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21.阅读下列材料
在平面直角坐标系中,对于点$ P(x,y) $,若点$ Q $的坐标为$ (ax+y,x+ay) $,其中$ a $为常数,则称点$ Q $是点$ P $的“$ a $级关联点”.例如:点$ P(1,4) $的“3级关联点”为$ Q(3×1+4,1+3×4) $,即$ Q(7,13) $.
(1)已知点$ A(2,6) $的“$ \frac{1}{2} $级关联点”是$ B $,求点$ B $的坐标;
(2)已知点$ P(2,-1) $的“$ a $级关联点”为$ (9,b) $,求$ a+b $的值;
(3)已知点$ M(m-1,2m) $的“$-4$级关联点”$ N $位于坐标轴上,求点$ N $的坐标.
在平面直角坐标系中,对于点$ P(x,y) $,若点$ Q $的坐标为$ (ax+y,x+ay) $,其中$ a $为常数,则称点$ Q $是点$ P $的“$ a $级关联点”.例如:点$ P(1,4) $的“3级关联点”为$ Q(3×1+4,1+3×4) $,即$ Q(7,13) $.
(1)已知点$ A(2,6) $的“$ \frac{1}{2} $级关联点”是$ B $,求点$ B $的坐标;
(2)已知点$ P(2,-1) $的“$ a $级关联点”为$ (9,b) $,求$ a+b $的值;
(3)已知点$ M(m-1,2m) $的“$-4$级关联点”$ N $位于坐标轴上,求点$ N $的坐标.
答案
21.解:(1)点 $A(2,6)$的“$\frac{1}{2}$级关联点”为 $B(\frac{1}{2}×2+6,2+\frac{1}{2}×6)$,即 $B(7,5)$.
(2)$\because$点 $P(2,-1)$的“$a$ 级关联点”为$(9,b)$,
$\therefore 2a-1=9,2-a=b.\therefore a=5,b=-3$.
$\therefore a+b=5-3=2$.
(3)$\because$点 $M(m-1,2m)$的“$-4$级关联点”$N$ 的横坐标为 $-4(m-1)+2m$,纵坐标为 $m-1-4×2m$,
$\therefore N(-2m+4,-7m-1)$.
当点 $N$ 位于 $x$ 轴上时,可得 $-7m-1=0$,解得 $m=-\frac{1}{7}$.
$\therefore -2m+4=\frac{30}{7}.\therefore N(\frac{30}{7},0)$ ;
当点 $N$ 位于 $y$ 轴上时,可得 $-2m+4=0$,解得 $m=2$.
$\therefore -7m-1=-15.\therefore N(0,-15)$.
综上,点 $N$ 的坐标为$(\frac{30}{7},0)$或$(0,-15)$.
(2)$\because$点 $P(2,-1)$的“$a$ 级关联点”为$(9,b)$,
$\therefore 2a-1=9,2-a=b.\therefore a=5,b=-3$.
$\therefore a+b=5-3=2$.
(3)$\because$点 $M(m-1,2m)$的“$-4$级关联点”$N$ 的横坐标为 $-4(m-1)+2m$,纵坐标为 $m-1-4×2m$,
$\therefore N(-2m+4,-7m-1)$.
当点 $N$ 位于 $x$ 轴上时,可得 $-7m-1=0$,解得 $m=-\frac{1}{7}$.
$\therefore -2m+4=\frac{30}{7}.\therefore N(\frac{30}{7},0)$ ;
当点 $N$ 位于 $y$ 轴上时,可得 $-2m+4=0$,解得 $m=2$.
$\therefore -7m-1=-15.\therefore N(0,-15)$.
综上,点 $N$ 的坐标为$(\frac{30}{7},0)$或$(0,-15)$.
解析
【分析】
这道题是基于新定义“a级关联点”的坐标计算类题目，解题核心是先准确理解关联点的坐标变换规则：若原点位为$P(x,y)$，则其$a$级关联点$Q$的坐标为$(ax+y, x+ay)$。①第(1)问属于规则的直接应用，只需将点$A$的横、纵坐标以及$a=\frac{1}{2}$代入变换公式，分别计算横坐标和纵坐标即可得到$B$的坐标；②第(2)问是逆用规则，已知原点点坐标和关联点的横坐标，先通过横坐标对应的表达式列方程求出$a$的值，再代入纵坐标的表达式求出$b$，最后计算$a+b$；③第(3)问先写出$M$的$-4$级关联点$N$的坐标表达式，再根据“坐标轴上的点”的坐标特征分两种情况讨论：若点在$x$轴上则纵坐标为0，若在$y$轴上则横坐标为0，分别列方程求出$m$的值，再回代得到$N$的坐标，注意不要漏解。
【解析】
(1) 根据“$a$级关联点”的定义，点$A(2,6)$的“$\frac{1}{2}$级关联点”$B$的横坐标为$\frac{1}{2}×2 + 6 = 7$，纵坐标为$2 + \frac{1}{2}×6 = 5$，即$B(7,5)$。
(2) 已知点$P(2,-1)$的“$a$级关联点”为$(9,b)$，根据关联点坐标规则可得：
横坐标：$2a + (-1) = 9$，解得$a=5$；
纵坐标：$b = 2 + a×(-1) = 2 - 5 = -3$；
所以$a+b=5+(-3)=2$。
(3) 先求点$M(m-1,2m)$的“$-4$级关联点”$N$的坐标：
横坐标：$-4×(m-1) + 2m = -2m +4$；
纵坐标：$(m-1) + (-4)×2m = -7m -1$；
即$N(-2m+4, -7m-1)$。
因为$N$在坐标轴上，分两种情况讨论：
① 当$N$在$x$轴上时，纵坐标为0，即$-7m -1 = 0$，解得$m=-\frac{1}{7}$；
代入横坐标得$-2×(-\frac{1}{7}) +4 = \frac{30}{7}$，此时$N(\frac{30}{7}, 0)$；
② 当$N$在$y$轴上时，横坐标为0，即$-2m +4 = 0$，解得$m=2$；
代入纵坐标得$-7×2 -1 = -15$，此时$N(0, -15)$。
综上，点$N$的坐标为$(\frac{30}{7}, 0)$或$(0, -15)$。
【答案】
(1) $B(7,5)$；(2) $a+b=2$；(3) $N(\frac{30}{7},0)$或$(0,-15)$
【知识点】
新定义运算，坐标轴上点的特征，解一元一次方程
【点评】
本题以新定义为背景考查平面直角坐标系中点的坐标计算，解题关键是读懂题意，准确把握关联点的坐标变换规律，第三问需注意分点在$x$轴和$y$轴两种情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
这道题是基于新定义“a级关联点”的坐标计算类题目，解题核心是先准确理解关联点的坐标变换规则：若原点位为$P(x,y)$，则其$a$级关联点$Q$的坐标为$(ax+y, x+ay)$。①第(1)问属于规则的直接应用，只需将点$A$的横、纵坐标以及$a=\frac{1}{2}$代入变换公式，分别计算横坐标和纵坐标即可得到$B$的坐标；②第(2)问是逆用规则，已知原点点坐标和关联点的横坐标，先通过横坐标对应的表达式列方程求出$a$的值，再代入纵坐标的表达式求出$b$，最后计算$a+b$；③第(3)问先写出$M$的$-4$级关联点$N$的坐标表达式，再根据“坐标轴上的点”的坐标特征分两种情况讨论：若点在$x$轴上则纵坐标为0，若在$y$轴上则横坐标为0，分别列方程求出$m$的值，再回代得到$N$的坐标，注意不要漏解。
【解析】
(1) 根据“$a$级关联点”的定义，点$A(2,6)$的“$\frac{1}{2}$级关联点”$B$的横坐标为$\frac{1}{2}×2 + 6 = 7$，纵坐标为$2 + \frac{1}{2}×6 = 5$，即$B(7,5)$。
(2) 已知点$P(2,-1)$的“$a$级关联点”为$(9,b)$，根据关联点坐标规则可得：
横坐标：$2a + (-1) = 9$，解得$a=5$；
纵坐标：$b = 2 + a×(-1) = 2 - 5 = -3$；
所以$a+b=5+(-3)=2$。
(3) 先求点$M(m-1,2m)$的“$-4$级关联点”$N$的坐标：
横坐标：$-4×(m-1) + 2m = -2m +4$；
纵坐标：$(m-1) + (-4)×2m = -7m -1$；
即$N(-2m+4, -7m-1)$。
因为$N$在坐标轴上，分两种情况讨论：
① 当$N$在$x$轴上时，纵坐标为0，即$-7m -1 = 0$，解得$m=-\frac{1}{7}$；
代入横坐标得$-2×(-\frac{1}{7}) +4 = \frac{30}{7}$，此时$N(\frac{30}{7}, 0)$；
② 当$N$在$y$轴上时，横坐标为0，即$-2m +4 = 0$，解得$m=2$；
代入纵坐标得$-7×2 -1 = -15$，此时$N(0, -15)$。
综上，点$N$的坐标为$(\frac{30}{7}, 0)$或$(0, -15)$。
【答案】
(1) $B(7,5)$；(2) $a+b=2$；(3) $N(\frac{30}{7},0)$或$(0,-15)$
【知识点】
新定义运算，坐标轴上点的特征，解一元一次方程
【点评】
本题以新定义为背景考查平面直角坐标系中点的坐标计算，解题关键是读懂题意，准确把握关联点的坐标变换规律，第三问需注意分点在$x$轴和$y$轴两种情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
22. 如图,线段 AB 和直线 AD 交于点 A,C 为 AD 上一点(不与点 A,D 重合).过点 C 在BC 的右侧作射线$CE⊥BC$,过点 D 作直线$DF// AB$,交 CE 于点 G(G 与 D 不重合).
(1)如图,若点 C 在线段 AD 上,且$∠BCA$为钝角.
①按要求补全图形；
②判断$∠B$与$∠CGD$的数量关系,并证明；
(2)若点 C 在线段 DA 的延长线上,请直接写出$∠B$与$∠CGD$的数量关系.
(1)如图,若点 C 在线段 AD 上,且$∠BCA$为钝角.
①按要求补全图形；
②判断$∠B$与$∠CGD$的数量关系,并证明；
(2)若点 C 在线段 DA 的延长线上,请直接写出$∠B$与$∠CGD$的数量关系.
答案
22.解:(1)①补全图形如图所示.
②判断:$∠ CGD-∠ B=90°$.
证明:如图,过点 $C$ 作 $CH// AB$.
$\therefore ∠ 1=∠ B$(两直线平行,内错角相等).
$\because AB// DF$(已知),
$\therefore CH// DF$(平行于同一条直线的两条直线平行).
$\therefore ∠ CGD+∠ HCG=180°$(两直线平行,同旁内角互补).
$\because CE⊥ BC$(已知),
$\therefore ∠ 1+∠ HCG=90°$(垂直的定义).
$\therefore ∠ HCG=90°-∠ 1=90°-∠ B$.
$\therefore ∠ CGD+(90°-∠ B)=180°$,即$∠ CGD-∠ B=90°$.
(2)$∠ CGD+∠ B=90°$.
解析
【分析】
(1)①补全图形时，先过点C在BC右侧作射线CE垂直BC，再过点D作直线DF平行于AB，两条线的交点即为G；②要推导∠B和∠CGD的数量关系，已知AB和DF平行，我们可以过点C作平行于AB的辅助线CH，利用平行的传递性得到CH也平行于DF，借助平行线的性质把∠B转化为相等的内错角，再结合CE垂直BC的直角条件，以及平行线同旁内角互补的性质，通过角的和差运算就能得出两个角的关系。(2)当点C在DA延长线上时，同样利用平行线的性质结合垂直定义，推导角的和差即可得到对应结论。
【解析】
(1)①补全图形如下：
②判断：$∠ CGD - ∠ B = 90°$，证明过程如下：
过点$C$作$CH// AB$，
$\therefore ∠ 1 = ∠ B$（两直线平行，内错角相等），
$\because AB// DF$（已知），
$\therefore CH// DF$（平行于同一条直线的两条直线平行），
$\therefore ∠ CGD + ∠ HCG = 180°$（两直线平行，同旁内角互补），
$\because CE⊥ BC$（已知），
$\therefore ∠ 1 + ∠ HCG = 90°$（垂直的定义），
$\therefore ∠ HCG = 90° - ∠ 1 = 90° - ∠ B$，
将$∠ HCG = 90° - ∠ B$代入$∠ CGD + ∠ HCG = 180°$，可得$∠ CGD + 90° - ∠ B = 180°$，
整理得$∠ CGD - ∠ B = 90°$。
(2)当点C在线段DA的延长线上时，结合平行线性质和垂直定义推导可得$∠ CGD + ∠ B = 90°$。
【答案】
(1)①补全图形如图所示：
②$\boldsymbol{∠ CGD - ∠ B = 90°}$，证明见解析；
(2)$\boldsymbol{∠ CGD + ∠ B = 90°}$。
【知识点】
平行线的性质；平行公理推论；垂直的定义
【点评】
本题属于平行线综合应用类题目，构造辅助平行线实现角的转化是解题的关键，需要熟练掌握平行线的性质、垂直的定义，结合角的和差关系进行推导，考查了几何作图能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
(1)①补全图形时，先过点C在BC右侧作射线CE垂直BC，再过点D作直线DF平行于AB，两条线的交点即为G；②要推导∠B和∠CGD的数量关系，已知AB和DF平行，我们可以过点C作平行于AB的辅助线CH，利用平行的传递性得到CH也平行于DF，借助平行线的性质把∠B转化为相等的内错角，再结合CE垂直BC的直角条件，以及平行线同旁内角互补的性质，通过角的和差运算就能得出两个角的关系。(2)当点C在DA延长线上时，同样利用平行线的性质结合垂直定义，推导角的和差即可得到对应结论。
【解析】
(1)①补全图形如下：
②判断：$∠ CGD - ∠ B = 90°$，证明过程如下：
过点$C$作$CH// AB$，
$\therefore ∠ 1 = ∠ B$（两直线平行，内错角相等），
$\because AB// DF$（已知），
$\therefore CH// DF$（平行于同一条直线的两条直线平行），
$\therefore ∠ CGD + ∠ HCG = 180°$（两直线平行，同旁内角互补），
$\because CE⊥ BC$（已知），
$\therefore ∠ 1 + ∠ HCG = 90°$（垂直的定义），
$\therefore ∠ HCG = 90° - ∠ 1 = 90° - ∠ B$，
将$∠ HCG = 90° - ∠ B$代入$∠ CGD + ∠ HCG = 180°$，可得$∠ CGD + 90° - ∠ B = 180°$，
整理得$∠ CGD - ∠ B = 90°$。
(2)当点C在线段DA的延长线上时，结合平行线性质和垂直定义推导可得$∠ CGD + ∠ B = 90°$。
【答案】
(1)①补全图形如图所示：
②$\boldsymbol{∠ CGD - ∠ B = 90°}$，证明见解析；
(2)$\boldsymbol{∠ CGD + ∠ B = 90°}$。
【知识点】
平行线的性质；平行公理推论；垂直的定义
【点评】
本题属于平行线综合应用类题目，构造辅助平行线实现角的转化是解题的关键，需要熟练掌握平行线的性质、垂直的定义，结合角的和差关系进行推导，考查了几何作图能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
