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1.(2025·惠山区期末)以下列各组数据为边长,能构成三角形的是 (
A.3,4,5
B.4,4,8
C.3,10,4
D.4,5,10
A
)A.3,4,5
B.4,4,8
C.3,10,4
D.4,5,10
答案
1.A
解析
【分析】
要判断给定的三边长能否构成三角形，核心依据是三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。为了提升解题效率，可使用简便判断方法：先将三个边长按从小到大的顺序排列，仅计算较短两个边长的和，再和最长边比较，若较短两边的和大于最长边，即可构成三角形，否则不能，无需验证三组两边之和，能节省计算时间，接下来用该方法逐一验证选项即可。
【解析】
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，简便判断规则：将三边从小到大排序，若较短两边之和大于最长边，则可构成三角形，对各选项逐一分析：
A. 三边从小到大排列为3，4，5，$3+4=7＞5$，满足三边关系，能构成三角形；
B. 三边从小到大排列为4，4，8，$4+4=8$，等于第三边，不满足三边关系，不能构成三角形；
C. 三边从小到大排列为3，4，10，$3+4=7＜10$，不满足三边关系，不能构成三角形；
D. 三边从小到大排列为4，5，10，$4+5=9＜10$，不满足三边关系，不能构成三角形。
综上，符合要求的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形板块的基础常考题，核心考查三角形三边关系的理解与运用，采用较短两边之和与最长边比较的技巧可快速得出结果，有效减少计算量。
【难度系数】
0.9
要判断给定的三边长能否构成三角形，核心依据是三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。为了提升解题效率，可使用简便判断方法：先将三个边长按从小到大的顺序排列，仅计算较短两个边长的和，再和最长边比较，若较短两边的和大于最长边，即可构成三角形，否则不能，无需验证三组两边之和，能节省计算时间，接下来用该方法逐一验证选项即可。
【解析】
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，简便判断规则：将三边从小到大排序，若较短两边之和大于最长边，则可构成三角形，对各选项逐一分析：
A. 三边从小到大排列为3，4，5，$3+4=7＞5$，满足三边关系，能构成三角形；
B. 三边从小到大排列为4，4，8，$4+4=8$，等于第三边，不满足三边关系，不能构成三角形；
C. 三边从小到大排列为3，4，10，$3+4=7＜10$，不满足三边关系，不能构成三角形；
D. 三边从小到大排列为4，5，10，$4+5=9＜10$，不满足三边关系，不能构成三角形。
综上，符合要求的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形板块的基础常考题，核心考查三角形三边关系的理解与运用，采用较短两边之和与最长边比较的技巧可快速得出结果，有效减少计算量。
【难度系数】
0.9
2. 如图，$∠ ABC=∠ DCB$，添加以下条件，不能判定$△ ABC≌△ DCB$的是 （
A.$AB=DC$
B.$BE=CE$
C.$AC=DB$
D.$∠ A=∠ D$
C
）A.$AB=DC$
B.$BE=CE$
C.$AC=DB$
D.$∠ A=∠ D$
答案
2.C
解析
【分析】
本题考查全等三角形的判定，解题思路如下：首先明确△ABC和△DCB的已知条件：∠ABC=∠DCB，且BC是两个三角形的公共边，即BC=CB。接下来结合全等三角形的判定定理（SAS、ASA、AAS、SSS），逐一分析每个选项添加的条件能否判定两三角形全等，注意SSA不能作为全等的判定依据，据此选出符合要求的选项。
【解析】
已知在△ABC和△DCB中，∠ABC=∠DCB，BC=CB（公共边）：
1. 添加A选项条件$AB=DC$：两边及其夹角对应相等，满足SAS判定定理，可判定$△ABC≌△DCB$，不符合题意；
2. 添加B选项条件$BE=CE$：根据等边对等角可得$∠EBC=∠ECB$，即$∠ACB=∠DBC$，此时两角及其夹边对应相等，满足ASA判定定理，可判定$△ABC≌△DCB$，不符合题意；
3. 添加C选项条件$AC=DB$：此时为两边及其中一边的对角对应相等（SSA），SSA无法判定三角形全等，符合题意；
4. 添加D选项条件$∠A=∠D$：两角及其中一角的对边对应相等，满足AAS判定定理，可判定$△ABC≌△DCB$，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定，等腰三角形的性质，公共边的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查全等三角形判定定理的应用，需要学生熟练掌握四种常用的全等判定方法，牢记SSA不能判定三角形全等，解题时结合已知条件逐一验证选项即可。
【难度系数】
0.8
本题考查全等三角形的判定，解题思路如下：首先明确△ABC和△DCB的已知条件：∠ABC=∠DCB，且BC是两个三角形的公共边，即BC=CB。接下来结合全等三角形的判定定理（SAS、ASA、AAS、SSS），逐一分析每个选项添加的条件能否判定两三角形全等，注意SSA不能作为全等的判定依据，据此选出符合要求的选项。
【解析】
已知在△ABC和△DCB中，∠ABC=∠DCB，BC=CB（公共边）：
1. 添加A选项条件$AB=DC$：两边及其夹角对应相等，满足SAS判定定理，可判定$△ABC≌△DCB$，不符合题意；
2. 添加B选项条件$BE=CE$：根据等边对等角可得$∠EBC=∠ECB$，即$∠ACB=∠DBC$，此时两角及其夹边对应相等，满足ASA判定定理，可判定$△ABC≌△DCB$，不符合题意；
3. 添加C选项条件$AC=DB$：此时为两边及其中一边的对角对应相等（SSA），SSA无法判定三角形全等，符合题意；
4. 添加D选项条件$∠A=∠D$：两角及其中一角的对边对应相等，满足AAS判定定理，可判定$△ABC≌△DCB$，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定，等腰三角形的性质，公共边的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查全等三角形判定定理的应用，需要学生熟练掌握四种常用的全等判定方法，牢记SSA不能判定三角形全等，解题时结合已知条件逐一验证选项即可。
【难度系数】
0.8
3.(2025·威海)我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”.在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O.下列条件中,不能判断四边形ABCD是筝形的是
（
A.$BO=DO,AC⊥BD$
B.$∠DAC=∠BAC,AD=AB$
C.$∠DAC=∠BAC,∠DCA=∠BCA$
D.$∠ADC=∠ABC,BO=DO$
（
D
）A.$BO=DO,AC⊥BD$
B.$∠DAC=∠BAC,AD=AB$
C.$∠DAC=∠BAC,∠DCA=∠BCA$
D.$∠ADC=∠ABC,BO=DO$
答案
3.D
解析
【分析】
解题时首先明确“筝形”的定义：两组邻边分别相等的四边形，要判断四边形是否为筝形，核心是推导是否满足$AB=AD$、$CB=CD$这两组邻边相等的条件。接下来逐个分析选项，结合垂直平分线的性质、全等三角形的判定定理，判断每个选项能否推出两组邻边相等即可。
【解析】
首先明确筝形的判定要求：四边形有两组邻边分别相等，即需证$AB=AD$且$CB=CD$。
选项A：已知$BO=DO$，$AC⊥ BD$，说明AC是线段BD的垂直平分线。根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得点A到B、D的距离相等，即$AB=AD$；点C到B、D的距离相等，即$CB=CD$，满足筝形定义，可判定，不符合题意。
选项B：在$△ ADC$和$△ ABC$中，$\begin{cases}AD=AB\\∠ DAC=∠ BAC\\AC=AC\end{cases}$，根据SAS可证$△ ADC≌△ ABC$，因此$CD=CB$，结合$AD=AB$，满足两组邻边相等，可判定为筝形，不符合题意。
选项C：在$△ ADC$和$△ ABC$中，$\begin{cases}∠ DAC=∠ BAC\\AC=AC\\∠ DCA=∠ BCA\end{cases}$，根据ASA可证$△ ADC≌△ ABC$，因此$AD=AB$，$CD=CB$，满足两组邻边相等，可判定为筝形，不符合题意。
选项D：已知$∠ ADC=∠ ABC$，$BO=DO$，缺少全等三角形判定的其他条件，无法证明$△ ADC≌△ ABC$，也无法推导得到$AB=AD$、$CB=CD$的结论，不能判定四边形ABCD是筝形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的判定；垂直平分线的性质；新定义理解
【点评】
本题以新定义“筝形”为载体，考查对全等三角形判定定理、线段垂直平分线性质的运用能力，解题关键是紧扣筝形的判定要求，结合已知条件推导边的相等关系，需熟练掌握全等三角形的判定定理，避免混淆判定条件。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确“筝形”的定义：两组邻边分别相等的四边形，要判断四边形是否为筝形，核心是推导是否满足$AB=AD$、$CB=CD$这两组邻边相等的条件。接下来逐个分析选项，结合垂直平分线的性质、全等三角形的判定定理，判断每个选项能否推出两组邻边相等即可。
【解析】
首先明确筝形的判定要求：四边形有两组邻边分别相等，即需证$AB=AD$且$CB=CD$。
选项A：已知$BO=DO$，$AC⊥ BD$，说明AC是线段BD的垂直平分线。根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得点A到B、D的距离相等，即$AB=AD$；点C到B、D的距离相等，即$CB=CD$，满足筝形定义，可判定，不符合题意。
选项B：在$△ ADC$和$△ ABC$中，$\begin{cases}AD=AB\\∠ DAC=∠ BAC\\AC=AC\end{cases}$，根据SAS可证$△ ADC≌△ ABC$，因此$CD=CB$，结合$AD=AB$，满足两组邻边相等，可判定为筝形，不符合题意。
选项C：在$△ ADC$和$△ ABC$中，$\begin{cases}∠ DAC=∠ BAC\\AC=AC\\∠ DCA=∠ BCA\end{cases}$，根据ASA可证$△ ADC≌△ ABC$，因此$AD=AB$，$CD=CB$，满足两组邻边相等，可判定为筝形，不符合题意。
选项D：已知$∠ ADC=∠ ABC$，$BO=DO$，缺少全等三角形判定的其他条件，无法证明$△ ADC≌△ ABC$，也无法推导得到$AB=AD$、$CB=CD$的结论，不能判定四边形ABCD是筝形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的判定；垂直平分线的性质；新定义理解
【点评】
本题以新定义“筝形”为载体，考查对全等三角形判定定理、线段垂直平分线性质的运用能力，解题关键是紧扣筝形的判定要求，结合已知条件推导边的相等关系，需熟练掌握全等三角形的判定定理，避免混淆判定条件。
【难度系数】
0.7
4.(2025·威海)如图，$△ ABC$的中线$BE$，$CD$交于点$F$，连接$DE$.下列结论错误的是（
A.$S_{△ DEF}=\dfrac{1}{4}S_{△ BCF}$
B.$S_{△ ADE}=\dfrac{1}{2}S_{\mathrm{四边形}BCED}$
C.$S_{△ DBF}=\dfrac{1}{2}S_{△ BCF}$
D.$S_{△ ADC}=S_{△ AEB}$
B
）A.$S_{△ DEF}=\dfrac{1}{4}S_{△ BCF}$
B.$S_{△ ADE}=\dfrac{1}{2}S_{\mathrm{四边形}BCED}$
C.$S_{△ DBF}=\dfrac{1}{2}S_{△ BCF}$
D.$S_{△ ADC}=S_{△ AEB}$
答案
4.B
解析
【分析】
首先根据题目给出的BE、CD是△ABC的中线，可得出D、E分别是AB、AC的中点，因此DE是△ABC的中位线，结合中位线性质可得DE平行BC且长度为BC的一半，同时交点F是三角形的重心，重心分中线的比为2:1。接下来结合三角形面积与底、高的比例关系，逐一分析每个选项的结论是否成立即可。
【解析】
解：
∵BE、CD是△ABC的中线，
∴D为AB中点，E为AC中点，
∴DE是△ABC的中位线，点F是△ABC的重心，
∴DE//BC，$DE=\frac{1}{2}BC$，重心分中线的比为$DF:FC=1:2$，$BF:FE=2:1$。
选项A：△DEF和△BCF中，DE//BC，两三角形的高之比等于DE与BC的比$1:2$，底之比$DE:BC=1:2$，因此面积比为$(1×1):(2×2)=1:4$，即$S_{△ DEF}=\dfrac{1}{4}S_{△ BCF}$，结论正确，不符合题意。
选项B：△ADE的底$AD=\frac{1}{2}AB$，高为△ABC对应高的$\frac{1}{2}$，因此$S_{△ADE}=\frac{1}{4}S_{△ABC}$，$S_{四边形BCED}=S_{△ABC}-S_{△ADE}=\frac{3}{4}S_{△ABC}$，可得$S_{△ADE}=\frac{1}{3}S_{四边形BCED}≠\frac{1}{2}S_{四边形BCED}$，结论错误，符合题意。
选项C：△DBF和△BCF同高（公共高为点B到线段CD的垂线段长度），底之比$DF:FC=1:2$，因此面积比为$1:2$，即$S_{△ DBF}=\dfrac{1}{2}S_{△ BCF}$，结论正确，不符合题意。
选项D：CD是△ABC的中线，中线分三角形为面积相等的两部分，故$S_{△ADC}=\frac{1}{2}S_{△ABC}$；同理BE是中线，$S_{△AEB}=\frac{1}{2}S_{△ABC}$，因此$S_{△ ADC}=S_{△ AEB}$，结论正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线定理；三角形重心的性质；三角形面积计算
【点评】
本题综合考查三角形中线、中位线的性质及三角形面积的比例关系，解题的核心是利用同高（同底）三角形的面积比等于对应底（高）的比这一规律，逐一验证选项，属于几何基础综合题，侧重对性质的灵活运用考查。
【难度系数】
0.7
首先根据题目给出的BE、CD是△ABC的中线，可得出D、E分别是AB、AC的中点，因此DE是△ABC的中位线，结合中位线性质可得DE平行BC且长度为BC的一半，同时交点F是三角形的重心，重心分中线的比为2:1。接下来结合三角形面积与底、高的比例关系，逐一分析每个选项的结论是否成立即可。
【解析】
解：
∵BE、CD是△ABC的中线，
∴D为AB中点，E为AC中点，
∴DE是△ABC的中位线，点F是△ABC的重心，
∴DE//BC，$DE=\frac{1}{2}BC$，重心分中线的比为$DF:FC=1:2$，$BF:FE=2:1$。
选项A：△DEF和△BCF中，DE//BC，两三角形的高之比等于DE与BC的比$1:2$，底之比$DE:BC=1:2$，因此面积比为$(1×1):(2×2)=1:4$，即$S_{△ DEF}=\dfrac{1}{4}S_{△ BCF}$，结论正确，不符合题意。
选项B：△ADE的底$AD=\frac{1}{2}AB$，高为△ABC对应高的$\frac{1}{2}$，因此$S_{△ADE}=\frac{1}{4}S_{△ABC}$，$S_{四边形BCED}=S_{△ABC}-S_{△ADE}=\frac{3}{4}S_{△ABC}$，可得$S_{△ADE}=\frac{1}{3}S_{四边形BCED}≠\frac{1}{2}S_{四边形BCED}$，结论错误，符合题意。
选项C：△DBF和△BCF同高（公共高为点B到线段CD的垂线段长度），底之比$DF:FC=1:2$，因此面积比为$1:2$，即$S_{△ DBF}=\dfrac{1}{2}S_{△ BCF}$，结论正确，不符合题意。
选项D：CD是△ABC的中线，中线分三角形为面积相等的两部分，故$S_{△ADC}=\frac{1}{2}S_{△ABC}$；同理BE是中线，$S_{△AEB}=\frac{1}{2}S_{△ABC}$，因此$S_{△ ADC}=S_{△ AEB}$，结论正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线定理；三角形重心的性质；三角形面积计算
【点评】
本题综合考查三角形中线、中位线的性质及三角形面积的比例关系，解题的核心是利用同高（同底）三角形的面积比等于对应底（高）的比这一规律，逐一验证选项，属于几何基础综合题，侧重对性质的灵活运用考查。
【难度系数】
0.7
二、填空题
5.(2025·东台月考)等腰三角形的一个内角是$70°$,则它的顶角是
5.(2025·东台月考)等腰三角形的一个内角是$70°$,则它的顶角是
40°或70°
.答案
5.40°或70°
解析
【分析】
等腰三角形的两个底角相等，且三角形内角和为180°。题目仅给出一个内角是70°，未明确该角是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论求解，最后验证两种情况是否都满足三角形内角和要求即可。首先考虑已知角为顶角的情况，可直接得到顶角度数；再考虑已知角为底角的情况，结合内角和公式计算顶角的度数。
【解析】
解：已知等腰三角形的一个内角为70°，分两种情况讨论：
① 若70°的角为顶角，则顶角的度数就是70°；
② 若70°的角为底角，根据等腰三角形两底角相等的性质，可得顶角度数为：
$180° - 70° × 2 = 180° - 140° = 40°$
两种情况均符合三角形内角和定理，因此该等腰三角形的顶角为40°或70°。
【答案】
$40°$或$70°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是易错题，解题核心是明确未指明类型的等腰三角形内角，要分是顶角、是底角两种情况讨论，避免漏解，同时所得结果要符合三角形内角和的要求。
【难度系数】
0.7
等腰三角形的两个底角相等，且三角形内角和为180°。题目仅给出一个内角是70°，未明确该角是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论求解，最后验证两种情况是否都满足三角形内角和要求即可。首先考虑已知角为顶角的情况，可直接得到顶角度数；再考虑已知角为底角的情况，结合内角和公式计算顶角的度数。
【解析】
解：已知等腰三角形的一个内角为70°，分两种情况讨论：
① 若70°的角为顶角，则顶角的度数就是70°；
② 若70°的角为底角，根据等腰三角形两底角相等的性质，可得顶角度数为：
$180° - 70° × 2 = 180° - 140° = 40°$
两种情况均符合三角形内角和定理，因此该等腰三角形的顶角为40°或70°。
【答案】
$40°$或$70°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是易错题，解题核心是明确未指明类型的等腰三角形内角，要分是顶角、是底角两种情况讨论，避免漏解，同时所得结果要符合三角形内角和的要求。
【难度系数】
0.7
6. 如图，在$△ ABC$中，$BC$的垂直平分线分别交$AB$，$BC$于点$D$，$E$，若$△ ACD$的周长为$10\ \mathrm{cm}$，$AC=3\ \mathrm{cm}$，则$AB=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$.
答案
6.7
解析
【分析】
解题时首先观察图形，已知DE是BC的垂直平分线，首先想到线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，由此可得DB=DC。再结合△ACD的周长条件，将周长中的CD等量替换为DB，就可以把△ACD的周长转化为AC与AB的长度和，最后代入已知AC的长度即可求出AB的长度。
【解析】
∵ DE是BC的垂直平分线，点D在DE上
∴ DB = DC（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）
∵ △ACD的周长为10cm
∴ AC + AD + CD = 10cm
将CD替换为DB，可得：AC + AD + DB = 10cm，即 AC + AB = 10cm
又
∵ AC = 3cm
∴ AB = 10 - AC = 10 - 3 = 7cm
【答案】
7
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题是基础类题型，解题的核心是利用线段垂直平分线的性质完成线段的等量转化，从而建立已知条件和未知量之间的关系，是垂直平分线性质应用的典型考题。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察图形，已知DE是BC的垂直平分线，首先想到线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，由此可得DB=DC。再结合△ACD的周长条件，将周长中的CD等量替换为DB，就可以把△ACD的周长转化为AC与AB的长度和，最后代入已知AC的长度即可求出AB的长度。
【解析】
∵ DE是BC的垂直平分线，点D在DE上
∴ DB = DC（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）
∵ △ACD的周长为10cm
∴ AC + AD + CD = 10cm
将CD替换为DB，可得：AC + AD + DB = 10cm，即 AC + AB = 10cm
又
∵ AC = 3cm
∴ AB = 10 - AC = 10 - 3 = 7cm
【答案】
7
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题是基础类题型，解题的核心是利用线段垂直平分线的性质完成线段的等量转化，从而建立已知条件和未知量之间的关系，是垂直平分线性质应用的典型考题。
【难度系数】
0.8
7.(2025·盐城月考)如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AD$平分$∠ CAB$,$BC=8\ \mathrm{cm}$,$BD=5\ \mathrm{cm}$,那么点$D$到线段$AB$的距离是$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}$.
答案
7.3
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：AD是∠CAB的角平分线，∠C=90°，要求点D到AB的距离。首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。点D在角平分线AD上，因此D到AC的距离和D到AB的距离相等，其中D到AC的距离就是线段CD的长度（因为∠C为直角，DC⊥AC）。接下来只需先计算CD的长度，即可得到所求距离，已知BC和BD的长度，用BC减BD就能求出CD。
【解析】
解：过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的长度即为点D到AB的距离。
∵ BC=8cm，BD=5cm，
∴ CD = BC - BD = 8 - 5 = 3cm，
∵ AD平分∠CAB，∠C=90°（即DC⊥AC），DE⊥AB，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴ DE = CD = 3cm。
【答案】
3
【知识点】
角平分线的性质
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是熟练运用角平分线的性质，将未知的点到直线的距离转化为可直接计算的线段CD的长度，解题逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件：AD是∠CAB的角平分线，∠C=90°，要求点D到AB的距离。首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。点D在角平分线AD上，因此D到AC的距离和D到AB的距离相等，其中D到AC的距离就是线段CD的长度（因为∠C为直角，DC⊥AC）。接下来只需先计算CD的长度，即可得到所求距离，已知BC和BD的长度，用BC减BD就能求出CD。
【解析】
解：过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的长度即为点D到AB的距离。
∵ BC=8cm，BD=5cm，
∴ CD = BC - BD = 8 - 5 = 3cm，
∵ AD平分∠CAB，∠C=90°（即DC⊥AC），DE⊥AB，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴ DE = CD = 3cm。
【答案】
3
【知识点】
角平分线的性质
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是熟练运用角平分线的性质，将未知的点到直线的距离转化为可直接计算的线段CD的长度，解题逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
8. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC$与$∠ ACB$的平分线交于点$O$,过点$O$作$DE // BC$,分别交于$AB$,$AC$于点$D$,$E$.若$AB=7$,$AC=5$,则$△ ADE$的周长是________.
答案
8.12
解析
【分析】
解题时先结合已知条件找特征：题目同时给出角平分线和平行线，这一组合通常可推导得出等腰三角形。首先利用角平分线的性质得到相等的角，再由平行线的性质得到相等的内错角，通过等量代换可证得△DBO和△EOC为等腰三角形，得到相等的线段，最后将△ADE的周长做等量转换，即可用已知的AB、AC长度求解。
【解析】
解：
∵BO平分∠ABC，
∴∠DBO=∠CBO，
∵DE//BC，
∴∠DOB=∠CBO（两直线平行，内错角相等），
∴∠DBO=∠DOB，
∴DB=DO（等角对等边），
同理可得：EO=EC。
△ADE的周长 = AD + DE + AE = AD + DO + OE + AE，
将DO=DB、OE=EC代入得：
周长 = AD + DB + EC + AE = (AD+DB) + (AE+EC) = AB + AC，
已知AB=7，AC=5，因此△ADE的周长=7+5=12。
【答案】
12
【知识点】
角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题是三角形章节的典型常考题，核心是通过角的等量关系转化得到线段相等关系，进而将未知周长转化为已知边长的和，解题关键是熟练掌握角平分线、平行线、等腰三角形的相关性质，灵活做等量代换。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知条件找特征：题目同时给出角平分线和平行线，这一组合通常可推导得出等腰三角形。首先利用角平分线的性质得到相等的角，再由平行线的性质得到相等的内错角，通过等量代换可证得△DBO和△EOC为等腰三角形，得到相等的线段，最后将△ADE的周长做等量转换，即可用已知的AB、AC长度求解。
【解析】
解：
∵BO平分∠ABC，
∴∠DBO=∠CBO，
∵DE//BC，
∴∠DOB=∠CBO（两直线平行，内错角相等），
∴∠DBO=∠DOB，
∴DB=DO（等角对等边），
同理可得：EO=EC。
△ADE的周长 = AD + DE + AE = AD + DO + OE + AE，
将DO=DB、OE=EC代入得：
周长 = AD + DB + EC + AE = (AD+DB) + (AE+EC) = AB + AC，
已知AB=7，AC=5，因此△ADE的周长=7+5=12。
【答案】
12
【知识点】
角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题是三角形章节的典型常考题，核心是通过角的等量关系转化得到线段相等关系，进而将未知周长转化为已知边长的和，解题关键是熟练掌握角平分线、平行线、等腰三角形的相关性质，灵活做等量代换。
【难度系数】
0.7
9. 如图，P是∠AOB的平分线上的一点，∠AOB=60°，PD⊥OA，M是OP的中点，C是OB上的一个动点，若PC的最小值为3 cm，则MD的长度为
3
cm.答案
9.3
解析
【分析】
解题时首先明确点到直线的距离垂线段最短，由此确定PC取最小值时的位置是PC⊥OB；再利用角平分线上的点到角两边距离相等，得到PD和最小PC的长度关系；接着结合角平分线定义求出∠AOP的度数，利用直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质求出OP的长度；最后根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，即可求出MD的长度。
【解析】
1. 确定PC最小值的对应情况：
根据点到直线的距离垂线段最短，当PC⊥OB时，PC取得最小值，此时PC=3cm。
2. 利用角平分线性质求PD：
∵OP是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PC⊥OB，
∴PD=PC=3cm（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
3. 求OP的长度：
∵OP平分∠AOB，∠AOB=60°，
∴∠AOP=½∠AOB=30°。
在Rt△ODP中，∠PDO=90°，∠DOP=30°，
∴PD=½OP（直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半），
∴OP=2PD=2×3=6cm。
4. 求MD的长度：
∵M是OP的中点，△ODP为直角三角形，
∴MD=½OP（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
∴MD=½×6=3cm。
【答案】
3
【知识点】
角平分线的性质；直角三角形的性质；垂线段最短
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是先结合垂线段最短确定PC的最小值对应的位置，再依次运用角平分线性质、直角三角形的特殊性质推导计算，熟练掌握基础几何性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确点到直线的距离垂线段最短，由此确定PC取最小值时的位置是PC⊥OB；再利用角平分线上的点到角两边距离相等，得到PD和最小PC的长度关系；接着结合角平分线定义求出∠AOP的度数，利用直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质求出OP的长度；最后根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，即可求出MD的长度。
【解析】
1. 确定PC最小值的对应情况：
根据点到直线的距离垂线段最短，当PC⊥OB时，PC取得最小值，此时PC=3cm。
2. 利用角平分线性质求PD：
∵OP是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PC⊥OB，
∴PD=PC=3cm（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
3. 求OP的长度：
∵OP平分∠AOB，∠AOB=60°，
∴∠AOP=½∠AOB=30°。
在Rt△ODP中，∠PDO=90°，∠DOP=30°，
∴PD=½OP（直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半），
∴OP=2PD=2×3=6cm。
4. 求MD的长度：
∵M是OP的中点，△ODP为直角三角形，
∴MD=½OP（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
∴MD=½×6=3cm。
【答案】
3
【知识点】
角平分线的性质；直角三角形的性质；垂线段最短
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是先结合垂线段最短确定PC的最小值对应的位置，再依次运用角平分线性质、直角三角形的特殊性质推导计算，熟练掌握基础几何性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
