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12. 如图,在矩形ABCD中,如果$DE⊥ AC$,$AE=\frac{1}{3}CE$,那么$∠ BDC$的度数为 (
A.$60°$
B.$45°$
C.$30°$
D.$22.5°$
C
)A.$60°$
B.$45°$
C.$30°$
D.$22.5°$
答案
12.C
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先根据矩形对角线相等且互相平分的性质，得到OA=OC=OB=OD；2. 结合AE=1/3CE的条件，设参数表示各线段长度，推导得出E是AO的中点；3. 由DE⊥AC可知DE是AO的垂直平分线，可得AD=OD，进而判断△AOD为等边三角形，求出∠OAD的度数；4. 利用直角三角形两锐角互余求出∠ACD的度数，再根据OD=OC，等边对等角即可得到∠BDC的度数。
【解析】
解：设$ AE = x $，
∵ $ AE = \frac{1}{3}CE $，
∴ $ CE = 3x $，则对角线$ AC = AE + CE = 4x $。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ 矩形对角线相等且互相平分，即$ OA=OC=OB=OD=\frac{1}{2}AC=2x $，且$ ∠ ADC=90° $。
∴ $ OE = OA - AE = 2x - x = x $，即$ AE = OE $。
又
∵ $ DE ⊥ AC $，
∴ DE是线段AO的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得$ AD = OD $。
∵ $ OD = OA = 2x $，
∴ $ AD = OA = OD $，即$ △ AOD $是等边三角形，
∴ $ ∠ OAD = 60° $。
在$ \mathrm{Rt}△ ADC $中，$ ∠ ACD = 90° - ∠ OAD = 90° - 60° = 30° $。
又
∵ $ OD = OC $，根据等边对等角可得：
$ ∠ BDC = ∠ ACD = 30° $。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是结合线段比例关系和垂直条件，构造出等边三角形，再通过角度的转化得到最终结果，能够很好地考查学生对特殊四边形和特殊三角形性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 先根据矩形对角线相等且互相平分的性质，得到OA=OC=OB=OD；2. 结合AE=1/3CE的条件，设参数表示各线段长度，推导得出E是AO的中点；3. 由DE⊥AC可知DE是AO的垂直平分线，可得AD=OD，进而判断△AOD为等边三角形，求出∠OAD的度数；4. 利用直角三角形两锐角互余求出∠ACD的度数，再根据OD=OC，等边对等角即可得到∠BDC的度数。
【解析】
解：设$ AE = x $，
∵ $ AE = \frac{1}{3}CE $，
∴ $ CE = 3x $，则对角线$ AC = AE + CE = 4x $。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ 矩形对角线相等且互相平分，即$ OA=OC=OB=OD=\frac{1}{2}AC=2x $，且$ ∠ ADC=90° $。
∴ $ OE = OA - AE = 2x - x = x $，即$ AE = OE $。
又
∵ $ DE ⊥ AC $，
∴ DE是线段AO的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得$ AD = OD $。
∵ $ OD = OA = 2x $，
∴ $ AD = OA = OD $，即$ △ AOD $是等边三角形，
∴ $ ∠ OAD = 60° $。
在$ \mathrm{Rt}△ ADC $中，$ ∠ ACD = 90° - ∠ OAD = 90° - 60° = 30° $。
又
∵ $ OD = OC $，根据等边对等角可得：
$ ∠ BDC = ∠ ACD = 30° $。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是结合线段比例关系和垂直条件，构造出等边三角形，再通过角度的转化得到最终结果，能够很好地考查学生对特殊四边形和特殊三角形性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
13.如图，折叠长方形纸片ABCD，先折出折痕BD，再折叠，使AD边与对角线BD重合，得折痕DE.若AB=4，BC=3，则AE的长是
$\frac{3}{2}$
.答案
13.$\frac{3}{2}$
解析
【分析】
这是一道矩形折叠结合勾股定理的计算题，解题思路如下：第一步，先利用矩形性质得到直角和已知边长，用勾股定理算出对角线BD的长度；第二步，根据折叠的性质，得到对应边、对应角相等，算出BD上点A'到点B的长度，同时得到∠EA'B为直角；第三步，设AE的长为未知数，用含未知数的式子表示出Rt△A'EB的三边，再根据勾股定理列方程求解即可。
【解析】
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ AD=BC=3，∠A=90°，
在Rt△ABD中，AB=4，AD=3，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AD^2+AB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
由折叠的性质可知：$△ ADE ≌ △ A'DE$，
∴ $DA'=DA=3$，$A'E=AE$，$∠ DA'E=∠ A=90°$，
∴ $∠ EA'B=180°-∠ DA'E=90°$，$A'B=BD-DA'=5-3=2$，
设$AE=x$，则$A'E=x$，$EB=AB-AE=4-x$，
在Rt△A'EB中，由勾股定理得：
$A'E^2 + A'B^2 = EB^2$，
即$x^2 + 2^2 = (4-x)^2$，
展开得：$x^2 +4 = 16 -8x +x^2$，
化简得：$8x=12$，
解得$x=\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
矩形的性质；折叠的性质；勾股定理的应用
【点评】
本题是折叠类几何计算的典型题型，解题核心是抓住折叠前后对应边、对应角相等的性质，将未知边和已知边转化到同一个直角三角形中，通过设未知数结合勾股定理列方程求解，能有效考查数形结合思想和方程思想的运用能力。
【难度系数】
0.6
这是一道矩形折叠结合勾股定理的计算题，解题思路如下：第一步，先利用矩形性质得到直角和已知边长，用勾股定理算出对角线BD的长度；第二步，根据折叠的性质，得到对应边、对应角相等，算出BD上点A'到点B的长度，同时得到∠EA'B为直角；第三步，设AE的长为未知数，用含未知数的式子表示出Rt△A'EB的三边，再根据勾股定理列方程求解即可。
【解析】
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ AD=BC=3，∠A=90°，
在Rt△ABD中，AB=4，AD=3，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AD^2+AB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
由折叠的性质可知：$△ ADE ≌ △ A'DE$，
∴ $DA'=DA=3$，$A'E=AE$，$∠ DA'E=∠ A=90°$，
∴ $∠ EA'B=180°-∠ DA'E=90°$，$A'B=BD-DA'=5-3=2$，
设$AE=x$，则$A'E=x$，$EB=AB-AE=4-x$，
在Rt△A'EB中，由勾股定理得：
$A'E^2 + A'B^2 = EB^2$，
即$x^2 + 2^2 = (4-x)^2$，
展开得：$x^2 +4 = 16 -8x +x^2$，
化简得：$8x=12$，
解得$x=\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
矩形的性质；折叠的性质；勾股定理的应用
【点评】
本题是折叠类几何计算的典型题型，解题核心是抓住折叠前后对应边、对应角相等的性质，将未知边和已知边转化到同一个直角三角形中，通过设未知数结合勾股定理列方程求解，能有效考查数形结合思想和方程思想的运用能力。
【难度系数】
0.6
14. 如图，在菱形$ABCD$中，$∠ A=36°$，分别以$A$，$B$为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径，作弧交于两点，过此两点的直线交$AD$边于点$E$，连接$BE$，$BD$，则$∠ EBD$的度数为
$36°$
。答案
14.$36°$
解析
【分析】
解题时先识别尺规作图的类型：题中作图是作线段AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得EA=EB，进而求出∠EBA的度数；再利用菱形邻边相等的性质得到△ABD为等腰三角形，结合已知∠A的度数求出∠ABD的度数，最后用∠ABD减去∠EBA即可得到∠EBD的度数。
【解析】
1. 由尺规作图的方法可知，所作直线是线段AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，得$AE=BE$，因此$∠ EBA=∠ A=36°$。
2. 因为四边形$ABCD$是菱形，所以$AD=AB$，即$△ ABD$为等腰三角形，$∠ ABD=∠ ADB$。
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ ABD=\frac{180°-∠ A}{2}=\frac{180°-36°}{2}=72°$
3. 因此$∠ EBD=∠ ABD-∠ EBA=72°-36°=36°$。
【答案】
$36°$
【知识点】
垂直平分线的性质，菱形的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是先准确识别尺规作图的结果，再结合特殊图形的角度性质逐步推导计算即可。
【难度系数】
0.7
解题时先识别尺规作图的类型：题中作图是作线段AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得EA=EB，进而求出∠EBA的度数；再利用菱形邻边相等的性质得到△ABD为等腰三角形，结合已知∠A的度数求出∠ABD的度数，最后用∠ABD减去∠EBA即可得到∠EBD的度数。
【解析】
1. 由尺规作图的方法可知，所作直线是线段AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，得$AE=BE$，因此$∠ EBA=∠ A=36°$。
2. 因为四边形$ABCD$是菱形，所以$AD=AB$，即$△ ABD$为等腰三角形，$∠ ABD=∠ ADB$。
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ ABD=\frac{180°-∠ A}{2}=\frac{180°-36°}{2}=72°$
3. 因此$∠ EBD=∠ ABD-∠ EBA=72°-36°=36°$。
【答案】
$36°$
【知识点】
垂直平分线的性质，菱形的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是先准确识别尺规作图的结果，再结合特殊图形的角度性质逐步推导计算即可。
【难度系数】
0.7
15. 如图,在四边形ABCD中,AD//BC,AB=BC,对角线AC,BD相交于点O,BD平分∠ABC,过点D作DE⊥BC,交BC的延长线于点E,连接OE.
(1)求证:四边形ABCD是菱形.
(2)若DC=2√5,AC=4,求OE的长.
(1)求证:四边形ABCD是菱形.
(2)若DC=2√5,AC=4,求OE的长.
答案
15.(1)证明: $\because AD// BC$,$\therefore ∠ ADB=∠ CBD$.$\because BD$ 平分 $∠ ABC$,$\therefore ∠ ABD=∠ CBD$.$\therefore ∠ ADB=∠ ABD$.$\therefore AD=AB$. $\because AB=BC$,$\therefore AD=BC$. $\because AD// BC$,$AD=BC$,$AB=BC$,$\therefore$ 四边形ABCD是菱形.
(2)$\because$ 四边形 $ABCD$ 是菱形,$\therefore AC⊥ BD$,$OB=OD$,$OA=OC=\frac{1}{2}AC=2$. 在 $△ OCD$ 中, 由勾股定理, 得 $OD=\sqrt{CD^2-OC^2}=4$,$\therefore BD=2OD=8$. $\because DE⊥ BC$,$\therefore ∠ DEB=90°$. $\because OB=OD$,$\therefore OE=\frac{1}{2}BD=4$.
(2)$\because$ 四边形 $ABCD$ 是菱形,$\therefore AC⊥ BD$,$OB=OD$,$OA=OC=\frac{1}{2}AC=2$. 在 $△ OCD$ 中, 由勾股定理, 得 $OD=\sqrt{CD^2-OC^2}=4$,$\therefore BD=2OD=8$. $\because DE⊥ BC$,$\therefore ∠ DEB=90°$. $\because OB=OD$,$\therefore OE=\frac{1}{2}BD=4$.
解析
【分析】
(1)要证明四边形ABCD是菱形，可先判定它是平行四边形，再证明邻边相等。首先结合AD//BC和BD平分∠ABC的条件，可推出∠ADB=∠ABD，得到AD=AB，结合已知AB=BC，可得到AD和BC平行且相等，即可先证出四边形ABCD是平行四边形，再加上邻边AB=BC，就能判定为菱形。
(2)已知四边形是菱形，利用菱形对角线互相垂直平分的性质，先求出OC的长度，再在直角三角形OCD中用勾股定理算出OD的长度，得到BD的总长；再根据DE⊥BC可知△BDE是直角三角形，O是BD中点，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，即可求出OE的长度。
【解析】
(1)证明：
$\because AD// BC$，
$\therefore ∠ADB=∠CBD$（两直线平行，内错角相等）。
$\because BD$平分$∠ABC$，
$\therefore ∠ABD=∠CBD$，
$\therefore ∠ADB=∠ABD$，
$\therefore AD=AB$（等角对等边）。
$\because AB=BC$，
$\therefore AD=BC$。
又$\because AD// BC$，
$\therefore$ 四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
又$\because AB=BC$，
$\therefore$ 平行四边形ABCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
(2)解：
$\because$ 四边形ABCD是菱形，
$\therefore AC⊥BD$，$OB=OD$，$OA=OC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2$。
在$Rt△ OCD$中，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{CD^2-OC^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2-2^2}=\sqrt{20-4}=4$，
$\therefore BD=2OD=2×4=8$。
$\because DE⊥BC$，
$\therefore ∠DEB=90°$，$△ BDE$是直角三角形。
又$\because OB=OD$，即O是斜边BD的中点，
$\therefore OE=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×8=4$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）。
【答案】
(1)四边形ABCD是菱形，证明成立；
(2)OE的长为4。
【知识点】
菱形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的核心是熟练掌握菱形的判定、性质以及直角三角形的相关性质，结合已知条件逐步推导边角关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
(1)要证明四边形ABCD是菱形，可先判定它是平行四边形，再证明邻边相等。首先结合AD//BC和BD平分∠ABC的条件，可推出∠ADB=∠ABD，得到AD=AB，结合已知AB=BC，可得到AD和BC平行且相等，即可先证出四边形ABCD是平行四边形，再加上邻边AB=BC，就能判定为菱形。
(2)已知四边形是菱形，利用菱形对角线互相垂直平分的性质，先求出OC的长度，再在直角三角形OCD中用勾股定理算出OD的长度，得到BD的总长；再根据DE⊥BC可知△BDE是直角三角形，O是BD中点，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，即可求出OE的长度。
【解析】
(1)证明：
$\because AD// BC$，
$\therefore ∠ADB=∠CBD$（两直线平行，内错角相等）。
$\because BD$平分$∠ABC$，
$\therefore ∠ABD=∠CBD$，
$\therefore ∠ADB=∠ABD$，
$\therefore AD=AB$（等角对等边）。
$\because AB=BC$，
$\therefore AD=BC$。
又$\because AD// BC$，
$\therefore$ 四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
又$\because AB=BC$，
$\therefore$ 平行四边形ABCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
(2)解：
$\because$ 四边形ABCD是菱形，
$\therefore AC⊥BD$，$OB=OD$，$OA=OC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2$。
在$Rt△ OCD$中，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{CD^2-OC^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2-2^2}=\sqrt{20-4}=4$，
$\therefore BD=2OD=2×4=8$。
$\because DE⊥BC$，
$\therefore ∠DEB=90°$，$△ BDE$是直角三角形。
又$\because OB=OD$，即O是斜边BD的中点，
$\therefore OE=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×8=4$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）。
【答案】
(1)四边形ABCD是菱形，证明成立；
(2)OE的长为4。
【知识点】
菱形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的核心是熟练掌握菱形的判定、性质以及直角三角形的相关性质，结合已知条件逐步推导边角关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
