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2. 数学活动——折纸中的探索
【背景介绍】折纸艺术中蕴含着丰富的数学原理，通过折叠纸张，我们可以折出各种几何形状，并探索其中的数学关系.
【活动材料】长方形纸张、正方形纸张、尺子、铅笔.
【问题探究】
(1)如图1,把长方形的纸张ABCD沿对角线折叠,重合部分(△BDF)是一个等腰三角形吗？为什么？
(2)如图2,①对折长方形纸张ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸张展平;②再一次折叠纸张,使点A落在EF上,并使折痕经过点B,得到折痕BM.同时,得到线段BN.求证:$∠ NBC=30°$.
(3)如图3,要求在正方形ABCD中折出一个等边三角形AMN,使点M、N分别在边BC、DC上.请画出折痕,并简要说明折叠过程.
【背景介绍】折纸艺术中蕴含着丰富的数学原理，通过折叠纸张，我们可以折出各种几何形状，并探索其中的数学关系.
【活动材料】长方形纸张、正方形纸张、尺子、铅笔.
【问题探究】
(1)如图1,把长方形的纸张ABCD沿对角线折叠,重合部分(△BDF)是一个等腰三角形吗？为什么？
(2)如图2,①对折长方形纸张ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸张展平;②再一次折叠纸张,使点A落在EF上,并使折痕经过点B,得到折痕BM.同时,得到线段BN.求证:$∠ NBC=30°$.
(3)如图3,要求在正方形ABCD中折出一个等边三角形AMN,使点M、N分别在边BC、DC上.请画出折痕,并简要说明折叠过程.
答案
(1)重合部分△BDF是等腰三角形.理由如下:
∵△BED由△BCD沿BD折叠得到,
∴△BED≌△BCD,
∴∠EBD=∠CBD.
∵AD//BC,
∴∠ADB=∠CBD,
∴∠EBD=∠ADB,
∴FB=FD,
∴重合部分△BDF是等腰三角形.
(2)证明:连接AN,由折叠可知NB=AB,EF垂直平分AB,
∴NA=NB,
∴NA=NB=AB,
∴△ABN是等边三角形,
∴∠ABN=60°.
∵∠ABC=90°,
∴∠NBC=∠ABC-∠ABN=90°-60°=30°.
(3)如图
,折叠过程如下:①对折正方形纸张ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸张展平;②折叠纸张,使点B落在EF上,并使折痕经过点A,得到折痕AH和线段AG,把纸张展平,折出30°角;③折叠纸张,使AD与AG重合,折痕交CD于点N,得到折痕AN,把纸张展平;④折叠纸张,使AB与AH重合,折痕交BC于点M,得到折痕AM,把纸张展平,折出15°角;⑤过点M、N折叠,得到折痕MN.∴△AMN就是要折叠的等边三角形.
解析
【分析】
(1) 要判断△BDF是否为等腰三角形，可通过“等角对等边”的判定方法推导：首先利用折叠的性质得到对应角相等，再结合长方形对边平行的性质得到内错角相等，等量代换得到△BDF的两个底角相等，即可判定其为等腰三角形。
(2) 要证∠NBC=30°，可先证明△ABN为等边三角形得到∠ABN=60°：由折叠性质可得AB=BN，再由EF是对折AD与BC得到的折痕，可知EF是AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质得AN=BN，进而得到△ABN三边相等，为等边三角形，结合长方形内角为90°，作差即可求出∠NBC的度数。
(3) 要折出等边三角形AMN，需保证AM=AN且∠MAN=60°：先借鉴(2)的折叠方法折出30°角，再分别折出∠BAM=∠DAN=15°，即可得到∠MAN=60°，结合正方形边长相等可证AM=AN，最终得到等边△AMN。
【解析】
(1) 重合部分△BDF是等腰三角形，理由如下：
∵△BED由△BCD沿BD折叠得到，
∴△BED≌△BCD，
∴∠EBD=∠CBD。
∵四边形ABCD是长方形，AD//BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠EBD=∠ADB，
∴FB=FD，
∴重合部分△BDF是等腰三角形。
(2) 证明：连接AN，
由折叠可知NB=AB，
∵对折长方形纸张ABCD使AD与BC重合，得到折痕EF，
∴EF垂直平分AB，
∴NA=NB，
∴NA=NB=AB，即△ABN是等边三角形，
∴∠ABN=60°。
∵长方形ABCD中∠ABC=90°，
∴∠NBC=∠ABC-∠ABN=90°-60°=30°。
(3) 操作步骤如下：
①对折正方形纸张ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸张展平；
②折叠纸张，使点B落在EF上，并使折痕经过点A，得到折痕AH和线段AG，把纸张展平，折出30°角；
③折叠纸张，使AD与AG重合，折痕交CD于点N，得到折痕AN，把纸张展平；
④折叠纸张，使AB与AH重合，折痕交BC于点M，得到折痕AM，把纸张展平，折出15°角；
⑤过点M、N折叠，得到折痕MN，此时△AMN即为所求等边三角形。
【答案】
(1)重合部分△BDF是等腰三角形.理由如下:
∵△BED由△BCD沿BD折叠得到,
∴△BED≌△BCD,
∴∠EBD=∠CBD.
∵AD//BC,
∴∠ADB=∠CBD,
∴∠EBD=∠ADB,
∴FB=FD,
∴重合部分△BDF是等腰三角形.
(2)证明:连接AN,由折叠可知NB=AB,EF垂直平分AB,
∴NA=NB,
∴NA=NB=AB,
∴△ABN是等边三角形,
∴∠ABN=60°.
∵∠ABC=90°,
∴∠NBC=∠ABC-∠ABN=90°-60°=30°.
(3)如图,折叠过程如下:①对折正方形纸张ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸张展平;②折叠纸张,使点B落在EF上,并使折痕经过点A,得到折痕AH和线段AG,把纸张展平,折出30°角;③折叠纸张,使AD与AG重合,折痕交CD于点N,得到折痕AN,把纸张展平;④折叠纸张,使AB与AH重合,折痕交BC于点M,得到折痕AM,把纸张展平,折出15°角;⑤过点M、N折叠,得到折痕MN.
∴△AMN就是要折叠的等边三角形.
【知识点】
1. 折叠的性质
2. 等腰三角形的判定
3. 等边三角形的判定与性质
【点评】
本题以折纸实践为载体，将操作探究与几何证明相结合，既考查了折叠性质、平行线性质、特殊三角形判定等核心几何知识，又锻炼了动手操作能力与逻辑推理能力，充分体现了数学的实践性与趣味性。
【难度系数】
0.6
(1) 要判断△BDF是否为等腰三角形，可通过“等角对等边”的判定方法推导：首先利用折叠的性质得到对应角相等，再结合长方形对边平行的性质得到内错角相等，等量代换得到△BDF的两个底角相等，即可判定其为等腰三角形。
(2) 要证∠NBC=30°，可先证明△ABN为等边三角形得到∠ABN=60°：由折叠性质可得AB=BN，再由EF是对折AD与BC得到的折痕，可知EF是AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质得AN=BN，进而得到△ABN三边相等，为等边三角形，结合长方形内角为90°，作差即可求出∠NBC的度数。
(3) 要折出等边三角形AMN，需保证AM=AN且∠MAN=60°：先借鉴(2)的折叠方法折出30°角，再分别折出∠BAM=∠DAN=15°，即可得到∠MAN=60°，结合正方形边长相等可证AM=AN，最终得到等边△AMN。
【解析】
(1) 重合部分△BDF是等腰三角形，理由如下：
∵△BED由△BCD沿BD折叠得到，
∴△BED≌△BCD，
∴∠EBD=∠CBD。
∵四边形ABCD是长方形，AD//BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠EBD=∠ADB，
∴FB=FD，
∴重合部分△BDF是等腰三角形。
(2) 证明：连接AN，
由折叠可知NB=AB，
∵对折长方形纸张ABCD使AD与BC重合，得到折痕EF，
∴EF垂直平分AB，
∴NA=NB，
∴NA=NB=AB，即△ABN是等边三角形，
∴∠ABN=60°。
∵长方形ABCD中∠ABC=90°，
∴∠NBC=∠ABC-∠ABN=90°-60°=30°。
(3) 操作步骤如下：
①对折正方形纸张ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸张展平；
②折叠纸张，使点B落在EF上，并使折痕经过点A，得到折痕AH和线段AG，把纸张展平，折出30°角；
③折叠纸张，使AD与AG重合，折痕交CD于点N，得到折痕AN，把纸张展平；
④折叠纸张，使AB与AH重合，折痕交BC于点M，得到折痕AM，把纸张展平，折出15°角；
⑤过点M、N折叠，得到折痕MN，此时△AMN即为所求等边三角形。
【答案】
(1)重合部分△BDF是等腰三角形.理由如下:
∵△BED由△BCD沿BD折叠得到,
∴△BED≌△BCD,
∴∠EBD=∠CBD.
∵AD//BC,
∴∠ADB=∠CBD,
∴∠EBD=∠ADB,
∴FB=FD,
∴重合部分△BDF是等腰三角形.
(2)证明:连接AN,由折叠可知NB=AB,EF垂直平分AB,
∴NA=NB,
∴NA=NB=AB,
∴△ABN是等边三角形,
∴∠ABN=60°.
∵∠ABC=90°,
∴∠NBC=∠ABC-∠ABN=90°-60°=30°.
(3)如图
,折叠过程如下:①对折正方形纸张ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸张展平;②折叠纸张,使点B落在EF上,并使折痕经过点A,得到折痕AH和线段AG,把纸张展平,折出30°角;③折叠纸张,使AD与AG重合,折痕交CD于点N,得到折痕AN,把纸张展平;④折叠纸张,使AB与AH重合,折痕交BC于点M,得到折痕AM,把纸张展平,折出15°角;⑤过点M、N折叠,得到折痕MN.∴△AMN就是要折叠的等边三角形.
【知识点】
1. 折叠的性质
2. 等腰三角形的判定
3. 等边三角形的判定与性质
【点评】
本题以折纸实践为载体，将操作探究与几何证明相结合，既考查了折叠性质、平行线性质、特殊三角形判定等核心几何知识，又锻炼了动手操作能力与逻辑推理能力，充分体现了数学的实践性与趣味性。
【难度系数】
0.6
