转化为方程系数的关系，再代入目标式转化为可求最值的形式，属于中等难度的综合题型。
【难度系数】
0.6
本题是一元二次方程与代数式最值结合的题型，解题思路如下：首先明确一元二次方程隐含条件a≠0；已知两根差为4，我们可以将两根差平方，利用完全平方公式变形为两根和、两根积的形式，再结合韦达定理（根与系数的关系）推导得到b²与a的关系式；最后将该关系式代入待求最值的代数式12a - b²，转化为仅含a的二次式，用配方法求最大值即可。
【解析】
设方程$ax^2 + bx + 1 = 0$的两根为$x_1$、$x_2$，且$a≠0$。
根据韦达定理可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1x_2 = \frac{1}{a}$
由题意两根之差为4，即$|x_1 - x_2|=4$，两边平方得：
$(x_1 - x_2)^2 = 16$
根据完全平方公式变形：$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$，代入韦达定理的结果：
$(-\frac{b}{a})^2 - 4×\frac{1}{a} = 16$
化简得：
$\frac{b^2}{a^2} - \frac{4}{a} = 16$
两边同乘$a^2$（$a≠0$）得：
$b^2 - 4a = 16a^2$，即$b^2 = 16a^2 + 4a$
将$b^2 = 16a^2 + 4a$代入$12a - b^2$得：
$12a - (16a^2 + 4a) = -16a^2 + 8a$
用配方法求最值：
$-16a^2 + 8a = -16(a^2 - \frac{1}{2}a) = -16[(a - \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{16}] = -16(a - \frac{1}{4})^2 + 1$
$\because -16(a - \frac{1}{4})^2 ≤ 0$
$\therefore$当$a = \frac{1}{4}$时，$-16(a - \frac{1}{4})^2 + 1$取得最大值1，即$12a - b^2$的最大值为1。
【答案】
1
【知识点】
韦达定理，配方法求最值，代数式变形
【点评】
本题综合考查了一元二次方程根与系数的关系及二次式最值的求解，核心是将两根差的条件转化为方程系数的关系，再代入目标式转化为可求最值的形式，属于中等难度的综合题型。
【难度系数】
0.6
14. 如图,在$2×2$的方格纸中,有一个以格点为顶点的$△ ABC$,请你找出方格纸中所有与$△ ABC$成中心对称且以格点为顶点的三角形,共有________个.
答案
14. 2
解析
【分析】
解决本题首先要明确中心对称的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，若能和另一个图形重合，则两个图形关于该点成中心对称。首先分析△ABC的特征：它是直角三角形，两条直角边长度分别为2和1，顶点均为格点。解题时结合2×2方格的格点分布，根据中心对称的性质（对应点连线过对称中心，且被对称中心平分），逐一找出所有符合顶点为格点、与△ABC成中心对称的三角形即可。
【解析】
我们将2×2方格的格点按坐标标记：设$A(0,2)$，$B(0,0)$，$C(1,0)$，方格所有格点的横坐标、纵坐标均为0、1、2。
根据中心对称性质逐一查找：
1. 取对称中心为大正方形中心$(1,1)$：
$A$的对称点为$(2,0)$，$B$的对称点为$(2,2)$，$C$的对称点为$(1,2)$，三点$(2,0)$、$(2,2)$、$(1,2)$构成的三角形符合要求，是第1个。
2. 取对称中心为线段$AC$的中点$(0.5,1)$：
$A$的对称点为$(1,0)$（即点$C$），$B$的对称点为$(1,2)$，$C$的对称点为$(0,2)$（即点$A$），三点$(1,0)$、$(1,2)$、$(0,2)$构成的三角形符合要求，是第2个。
其余对称中心得到的三角形顶点超出方格格点范围，不符合要求。
【答案】
2
【知识点】
中心对称的概念，中心对称的性质，格点图形识别
【点评】
本题主要考查对中心对称性质的理解和运用，解题时需要注意不要遗漏对称中心不是格点的情况，同时要确认所求三角形的顶点都为格点，避免多算或者漏算。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确中心对称的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，若能和另一个图形重合，则两个图形关于该点成中心对称。首先分析△ABC的特征：它是直角三角形，两条直角边长度分别为2和1，顶点均为格点。解题时结合2×2方格的格点分布，根据中心对称的性质（对应点连线过对称中心，且被对称中心平分），逐一找出所有符合顶点为格点、与△ABC成中心对称的三角形即可。
【解析】
我们将2×2方格的格点按坐标标记：设$A(0,2)$，$B(0,0)$，$C(1,0)$，方格所有格点的横坐标、纵坐标均为0、1、2。
根据中心对称性质逐一查找：
1. 取对称中心为大正方形中心$(1,1)$：
$A$的对称点为$(2,0)$，$B$的对称点为$(2,2)$，$C$的对称点为$(1,2)$，三点$(2,0)$、$(2,2)$、$(1,2)$构成的三角形符合要求，是第1个。
2. 取对称中心为线段$AC$的中点$(0.5,1)$：
$A$的对称点为$(1,0)$（即点$C$），$B$的对称点为$(1,2)$，$C$的对称点为$(0,2)$（即点$A$），三点$(1,0)$、$(1,2)$、$(0,2)$构成的三角形符合要求，是第2个。
其余对称中心得到的三角形顶点超出方格格点范围，不符合要求。
【答案】
2
【知识点】
中心对称的概念，中心对称的性质，格点图形识别
【点评】
本题主要考查对中心对称性质的理解和运用，解题时需要注意不要遗漏对称中心不是格点的情况，同时要确认所求三角形的顶点都为格点，避免多算或者漏算。
【难度系数】
0.7
15. 若菱形ABCD的一条对角线长为3，另一条对角线的长是方程$x^2 - 7x + 12 = 0$的一个根，则菱形ABCD的周长为________.
答案
15. $6\sqrt{2}$或10
解析
【分析】
要计算菱形的周长，需先求出菱形的边长：①首先求解一元二次方程，得到另一条对角线的可能长度；②结合菱形“对角线互相垂直平分”的性质，可知两条对角线的一半与菱形边长构成直角三角形，可通过勾股定理计算边长；③对求出的对角线长度进行验证，符合要求的取值都要分类计算对应周长，避免漏解。
【解析】
步骤1：解方程$x^2 - 7x + 12 = 0$
因式分解得：$(x-3)(x-4)=0$
解得：$x_1=3$，$x_2=4$，即另一条对角线长可能为3或4，均符合对角线长度为正的要求。
步骤2：根据菱形性质计算边长和周长
菱形对角线互相垂直平分，已知一条对角线长为3，因此它的一半为$\frac{3}{2}=1.5$。
①当另一条对角线长为3时，它的一半也为1.5：
由勾股定理得边长$a=\sqrt{1.5^2 + 1.5^2}=\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{9}{4}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$
周长$=4a=4×\frac{3\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}$
②当另一条对角线长为4时，它的一半为$\frac{4}{2}=2$：
由勾股定理得边长$a=\sqrt{1.5^2 + 2^2}=\sqrt{2.25+4}=\sqrt{6.25}=2.5$
周长$=4a=4×2.5=10$
综上，菱形ABCD的周长为$6\sqrt{2}$或10。
【答案】
$6\sqrt{2}$或10
【知识点】
菱形的性质；一元二次方程的解法；勾股定理
【点评】
本题是几何与方程的综合基础题，解题时需要先求出方程的所有根，再结合几何性质分类讨论，注意不要遗漏符合条件的解。
【难度系数】
0.7
要计算菱形的周长，需先求出菱形的边长：①首先求解一元二次方程，得到另一条对角线的可能长度；②结合菱形“对角线互相垂直平分”的性质，可知两条对角线的一半与菱形边长构成直角三角形，可通过勾股定理计算边长；③对求出的对角线长度进行验证，符合要求的取值都要分类计算对应周长，避免漏解。
【解析】
步骤1：解方程$x^2 - 7x + 12 = 0$
因式分解得：$(x-3)(x-4)=0$
解得：$x_1=3$，$x_2=4$，即另一条对角线长可能为3或4，均符合对角线长度为正的要求。
步骤2：根据菱形性质计算边长和周长
菱形对角线互相垂直平分，已知一条对角线长为3，因此它的一半为$\frac{3}{2}=1.5$。
①当另一条对角线长为3时，它的一半也为1.5：
由勾股定理得边长$a=\sqrt{1.5^2 + 1.5^2}=\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{9}{4}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$
周长$=4a=4×\frac{3\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}$
②当另一条对角线长为4时，它的一半为$\frac{4}{2}=2$：
由勾股定理得边长$a=\sqrt{1.5^2 + 2^2}=\sqrt{2.25+4}=\sqrt{6.25}=2.5$
周长$=4a=4×2.5=10$
综上，菱形ABCD的周长为$6\sqrt{2}$或10。
【答案】
$6\sqrt{2}$或10
【知识点】
菱形的性质；一元二次方程的解法；勾股定理
【点评】
本题是几何与方程的综合基础题，解题时需要先求出方程的所有根，再结合几何性质分类讨论，注意不要遗漏符合条件的解。
【难度系数】
0.7
16. 两个一元二次方程有且只有一个公共根，称这两个方程互为好友方程，这一个公共根叫作好友根.例如$x^2 - x - 2=0$和$x^2 - 2x - 3=0$互为好友方程，好友根为$x=-1$.如果$x^2 - 1=0$和$ax^2 - x - 2=0$互为好友方程，那么$a$的值为________.
答案
16. 3或1
解析
【分析】
首先根据“好友方程”的定义可知，两个方程有且仅有一个公共根，解题时先求解不含参数的方程$x^2 - 1=0$，得到它的两个根；由于公共根必然是这两个根中的一个，因此分两种情况，分别将两个根代入含参数的方程$ax^2 - x - 2=0$求出$a$的值；最后验证求出的$a$对应的方程与$x^2 - 1=0$是否只有一个公共根，排除不符合题意的情况即可。
【解析】
第一步：求解方程$x^2 - 1=0$
移项得$x^2=1$，开方得$x_1=1$，$x_2=-1$。
第二步：分情况代入求$a$，并验证
① 若公共根（好友根）为$x=1$，将$x=1$代入$ax^2 - x - 2=0$得：
$a×1^2 - 1 - 2=0$，解得$a=3$。
此时$a=3$对应的方程为$3x^2 - x - 2=0$，因式分解得$(3x+2)(x-1)=0$，解得根为$x_1=1$，$x_2=-\frac{2}{3}$，与$x^2-1=0$的公共根只有$x=1$，符合要求。
② 若公共根（好友根）为$x=-1$，将$x=-1$代入$ax^2 - x - 2=0$得：
$a×(-1)^2 - (-1) - 2=0$，即$a +1 -2=0$，解得$a=1$。
此时$a=1$对应的方程为$x^2 - x - 2=0$，因式分解得$(x-2)(x+1)=0$，解得根为$x_1=-1$，$x_2=2$，与$x^2-1=0$的公共根只有$x=-1$，符合要求。
综上，$a$的值为3或1。
【答案】
3或1
【知识点】
一元二次方程的解，一元二次方程的解法，分类讨论思想
【点评】
本题为新定义类题型，核心是抓住公共根同时满足两个方程的性质，通过分类讨论代入求解参数，解题时要注意对结果进行验证，确保符合“有且只有一个公共根”的限定条件。
【难度系数】
0.7
首先根据“好友方程”的定义可知，两个方程有且仅有一个公共根，解题时先求解不含参数的方程$x^2 - 1=0$，得到它的两个根；由于公共根必然是这两个根中的一个，因此分两种情况，分别将两个根代入含参数的方程$ax^2 - x - 2=0$求出$a$的值；最后验证求出的$a$对应的方程与$x^2 - 1=0$是否只有一个公共根，排除不符合题意的情况即可。
【解析】
第一步：求解方程$x^2 - 1=0$
移项得$x^2=1$，开方得$x_1=1$，$x_2=-1$。
第二步：分情况代入求$a$，并验证
① 若公共根（好友根）为$x=1$，将$x=1$代入$ax^2 - x - 2=0$得：
$a×1^2 - 1 - 2=0$，解得$a=3$。
此时$a=3$对应的方程为$3x^2 - x - 2=0$，因式分解得$(3x+2)(x-1)=0$，解得根为$x_1=1$，$x_2=-\frac{2}{3}$，与$x^2-1=0$的公共根只有$x=1$，符合要求。
② 若公共根（好友根）为$x=-1$，将$x=-1$代入$ax^2 - x - 2=0$得：
$a×(-1)^2 - (-1) - 2=0$，即$a +1 -2=0$，解得$a=1$。
此时$a=1$对应的方程为$x^2 - x - 2=0$，因式分解得$(x-2)(x+1)=0$，解得根为$x_1=-1$，$x_2=2$，与$x^2-1=0$的公共根只有$x=-1$，符合要求。
综上，$a$的值为3或1。
【答案】
3或1
【知识点】
一元二次方程的解，一元二次方程的解法，分类讨论思想
【点评】
本题为新定义类题型，核心是抓住公共根同时满足两个方程的性质，通过分类讨论代入求解参数，解题时要注意对结果进行验证，确保符合“有且只有一个公共根”的限定条件。
【难度系数】
0.7
三、解答题
17. 已知 $ a,b $ 是方程 $ x^2 + x - 1 = 0 $ 的两根,求 $ a^2 + 2a + \frac{1}{b} $ 的值.
17. 已知 $ a,b $ 是方程 $ x^2 + x - 1 = 0 $ 的两根,求 $ a^2 + 2a + \frac{1}{b} $ 的值.
答案
17. $\because a,b$ 是方程 $x^2 + x - 1 = 0$ 的两根,$\therefore a^2 + a = 1,ab = -1.\therefore a^2 + 2a + \frac{1}{b} = a^2 + a + a + \frac{1}{b}=1+\frac{ab+1}{b}=1+\frac{0}{b}=1.$
解析
【分析】
解题时首先利用一元二次方程根的定义，将a代入方程可得到$a^2+a$的值，实现高次项降次；再观察所求代数式的结构，把$a^2+2a$拆分为$a^2+a +a$，代入降次后的结果后，代数式简化为$1 + a + \frac{1}{b}$；最后结合一元二次方程根与系数的关系得到两根之积$ab$的值，将$a+\frac{1}{b}$通分后代入$ab$的值计算，即可求出最终结果，全程不需要求解a、b的具体值，能大幅简化计算。
【解析】
$\because a,b$是方程$x^2 + x - 1 = 0$的两根，
$\therefore$将$a$代入方程得$a^2 + a -1=0$，即$a^2 + a =1$，
根据根与系数的关系可得$ab=\frac{-1}{1}=-1$。
对所求代数式变形：
$a^2 + 2a + \frac{1}{b}=(a^2+a)+a+\frac{1}{b}$
将$a^2+a=1$代入得：
原式$=1+a+\frac{1}{b}=1+\frac{ab+1}{b}$
将$ab=-1$代入得：
原式$=1+\frac{-1+1}{b}=1+0=1$
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程性质结合代数式求值的典型题目，解题核心是通过降次、整体代入的思路简化计算，避免了求解方程根的复杂运算，能很好地考查学生对知识的综合运用能力和代数式变形技巧。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用一元二次方程根的定义，将a代入方程可得到$a^2+a$的值，实现高次项降次；再观察所求代数式的结构，把$a^2+2a$拆分为$a^2+a +a$，代入降次后的结果后，代数式简化为$1 + a + \frac{1}{b}$；最后结合一元二次方程根与系数的关系得到两根之积$ab$的值，将$a+\frac{1}{b}$通分后代入$ab$的值计算，即可求出最终结果，全程不需要求解a、b的具体值，能大幅简化计算。
【解析】
$\because a,b$是方程$x^2 + x - 1 = 0$的两根，
$\therefore$将$a$代入方程得$a^2 + a -1=0$，即$a^2 + a =1$，
根据根与系数的关系可得$ab=\frac{-1}{1}=-1$。
对所求代数式变形：
$a^2 + 2a + \frac{1}{b}=(a^2+a)+a+\frac{1}{b}$
将$a^2+a=1$代入得：
原式$=1+a+\frac{1}{b}=1+\frac{ab+1}{b}$
将$ab=-1$代入得：
原式$=1+\frac{-1+1}{b}=1+0=1$
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程性质结合代数式求值的典型题目，解题核心是通过降次、整体代入的思路简化计算，避免了求解方程根的复杂运算，能很好地考查学生对知识的综合运用能力和代数式变形技巧。
【难度系数】
0.7
18. 已知 $ x_1, x_2 $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - 2(m+1)x + m^2 - 3 = 0 $ 的两个实数根.
（1）求 $ m $ 的取值范围.
（2）当 $ (x_1 + 1)(x_2 + 1) = 8 $ 时, 求 $ m $ 的值.
（1）求 $ m $ 的取值范围.
（2）当 $ (x_1 + 1)(x_2 + 1) = 8 $ 时, 求 $ m $ 的值.
答案
18. (1) $\because x_1,x_2$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - 2(m + 1)x + m^2 - 3 = 0$ 的两个实数根,$\therefore \Delta= [-2(m + 1)]^2 - 4(m^2 - 3)≥0$,解得 $m≥-2$.
(2) $\because x_1,x_2$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - 2(m + 1)x + m^2 - 3 = 0$ 的两个实数根,$\therefore x_1+x_2=2(m+1),x_1x_2=m^2-3.\because(x_1+1)(x_2+1)=8,\therefore x_1x_2+(x_1+x_2)+1=8.\therefore m^2-3+2(m+1)+1=8$,解得 $m=2$ 或 $m=-4.\because m≥-2,\therefore m=2.$
(2) $\because x_1,x_2$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - 2(m + 1)x + m^2 - 3 = 0$ 的两个实数根,$\therefore x_1+x_2=2(m+1),x_1x_2=m^2-3.\because(x_1+1)(x_2+1)=8,\therefore x_1x_2+(x_1+x_2)+1=8.\therefore m^2-3+2(m+1)+1=8$,解得 $m=2$ 或 $m=-4.\because m≥-2,\therefore m=2.$
解析
【分析】
（1）已知一元二次方程有两个实数根，根据根的情况与判别式的关系，当Δ≥0时方程有两个实数根，因此先确定方程中a、b、c的取值，代入判别式公式列不等式，求解即可得到m的取值范围。
（2）给出的两根变形乘积式展开后包含两根之和与两根之积，因此利用根与系数的关系，先用含m的代数式表示出$x_1+x_2$和$x_1x_2$，代入展开后的等式得到关于m的方程，求解后结合第（1）问的m取值范围，舍去不符合条件的解，即可得到m的正确值。
【解析】
（1）
∵$x_1, x_2$是关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2(m+1)x + m^2 - 3 = 0$的两个实数根，
∴$\Delta= [-2(m + 1)]^2 - 4(m^2 - 3)≥0$，
展开化简得$8m+16≥0$，
解得 $m≥-2$。
（2）根据根与系数的关系得：$x_1+x_2=2(m+1),x_1x_2=m^2-3$，
∵$(x_1+1)(x_2+1)=8$，
展开得$x_1x_2+(x_1+x_2)+1=8$，
将$x_1+x_2$、$x_1x_2$代入得：$m^2-3+2(m+1)+1=8$，
整理得$m^2+2m-8=0$，
解得 $m=2$ 或 $m=-4$，
∵$m≥-2$，
∴舍去$m=-4$，即$m=2$。
【答案】
（1）$m≥ -2$；（2）$m=2$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程的经典综合题型，解题时要注意三个关键点：一是已知方程有两个实根时，首先通过判别式确定参数的取值范围；二是涉及两根的变形代数式求值时，优先用根与系数的关系整体代入简化计算；三是求解参数后要验证是否符合参数的取值范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
（1）已知一元二次方程有两个实数根，根据根的情况与判别式的关系，当Δ≥0时方程有两个实数根，因此先确定方程中a、b、c的取值，代入判别式公式列不等式，求解即可得到m的取值范围。
（2）给出的两根变形乘积式展开后包含两根之和与两根之积，因此利用根与系数的关系，先用含m的代数式表示出$x_1+x_2$和$x_1x_2$，代入展开后的等式得到关于m的方程，求解后结合第（1）问的m取值范围，舍去不符合条件的解，即可得到m的正确值。
【解析】
（1）
∵$x_1, x_2$是关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2(m+1)x + m^2 - 3 = 0$的两个实数根，
∴$\Delta= [-2(m + 1)]^2 - 4(m^2 - 3)≥0$，
展开化简得$8m+16≥0$，
解得 $m≥-2$。
（2）根据根与系数的关系得：$x_1+x_2=2(m+1),x_1x_2=m^2-3$，
∵$(x_1+1)(x_2+1)=8$，
展开得$x_1x_2+(x_1+x_2)+1=8$，
将$x_1+x_2$、$x_1x_2$代入得：$m^2-3+2(m+1)+1=8$，
整理得$m^2+2m-8=0$，
解得 $m=2$ 或 $m=-4$，
∵$m≥-2$，
∴舍去$m=-4$，即$m=2$。
【答案】
（1）$m≥ -2$；（2）$m=2$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程的经典综合题型，解题时要注意三个关键点：一是已知方程有两个实根时，首先通过判别式确定参数的取值范围；二是涉及两根的变形代数式求值时，优先用根与系数的关系整体代入简化计算；三是求解参数后要验证是否符合参数的取值范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
19. 如图,将$△ ABC$逆时针旋转一定角度$α(0°＜α＜360°)$后得到$△ DEC$,$D$恰好为$BC$的中点.
(1) 若$∠ ACE=140°$,指出旋转中心,并求出$α$.
(2) 若$CE=10$,求$AC$的长.
(1) 若$∠ ACE=140°$,指出旋转中心,并求出$α$.
(2) 若$CE=10$,求$AC$的长.
答案
19. (1) $\because ∠ ACE=140°,\therefore ∠ ACB+∠ DCE=360°-140°=220°.\because$ 将$△ ABC$ 逆时针旋转一定角度 $α(0°＜α＜360°)$ 后得到 $△ DEC,\therefore ∠ ACB=∠ DCE=110°$,旋转中心为点 $C.\therefore α=110°$.
(2) 由旋转,知 $BC=CE=10,AC=CD$,又$\because D$ 恰好为 $BC$ 的中点,$\therefore AC=CD=\frac{1}{2}BC=5$.
(2) 由旋转,知 $BC=CE=10,AC=CD$,又$\because D$ 恰好为 $BC$ 的中点,$\therefore AC=CD=\frac{1}{2}BC=5$.
解析
【分析】
(1) 首先确定旋转中心：旋转过程中位置固定不变的点即为旋转中心，本题中△ABC旋转得到△DEC时，只有点C位置未发生改变，因此旋转中心为点C。接下来求旋转角α：根据旋转的性质，旋转前后对应角相等，可得∠ACB=∠DCE；以点C为顶点的周角为360°，已知∠ACE=140°，可先求出∠ACB与∠DCE的角度和，再计算出单个角的度数，该度数就是旋转角α的大小。
(2) 求AC的长度时，先根据旋转的性质得到对应边相等，即CE=BC、AC=CD，再结合D是BC中点的条件，可知CD为BC的一半，代入数值计算即可得到AC的长度。
【解析】
(1) 已知∠ACE=140°，由周角为360°可得：
$∠ ACB + ∠ DCE = 360° - ∠ ACE = 360° - 140° = 220°$
∵ △ABC逆时针旋转得到△DEC
∴ 旋转中心为点C，且旋转前后对应角相等，即$∠ ACB=∠ DCE$
∴ $∠ ACB=∠ DCE=220°÷2=110°$
即旋转角$α=110°$
(2) 由旋转的性质可知，旋转前后对应边相等：
$BC=CE=10$，$AC=CD$
∵ D是BC的中点
∴ $CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×10=5$
又
∵ $AC=CD$
∴ $AC=5$
【答案】
(1) 旋转中心为点C，$α=110°$；(2) $AC=5$
【知识点】
旋转的性质，周角的定义，线段中点的定义
【点评】
本题属于旋转性质的基础应用题，解题核心是熟练掌握旋转前后对应角相等、对应边相等的特点，结合周角、线段中点的性质即可求解，解题时需注意准确识别旋转前后的对应元素，避免找错旋转角或对应边。
【难度系数】
0.75
(1) 首先确定旋转中心：旋转过程中位置固定不变的点即为旋转中心，本题中△ABC旋转得到△DEC时，只有点C位置未发生改变，因此旋转中心为点C。接下来求旋转角α：根据旋转的性质，旋转前后对应角相等，可得∠ACB=∠DCE；以点C为顶点的周角为360°，已知∠ACE=140°，可先求出∠ACB与∠DCE的角度和，再计算出单个角的度数，该度数就是旋转角α的大小。
(2) 求AC的长度时，先根据旋转的性质得到对应边相等，即CE=BC、AC=CD，再结合D是BC中点的条件，可知CD为BC的一半，代入数值计算即可得到AC的长度。
【解析】
(1) 已知∠ACE=140°，由周角为360°可得：
$∠ ACB + ∠ DCE = 360° - ∠ ACE = 360° - 140° = 220°$
∵ △ABC逆时针旋转得到△DEC
∴ 旋转中心为点C，且旋转前后对应角相等，即$∠ ACB=∠ DCE$
∴ $∠ ACB=∠ DCE=220°÷2=110°$
即旋转角$α=110°$
(2) 由旋转的性质可知，旋转前后对应边相等：
$BC=CE=10$，$AC=CD$
∵ D是BC的中点
∴ $CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×10=5$
又
∵ $AC=CD$
∴ $AC=5$
【答案】
(1) 旋转中心为点C，$α=110°$；(2) $AC=5$
【知识点】
旋转的性质，周角的定义，线段中点的定义
【点评】
本题属于旋转性质的基础应用题，解题核心是熟练掌握旋转前后对应角相等、对应边相等的特点，结合周角、线段中点的性质即可求解，解题时需注意准确识别旋转前后的对应元素，避免找错旋转角或对应边。
【难度系数】
0.75
