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1. 阅读材料,解答下列问题.
【数学探究】
折纸是我国的传统文化,折叠的过程也是开发人类大脑智力以及逻辑思维的一个过程.数学综合实践课上,老师组织同学们开展了一次折纸探究活动.
(1)探究一:如图1,在一张长方形的纸片上任意画一条线 AB,将纸片沿 AB 折叠,重叠的部分△ABC一定是
(2)探究二:你能用一张长方形的纸片折出一个等边三角形吗?
甲小组使用长方形纸片,操作如下:如图 2,把长方形纸片 ABCD 的宽对折,然后展开,折痕记为 EF,再将点 D 翻折到 EF 上的点 M 处,且使折痕过点 A,折痕与 CD 的交点为 G,再沿 GM 折叠,折痕与 AB 的交点为 H,则△AHG 就是一个等边三角形.请你说明这样做的道理.(说明:M 是 GH 的中点,说理时可直接使用)
(3)探究三:你能用一张正方形的纸片折出一个等边三角形吗?
乙小组使用正方形纸片,操作如下:如图 3,先把正方形的纸片 ABCD 对折后再展开,折痕为 EF;再将点 A 翻折到 EF 上的点 H 处,且使折痕过点 B;最后沿 HC 折叠,得到的△HBC 就是一个等边三角形.请你说明这样做的道理.
【迁移应用】
折纸也能为我们数学学习提供解决问题的思路和方法.例如:如图 4,在△ABC 中,AB＞AC,怎样说明∠C＞∠B呢?小亮发现,利用折纸做一个轴对称变化,得到一对全等的三角形,从而可将问题解决.
(4)请画图并说明小亮的解题思路.
【数学探究】
折纸是我国的传统文化,折叠的过程也是开发人类大脑智力以及逻辑思维的一个过程.数学综合实践课上,老师组织同学们开展了一次折纸探究活动.
(1)探究一:如图1,在一张长方形的纸片上任意画一条线 AB,将纸片沿 AB 折叠,重叠的部分△ABC一定是
等腰
三角形.(2)探究二:你能用一张长方形的纸片折出一个等边三角形吗?
甲小组使用长方形纸片,操作如下:如图 2,把长方形纸片 ABCD 的宽对折,然后展开,折痕记为 EF,再将点 D 翻折到 EF 上的点 M 处,且使折痕过点 A,折痕与 CD 的交点为 G,再沿 GM 折叠,折痕与 AB 的交点为 H,则△AHG 就是一个等边三角形.请你说明这样做的道理.(说明:M 是 GH 的中点,说理时可直接使用)
(3)探究三:你能用一张正方形的纸片折出一个等边三角形吗?
乙小组使用正方形纸片,操作如下:如图 3,先把正方形的纸片 ABCD 对折后再展开,折痕为 EF;再将点 A 翻折到 EF 上的点 H 处,且使折痕过点 B;最后沿 HC 折叠,得到的△HBC 就是一个等边三角形.请你说明这样做的道理.
【迁移应用】
折纸也能为我们数学学习提供解决问题的思路和方法.例如:如图 4,在△ABC 中,AB＞AC,怎样说明∠C＞∠B呢?小亮发现,利用折纸做一个轴对称变化,得到一对全等的三角形,从而可将问题解决.
(4)请画图并说明小亮的解题思路.
答案
(1)等腰
解析:如图1
,∵将纸片沿AB折叠,
∴∠ABC=∠2.
∵AC//BD,
∴∠1=∠2,
∴∠1=∠ABC,
∴AC=BC,
∴△ABC是等腰三角形.
(2)如图2
,在△AMG和△AMH中,$\begin{cases} AM=AM, \\ ∠ AMG=∠ AMH, \\ MG=MH, \end{cases}$
∴△AMG≌△AMH(SAS),
∴AG=AH.
∵∠DAG+∠GAM+∠MAH=∠DAB=90°,
∴∠DAG=∠GAM=∠MAH=30°,
∴∠GAH=∠GAM+∠MAH=60°,
∴△AHG是一个等边三角形.
(3)由折叠的性质,得BH=AB=BC,EF为BC的垂直平分线,
∴HC=BH,
∴BH=HC=BC,
∴△HBC是等边三角形.
(4)思路:如图2
,把AC沿∠A的平分线AD翻折,∵AB＞AC,
∴点C落在AB上的点C'处,即AC'=AC,依据以上操作,可得△AC'D≌△ACD,
∴∠AC'D=∠C,又
∵∠AC'D=∠B+∠BDC',
∴∠AC'D＞∠B,
∴∠C＞∠B.
解析
【分析】
本题围绕折纸中的几何问题展开，各小问解题思路如下：(1)探究一：根据折叠前后对应角相等得到∠ABC=∠2，再结合长方形对边平行的内错角相等得∠1=∠2，等量代换后由等角对等边判断三角形形状；(2)探究二：先利用已知M是GH中点，结合公共边和相等的夹角，用SAS证△AMG和△AMH全等得AG=AH，再根据折叠对应角相等算出∠GAH=60°，即可判定等边三角形；(3)探究三：根据折叠性质得BH=AB=BC，再结合EF是BC的垂直平分线，由垂直平分线上的点到线段两端距离相等得BH=HC，得到三边相等判定等边；(4)迁移应用：要证∠C＞∠B，可通过折叠构造全等三角形，将∠C转化为三角形的外角，利用外角性质比较大小。
【解析】
(1) 如图1，
∵将纸片沿AB折叠，
∴∠ABC=∠2，
∵长方形对边AC//BD，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠ABC，
∴AC=BC，
∴△ABC是等腰三角形。
(2) 如图2，在△AMG和△AMH中，
$\begin{cases} AM=AM, \\ ∠AMG=∠AMH, \\ MG=MH, \end{cases}$
∴△AMG≌△AMH(SAS)，
∴AG=AH，
由折叠性质得∠DAG=∠GAM，
又
∵∠DAG+∠GAM+∠MAH=∠DAB=90°，
∴∠DAG=∠GAM=∠MAH=30°，
∴∠GAH=∠GAM+∠MAH=60°，
∵AG=AH且∠GAH=60°，
∴△AHG是等边三角形。
(3) 由折叠的性质得BH=AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，即BH=BC，
又
∵EF是正方形对折的折痕，即EF为BC的垂直平分线，点H在EF上，
∴HC=BH，
∴BH=HC=BC，
∴△HBC是等边三角形。
(4) 思路：如图2，作∠BAC的平分线AD，把AC沿AD翻折，
∵AB＞AC，
∴点C落在AB上的点C'处，即AC'=AC，
在△AC'D和△ACD中，$\begin{cases} AC'=AC, \\ ∠C'AD=∠CAD, \\ AD=AD, \end{cases}$
∴△AC'D≌△ACD(SAS)，
∴∠AC'D=∠C，
∵∠AC'D是△BC'D的外角，
∴∠AC'D=∠B+∠BDC'，即∠AC'D＞∠B，
∴∠C＞∠B。
【答案】
(1)等腰
解析:如图1,
∵将纸片沿AB折叠,
∴∠ABC=∠2.
∵AC//BD,
∴∠1=∠2,
∴∠1=∠ABC,
∴AC=BC,
∴△ABC是等腰三角形.
(2)如图2,在△AMG和△AMH中,
$\begin{cases} AM=AM, \\ ∠ AMG=∠ AMH, \\ MG=MH, \end{cases}$
∴△AMG≌△AMH(SAS),
∴AG=AH.
∵∠DAG+∠GAM+∠MAH=∠DAB=90°,
∴∠DAG=∠GAM=∠MAH=30°,
∴∠GAH=∠GAM+∠MAH=60°,
∴△AHG是一个等边三角形.
(3)由折叠的性质,得BH=AB=BC,EF为BC的垂直平分线,
∴HC=BH,
∴BH=HC=BC,
∴△HBC是等边三角形.
(4)思路:如图2,把AC沿∠A的平分线AD翻折,
∵AB＞AC,
∴点C落在AB上的点C'处,即AC'=AC,依据以上操作,可得△AC'D≌△ACD,
∴∠AC'D=∠C,又
∵∠AC'D=∠B+∠BDC',
∴∠AC'D＞∠B,
∴∠C＞∠B.
【知识点】
1. 折叠的性质
2. 等边三角形的判定
3. 全等三角形的判定与性质
【点评】
本题以传统折纸活动为载体，将动手操作与几何推理相结合，既考查了折叠、特殊三角形判定、全等三角形、三角形外角等核心几何知识点，又能锻炼实践能力与转化思维，充分体现了数学与生活的紧密联系。
【难度系数】
0.6
本题围绕折纸中的几何问题展开，各小问解题思路如下：(1)探究一：根据折叠前后对应角相等得到∠ABC=∠2，再结合长方形对边平行的内错角相等得∠1=∠2，等量代换后由等角对等边判断三角形形状；(2)探究二：先利用已知M是GH中点，结合公共边和相等的夹角，用SAS证△AMG和△AMH全等得AG=AH，再根据折叠对应角相等算出∠GAH=60°，即可判定等边三角形；(3)探究三：根据折叠性质得BH=AB=BC，再结合EF是BC的垂直平分线，由垂直平分线上的点到线段两端距离相等得BH=HC，得到三边相等判定等边；(4)迁移应用：要证∠C＞∠B，可通过折叠构造全等三角形，将∠C转化为三角形的外角，利用外角性质比较大小。
【解析】
(1) 如图1
，∵将纸片沿AB折叠，
∴∠ABC=∠2，
∵长方形对边AC//BD，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠ABC，
∴AC=BC，
∴△ABC是等腰三角形。
(2) 如图2
，在△AMG和△AMH中，$\begin{cases} AM=AM, \\ ∠AMG=∠AMH, \\ MG=MH, \end{cases}$
∴△AMG≌△AMH(SAS)，
∴AG=AH，
由折叠性质得∠DAG=∠GAM，
又
∵∠DAG+∠GAM+∠MAH=∠DAB=90°，
∴∠DAG=∠GAM=∠MAH=30°，
∴∠GAH=∠GAM+∠MAH=60°，
∵AG=AH且∠GAH=60°，
∴△AHG是等边三角形。
(3) 由折叠的性质得BH=AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，即BH=BC，
又
∵EF是正方形对折的折痕，即EF为BC的垂直平分线，点H在EF上，
∴HC=BH，
∴BH=HC=BC，
∴△HBC是等边三角形。
(4) 思路：如图2
，作∠BAC的平分线AD，把AC沿AD翻折，∵AB＞AC，
∴点C落在AB上的点C'处，即AC'=AC，
在△AC'D和△ACD中，$\begin{cases} AC'=AC, \\ ∠C'AD=∠CAD, \\ AD=AD, \end{cases}$
∴△AC'D≌△ACD(SAS)，
∴∠AC'D=∠C，
∵∠AC'D是△BC'D的外角，
∴∠AC'D=∠B+∠BDC'，即∠AC'D＞∠B，
∴∠C＞∠B。
【答案】
(1)等腰
解析:如图1
,∵将纸片沿AB折叠,
∴∠ABC=∠2.
∵AC//BD,
∴∠1=∠2,
∴∠1=∠ABC,
∴AC=BC,
∴△ABC是等腰三角形.
(2)如图2
,在△AMG和△AMH中,$\begin{cases} AM=AM, \\ ∠ AMG=∠ AMH, \\ MG=MH, \end{cases}$
∴△AMG≌△AMH(SAS),
∴AG=AH.
∵∠DAG+∠GAM+∠MAH=∠DAB=90°,
∴∠DAG=∠GAM=∠MAH=30°,
∴∠GAH=∠GAM+∠MAH=60°,
∴△AHG是一个等边三角形.
(3)由折叠的性质,得BH=AB=BC,EF为BC的垂直平分线,
∴HC=BH,
∴BH=HC=BC,
∴△HBC是等边三角形.
(4)思路:如图2
,把AC沿∠A的平分线AD翻折,∵AB＞AC,
∴点C落在AB上的点C'处,即AC'=AC,依据以上操作,可得△AC'D≌△ACD,
∴∠AC'D=∠C,又
∵∠AC'D=∠B+∠BDC',
∴∠AC'D＞∠B,
∴∠C＞∠B.
【知识点】
1. 折叠的性质
2. 等边三角形的判定
3. 全等三角形的判定与性质
【点评】
本题以传统折纸活动为载体，将动手操作与几何推理相结合，既考查了折叠、特殊三角形判定、全等三角形、三角形外角等核心几何知识点，又能锻炼实践能力与转化思维，充分体现了数学与生活的紧密联系。
【难度系数】
0.6
