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23.综合与实践
【问题背景】
(1)已知$A(1,2),B(3,0),C(1,-1),D(-3,-3)$.在如图(1)所示的平面直角坐标系中描出这几个点,并分别找到线段$AB$和$CD$的中点$P_1,P_2$,然后写出它们的坐标,则$P_1$的坐标为________,$P_2$的坐标为________.
【探究发现】
(2)结合上述计算结果,你能发现:若线段的两个端点的坐标分别为$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$,则线段的中点坐标为________.
【拓展应用】
(3)利用上述规律解决下列问题:如图(2),已知三点$E(-1,2),F(3,1),G(1,4)$,第四个点$H(x,y)$与点$E$、点$F$、点$G$中的一个点构成的线段的中点,与另外两个点构成的线段的中点重合,求点$H$的坐标.
【问题背景】
(1)已知$A(1,2),B(3,0),C(1,-1),D(-3,-3)$.在如图(1)所示的平面直角坐标系中描出这几个点,并分别找到线段$AB$和$CD$的中点$P_1,P_2$,然后写出它们的坐标,则$P_1$的坐标为________,$P_2$的坐标为________.
【探究发现】
(2)结合上述计算结果,你能发现:若线段的两个端点的坐标分别为$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$,则线段的中点坐标为________.
【拓展应用】
(3)利用上述规律解决下列问题:如图(2),已知三点$E(-1,2),F(3,1),G(1,4)$,第四个点$H(x,y)$与点$E$、点$F$、点$G$中的一个点构成的线段的中点,与另外两个点构成的线段的中点重合,求点$H$的坐标.
答案
23.(1)$(2,1)$ $(-1,-2)$
(2)$(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2})$
(3)解:$\because E(-1,2),F(3,1),G(1,4),\therefore$线段 $EF$ 的中点坐标为$(1,\dfrac{3}{2})$,线段 $EG$ 的中点坐标为$(0,3)$,线段 $FG$ 的中点坐标为$(2,\dfrac{5}{2})$.
当线段 $HG$ 的中点与线段 $EF$ 的中点重合时,则$\begin{cases} \dfrac{x+1}{2}=1, \\ \dfrac{y+4}{2}=\dfrac{3}{2}. \end{cases}$
$\therefore\begin{cases} x=1, \\ y=-1. \end{cases}$ $\therefore$点 $H$ 的坐标为$(1,-1)$.
同理,当线段 $HF$ 的中点与线段 $EG$ 的中点重合时,点 $H$ 的坐标为$(-3,5)$;当线段 $HE$ 的中点与线段 $FG$ 的中点重合时,点 $H$ 的坐标为$(5,3)$.
综上所述,点 $H$ 的坐标为$(1,-1)$或$(-3,5)$或$(5,3)$.
(2)$(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2})$
(3)解:$\because E(-1,2),F(3,1),G(1,4),\therefore$线段 $EF$ 的中点坐标为$(1,\dfrac{3}{2})$,线段 $EG$ 的中点坐标为$(0,3)$,线段 $FG$ 的中点坐标为$(2,\dfrac{5}{2})$.
当线段 $HG$ 的中点与线段 $EF$ 的中点重合时,则$\begin{cases} \dfrac{x+1}{2}=1, \\ \dfrac{y+4}{2}=\dfrac{3}{2}. \end{cases}$
$\therefore\begin{cases} x=1, \\ y=-1. \end{cases}$ $\therefore$点 $H$ 的坐标为$(1,-1)$.
同理,当线段 $HF$ 的中点与线段 $EG$ 的中点重合时,点 $H$ 的坐标为$(-3,5)$;当线段 $HE$ 的中点与线段 $FG$ 的中点重合时,点 $H$ 的坐标为$(5,3)$.
综上所述,点 $H$ 的坐标为$(1,-1)$或$(-3,5)$或$(5,3)$.
解析
【分析】
(1)求线段中点坐标时，中点的横坐标是线段两端点横坐标的平均值，纵坐标是两端点纵坐标的平均值，将A、B和C、D的坐标分别代入计算即可得到$P_1$、$P_2$的坐标；
(2)结合第(1)问的计算结果，把具体数值换成字母，就能归纳得到任意两点构成线段的中点坐标公式；
(3)先算出EF、EG、FG三条线段的中点坐标，再分三种情况讨论：①HG的中点与EF中点重合；②HF的中点与EG中点重合；③HE的中点与FG中点重合，分别根据中点公式列方程求解，即可得到所有符合条件的H点坐标。
【解析】
(1)已知$A(1,2)$，$B(3,0)$，则$P_1$的横坐标为$\dfrac{1+3}{2}=2$，纵坐标为$\dfrac{2+0}{2}=1$，即$P_1(2,1)$；
已知$C(1,-1)$，$D(-3,-3)$，则$P_2$的横坐标为$\dfrac{1+(-3)}{2}=-1$，纵坐标为$\dfrac{-1+(-3)}{2}=-2$，即$P_2(-1,-2)$。
(2)结合上述计算规律，若线段两端点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则中点横坐标为$\dfrac{x_1+x_2}{2}$，纵坐标为$\dfrac{y_1+y_2}{2}$，即中点坐标为$(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2})$。
(3)已知$E(-1,2),F(3,1),G(1,4)$：
首先计算三条已知线段的中点：
线段EF的中点坐标为$(\dfrac{-1+3}{2},\dfrac{2+1}{2})=(1,\dfrac{3}{2})$；
线段EG的中点坐标为$(\dfrac{-1+1}{2},\dfrac{2+4}{2})=(0,3)$；
线段FG的中点坐标为$(\dfrac{3+1}{2},\dfrac{1+4}{2})=(2,\dfrac{5}{2})$。
分三种情况讨论：
①当线段HG的中点与线段EF的中点重合时，根据中点公式列方程：
$\begin{cases} \dfrac{x+1}{2}=1 \\ \dfrac{y+4}{2}=\dfrac{3}{2} \end{cases}$，解得$\begin{cases} x=1 \\ y=-1 \end{cases}$，即$H(1,-1)$；
②当线段HF的中点与线段EG的中点重合时，列方程：
$\begin{cases} \dfrac{x+3}{2}=0 \\ \dfrac{y+1}{2}=3 \end{cases}$，解得$\begin{cases} x=-3 \\ y=5 \end{cases}$，即$H(-3,5)$；
③当线段HE的中点与线段FG的中点重合时，列方程：
$\begin{cases} \dfrac{x+(-1)}{2}=2 \\ \dfrac{y+2}{2}=\dfrac{5}{2} \end{cases}$，解得$\begin{cases} x=5 \\ y=3 \end{cases}$，即$H(5,3)$。
综上，点H的坐标为$(1,-1)$或$(-3,5)$或$(5,3)$。
【答案】
(1)$(2,1)$，$(-1,-2)$
(2)$(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2})$
(3)$(1,-1)$或$(-3,5)$或$(5,3)$
【知识点】
中点坐标公式，坐标与图形性质，分类讨论思想
【点评】
本题遵循从特殊到一般的探究思路，先通过具体点的计算归纳中点坐标公式，再应用公式解决拓展问题，考查了归纳推理能力和分类讨论的应用，解题时要注意第三问需考虑所有可能的重合情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1)求线段中点坐标时，中点的横坐标是线段两端点横坐标的平均值，纵坐标是两端点纵坐标的平均值，将A、B和C、D的坐标分别代入计算即可得到$P_1$、$P_2$的坐标；
(2)结合第(1)问的计算结果，把具体数值换成字母，就能归纳得到任意两点构成线段的中点坐标公式；
(3)先算出EF、EG、FG三条线段的中点坐标，再分三种情况讨论：①HG的中点与EF中点重合；②HF的中点与EG中点重合；③HE的中点与FG中点重合，分别根据中点公式列方程求解，即可得到所有符合条件的H点坐标。
【解析】
(1)已知$A(1,2)$，$B(3,0)$，则$P_1$的横坐标为$\dfrac{1+3}{2}=2$，纵坐标为$\dfrac{2+0}{2}=1$，即$P_1(2,1)$；
已知$C(1,-1)$，$D(-3,-3)$，则$P_2$的横坐标为$\dfrac{1+(-3)}{2}=-1$，纵坐标为$\dfrac{-1+(-3)}{2}=-2$，即$P_2(-1,-2)$。
(2)结合上述计算规律，若线段两端点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则中点横坐标为$\dfrac{x_1+x_2}{2}$，纵坐标为$\dfrac{y_1+y_2}{2}$，即中点坐标为$(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2})$。
(3)已知$E(-1,2),F(3,1),G(1,4)$：
首先计算三条已知线段的中点：
线段EF的中点坐标为$(\dfrac{-1+3}{2},\dfrac{2+1}{2})=(1,\dfrac{3}{2})$；
线段EG的中点坐标为$(\dfrac{-1+1}{2},\dfrac{2+4}{2})=(0,3)$；
线段FG的中点坐标为$(\dfrac{3+1}{2},\dfrac{1+4}{2})=(2,\dfrac{5}{2})$。
分三种情况讨论：
①当线段HG的中点与线段EF的中点重合时，根据中点公式列方程：
$\begin{cases} \dfrac{x+1}{2}=1 \\ \dfrac{y+4}{2}=\dfrac{3}{2} \end{cases}$，解得$\begin{cases} x=1 \\ y=-1 \end{cases}$，即$H(1,-1)$；
②当线段HF的中点与线段EG的中点重合时，列方程：
$\begin{cases} \dfrac{x+3}{2}=0 \\ \dfrac{y+1}{2}=3 \end{cases}$，解得$\begin{cases} x=-3 \\ y=5 \end{cases}$，即$H(-3,5)$；
③当线段HE的中点与线段FG的中点重合时，列方程：
$\begin{cases} \dfrac{x+(-1)}{2}=2 \\ \dfrac{y+2}{2}=\dfrac{5}{2} \end{cases}$，解得$\begin{cases} x=5 \\ y=3 \end{cases}$，即$H(5,3)$。
综上，点H的坐标为$(1,-1)$或$(-3,5)$或$(5,3)$。
【答案】
(1)$(2,1)$，$(-1,-2)$
(2)$(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2})$
(3)$(1,-1)$或$(-3,5)$或$(5,3)$
【知识点】
中点坐标公式，坐标与图形性质，分类讨论思想
【点评】
本题遵循从特殊到一般的探究思路，先通过具体点的计算归纳中点坐标公式，再应用公式解决拓展问题，考查了归纳推理能力和分类讨论的应用，解题时要注意第三问需考虑所有可能的重合情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
