16.如图,在四边形ABCD中,AD//BC,点P在AB边上,CP平分∠BCD,DP平分∠ADC。
(1)试按三角形内角的大小,判断△CPD的形状,并说明理由；
(2)若AB=10,∠B=90°,求点P到CD的距离。

解:(1)△CPD为直角三角形。理由如下：
因为AD//BC,所以∠ADC+∠BCD=180°。
因为CP平分∠BCD,DP平分∠ADC,所以∠PDC=$\frac{1}{2}$∠ADC,∠PCD=$\frac{1}{2}$∠BCD,
所以∠PDC+∠PCD=$\frac{1}{2}$(∠ADC+∠BCD)=$\frac{1}{2}$×180°=90°,
所以∠DPC=180°-(∠PDC+∠PCD)=180°-90°=90°,
所以△CPD为直角三角形。
(2)过点P作PE⊥CD于点E,如图。
因为AD//BC,∠B=90°,所以∠A=90°,所以∠A=∠PED=90°。
因为DP平分∠ADC,所以∠ADP=∠EDP。
又因为DP=DP,所以△ADP≌△EDP(AAS),所以PA=PE。
因为CP平分∠BCE,所以∠ECP=∠BCP。
又因为∠B=∠PEC=90°,CP=CP,
所以△ECP≌△BCP(AAS),所以PE=PB,所以PA=PE=PB。
因为AB=10,所以PE=PA=PB=5。所以点P到CD的距离为5。

【分析】
(1) 要判断△CPD按角分类的形状，只需判断其内角是否存在特殊角。首先由AD//BC可得到同旁内角互补，即∠ADC+∠BCD=180°，再结合CP、DP分别是两个角的角平分线，可推出两个半角的和为90°，最后根据三角形内角和为180°即可得到∠DPC=90°，从而判定三角形形状。
(2) 求点P到CD的距离，首先过P作CD的垂线PE，PE就是所求的距离。结合角平分线的定义，通过证明两组三角形全等，得到PE=PA=PB，因此PE的长度为AB的一半，代入AB的数值即可求出结果。
【解析】
(1) △CPD为直角三角形，理由如下：
因为AD//BC，所以∠ADC+∠BCD=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
因为CP平分∠BCD，DP平分∠ADC，所以∠PDC=$\frac{1}{2}$∠ADC，∠PCD=$\frac{1}{2}$∠BCD，
所以∠PDC+∠PCD=$\frac{1}{2}$(∠ADC+∠BCD)=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
在△CPD中，∠DPC=180°-(∠PDC+∠PCD)=180°-90°=90°，所以△CPD为直角三角形。
(2) 过点P作PE⊥CD于点E，如图。
因为AD//BC，∠B=90°，所以∠A=180°-∠B=90°，所以∠A=∠PED=90°。
因为DP平分∠ADC，所以∠ADP=∠EDP。
又因为DP=DP，所以△ADP≌△EDP（AAS），所以PA=PE。
因为CP平分∠BCD，所以∠ECP=∠BCP。
又因为∠B=∠PEC=90°，CP=CP，所以△ECP≌△BCP（AAS），所以PE=PB，
所以PA=PE=PB。
因为AB=PA+PB=10，所以PE=$\frac{1}{2}$AB=5，即点P到CD的距离为5。
【答案】
(1) △CPD是直角三角形；
(2) 点P到CD的距离为5。

【知识点】
平行线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题关键是熟练运用平行线的同旁内角互补性质、角平分线的性质，通过构造辅助线证明三角形全等求解，能较好地考查学生对基础几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7

17. 如图，在$△ ABC$中，$∠ B=∠ C$，$AB=AC=8\ \mathrm{cm}$，$BC=6\ \mathrm{cm}$，点$D$为$AB$的中点。如果点$P$在线段$BC$上以每秒$2\ \mathrm{cm}$的速度由$B$点向$C$点运动，同时，点$Q$在线段$CA$上以每秒$a\ \mathrm{cm}$的速度由$C$点向$A$点运动，设运动时间为$t\ \mathrm{s}(0≤ t≤3)$。
(1)用代数式表示$PC$的长度。
(2)若点$P,Q$的运动速度相等，则经过$1\ \mathrm{s}$后，$△ BPD$与$△ CQP$是否全等？请说明理由。
(3)若点$P,Q$的运动速度不相等，则当点$Q$的运动速度为多少时，能够使$△ BPD$与$△ CQP$全等？

解:(1)由题意,得$PB=2t$ cm,则$PC=(6-2t)$cm。
(2)△BPD与△CQP全等。理由如下：
由题意,得$PB=CQ=2$ cm,所以$PC=6-2=4$(cm)。
因为 D 是AB 的中点,所以 $BD=\frac{1}{2}AB=4$ cm,所以 $BD=PC=4$ cm。
在△CQP 和△BPD 中,$\begin{cases} PC=BD, \\ ∠C=∠B, \\ CQ=PB, \end{cases}$所以△CQP≌△BPD(SAS)。
(3)因为点 P ,Q 的运动速度不相等,所以 $PB≠CQ$,
当△BPD 与△CQP 全等时,已知$∠B=∠C$,所以 $BP=PC=3$ cm,$CQ=BD=4$ cm。
因为 $BP=2t=3$ cm,$CQ=at=4$ cm,所以 $t=\frac{3}{2}$,所以 $\frac{3}{2}a=4$,所以 $a=\frac{8}{3}$。
所以当点 Q 的运动速度为 $\frac{8}{3}$ cm/s 时,能够使△BPD 与△CQP 全等。

【分析】
(1) 求PC的长度时，先根据点P的运动速度和时间得到PB的长度，再用BC的总长度减去PB即可得到PC的表达式。
(2) 判断两个三角形全等，已知∠B=∠C，只需验证夹这组等角的两组对应边相等，即可用SAS判定全等。先算出t=1、速度相等时各边的长度，再对应验证即可。
(3) 因为P、Q速度不等，所以PB≠CQ，结合∠B=∠C，若两三角形全等，对应边只能是BP=PC、BD=CQ，先根据BP的长度求出运动时间t，再代入CQ的表达式求出速度a即可。
【解析】
(1) 由题意得，点P的运动速度为2cm/s，运动时间为t s，因此$PB=2t$ cm，已知$BC=6$ cm，所以$PC=BC-PB=(6-2t)$ cm。
(2) $△ BPD$与$△ CQP$全等，理由如下：
当$t=1$，$a=2$时，$PB=CQ=2×1=2$ cm，因此$PC=6-2=4$ cm。
因为D是AB中点，$AB=8$ cm，所以$BD=\frac{1}{2}AB=4$ cm，即$BD=PC$。
在$△ BPD$和$△ CQP$中：
$\begin{cases}BD=PC \\∠ B=∠ C \\PB=CQ\end{cases}$
所以$△ BPD≌△ CQP$（SAS）。
(3) 因为P、Q运动速度不相等，所以$PB≠ CQ$。
结合$∠ B=∠ C$，若$△ BPD≌△ CQP$，则对应边为$BP=PC$，$BD=CQ$。
由$BC=6$ cm得$BP=PC=3$ cm，又$BD=4$ cm，所以$CQ=4$ cm。
由$BP=2t=3$，解得$t=\frac{3}{2}$ s，代入$CQ=at=4$得$\frac{3}{2}a=4$，解得$a=\frac{8}{3}$。
【答案】
(1) $PC=(6-2t)\ \mathrm{cm}$
(2) 全等，理由见解析
(3) 点Q的运动速度为$\frac{8}{3}\ \mathrm{cm/s}$
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 等腰三角形的性质
3. 动点问题计算
【点评】
本题是三角形全等与动点结合的典型习题，既考查了全等判定定理的灵活运用，也需要结合动点特征分析对应边的关系，第三问需要根据速度不等的条件对全等的对应边进行分类讨论，有助于培养逻辑推理和分类讨论的思维。
【难度系数】
0.6