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【典例1】已知$a＞0,b＞0,a+b=1$,求证:
(1)$a^2 + b^2 ≥ \frac{1}{2}$;
(2)(一题多解)$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{ab} ≥ 8$.
解题指导 (1)第1步:由$a+b=1,\frac{a+b}{2} ≥ \sqrt{ab}$,求得$ab$的取值范围.
第2步:化简$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab = 1 - 2ab$,根据上述$ab$的取值范围求解.
(2)方法1:将$a+b=1$代入$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{ab}$,化简即可.
方法2:将$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{ab}$通分,并将$a+b=1$代入,即将代数式化为只含$ab$项的式子,进而根据$ab$的取值范围求解.
答案 证明:(1)因为$a＞0,b＞0,a+b=1$,
所以$\sqrt{ab} ≤ \frac{a+b}{2} = \frac{1}{2}$,当且仅当$a = b = \frac{1}{2}$时,
等号成立,所以$ab ≤ \frac{1}{4}$,所以$-2ab ≥ -\frac{1}{2}$,
所以$1 - 2ab ≥ \frac{1}{2}$.
又因为$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 1$,
所以$a^2 + b^2 = 1 - 2ab ≥ \frac{1}{2}$.
(2)(一题多解)方法1:因为$a＞0,b＞0,a+b=1$,所以$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{ab} = \frac{a+b}{a} + \frac{a+b}{b} + \frac{a+b}{ab} = \underbrace{\mathrm{“1”的代换.}}_{}$
$2 + \frac{b}{a} + \frac{a}{b} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 2 + \frac{b}{a} + \frac{a}{b} + \frac{a+b}{a} + \frac{a+b}{b} =$
$2(\frac{b}{a} + \frac{a}{b}) + 4 ≥ 2 × 2\sqrt{\frac{b}{a} · \frac{a}{b}} + 4 = 8$,当且仅当
$\frac{b}{a} = \frac{a}{b}$,即$a = b = \frac{1}{2}$时,等号成立,所以$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{ab} ≥ 8$.
方法2:由$a＞0,b＞0,a+b=1$,得$ab ≤ \frac{1}{4}$,当且仅当$a = b = \frac{1}{2}$时,等号成立,所以$\frac{1}{ab} ≥ 4$,
所以$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{ab} = \frac{a+b+1}{ab} = \frac{2}{ab} ≥ 8$.
(1)$a^2 + b^2 ≥ \frac{1}{2}$;
(2)(一题多解)$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{ab} ≥ 8$.
解题指导 (1)第1步:由$a+b=1,\frac{a+b}{2} ≥ \sqrt{ab}$,求得$ab$的取值范围.
第2步:化简$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab = 1 - 2ab$,根据上述$ab$的取值范围求解.
(2)方法1:将$a+b=1$代入$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{ab}$,化简即可.
方法2:将$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{ab}$通分,并将$a+b=1$代入,即将代数式化为只含$ab$项的式子,进而根据$ab$的取值范围求解.
答案 证明:(1)因为$a＞0,b＞0,a+b=1$,
所以$\sqrt{ab} ≤ \frac{a+b}{2} = \frac{1}{2}$,当且仅当$a = b = \frac{1}{2}$时,
等号成立,所以$ab ≤ \frac{1}{4}$,所以$-2ab ≥ -\frac{1}{2}$,
所以$1 - 2ab ≥ \frac{1}{2}$.
又因为$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 1$,
所以$a^2 + b^2 = 1 - 2ab ≥ \frac{1}{2}$.
(2)(一题多解)方法1:因为$a＞0,b＞0,a+b=1$,所以$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{ab} = \frac{a+b}{a} + \frac{a+b}{b} + \frac{a+b}{ab} = \underbrace{\mathrm{“1”的代换.}}_{}$
$2 + \frac{b}{a} + \frac{a}{b} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 2 + \frac{b}{a} + \frac{a}{b} + \frac{a+b}{a} + \frac{a+b}{b} =$
$2(\frac{b}{a} + \frac{a}{b}) + 4 ≥ 2 × 2\sqrt{\frac{b}{a} · \frac{a}{b}} + 4 = 8$,当且仅当
$\frac{b}{a} = \frac{a}{b}$,即$a = b = \frac{1}{2}$时,等号成立,所以$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{ab} ≥ 8$.
方法2:由$a＞0,b＞0,a+b=1$,得$ab ≤ \frac{1}{4}$,当且仅当$a = b = \frac{1}{2}$时,等号成立,所以$\frac{1}{ab} ≥ 4$,
所以$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{ab} = \frac{a+b+1}{ab} = \frac{2}{ab} ≥ 8$.
答案
证明：
(1)
因为$a＞0$，$b＞0$，$a+b=1$，
由基本不等式得$\sqrt{ab} ≤ \frac{a+b}{2} = \frac{1}{2}$，当且仅当$a=b=\frac{1}{2}$时等号成立，
两边平方得$ab ≤ \frac{1}{4}$，
因此$-2ab ≥ -\frac{1}{2}$，
又$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 1$，
故$a^2 + b^2 = 1 - 2ab ≥ 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$，
即$a^2 + b^2 ≥ \frac{1}{2}$得证。
(2)
方法1：
因为$a＞0$，$b＞0$，$a+b=1$，将1代换为$a+b$得：
$\begin{aligned}\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{ab} &= \frac{a+b}{a} + \frac{a+b}{b} + \frac{a+b}{ab}\\&= 2 + \frac{b}{a} + \frac{a}{b} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b}\\&= 2 + \frac{b}{a} + \frac{a}{b} + \frac{a+b}{a} + \frac{a+b}{b}\\&= 2(\frac{b}{a} + \frac{a}{b}) + 4\end{aligned}$
由基本不等式，$\frac{b}{a} + \frac{a}{b} ≥ 2\sqrt{\frac{b}{a} · \frac{a}{b}} = 2$，当且仅当$\frac{b}{a}=\frac{a}{b}$即$a=b=\frac{1}{2}$时等号成立，
因此$2(\frac{b}{a} + \frac{a}{b}) + 4 ≥ 2×2 + 4 = 8$，
即$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{ab} ≥ 8$得证。
方法2：
因为$a＞0$，$b＞0$，$a+b=1$，
由基本不等式得$\sqrt{ab} ≤ \frac{a+b}{2} = \frac{1}{2}$，即$ab ≤ \frac{1}{4}$，当且仅当$a=b=\frac{1}{2}$时等号成立，
故$\frac{1}{ab} ≥ 4$，
将左侧通分变形：
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{ab} = \frac{a+b+1}{ab}$
代入$a+b=1$得$\frac{a+b+1}{ab} = \frac{2}{ab}$，
因此$\frac{2}{ab} ≥ 2×4 = 8$，
即$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{ab} ≥ 8$得证。
(1)
因为$a＞0$，$b＞0$，$a+b=1$，
由基本不等式得$\sqrt{ab} ≤ \frac{a+b}{2} = \frac{1}{2}$，当且仅当$a=b=\frac{1}{2}$时等号成立，
两边平方得$ab ≤ \frac{1}{4}$，
因此$-2ab ≥ -\frac{1}{2}$，
又$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 1$，
故$a^2 + b^2 = 1 - 2ab ≥ 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$，
即$a^2 + b^2 ≥ \frac{1}{2}$得证。
(2)
方法1：
因为$a＞0$，$b＞0$，$a+b=1$，将1代换为$a+b$得：
$\begin{aligned}\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{ab} &= \frac{a+b}{a} + \frac{a+b}{b} + \frac{a+b}{ab}\\&= 2 + \frac{b}{a} + \frac{a}{b} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b}\\&= 2 + \frac{b}{a} + \frac{a}{b} + \frac{a+b}{a} + \frac{a+b}{b}\\&= 2(\frac{b}{a} + \frac{a}{b}) + 4\end{aligned}$
由基本不等式，$\frac{b}{a} + \frac{a}{b} ≥ 2\sqrt{\frac{b}{a} · \frac{a}{b}} = 2$，当且仅当$\frac{b}{a}=\frac{a}{b}$即$a=b=\frac{1}{2}$时等号成立，
因此$2(\frac{b}{a} + \frac{a}{b}) + 4 ≥ 2×2 + 4 = 8$，
即$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{ab} ≥ 8$得证。
方法2：
因为$a＞0$，$b＞0$，$a+b=1$，
由基本不等式得$\sqrt{ab} ≤ \frac{a+b}{2} = \frac{1}{2}$，即$ab ≤ \frac{1}{4}$，当且仅当$a=b=\frac{1}{2}$时等号成立，
故$\frac{1}{ab} ≥ 4$，
将左侧通分变形：
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{ab} = \frac{a+b+1}{ab}$
代入$a+b=1$得$\frac{a+b+1}{ab} = \frac{2}{ab}$，
因此$\frac{2}{ab} ≥ 2×4 = 8$，
即$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{ab} ≥ 8$得证。
【变式1】(1)已知$a,b$是正实数，求证：$\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{a} ≥ a + b$；
(2)已知$a ＞ b$，$ab = 1$，求证：$a^2 + b^2 ≥ 2\sqrt{2}(a - b)$。
(2)已知$a ＞ b$，$ab = 1$，求证：$a^2 + b^2 ≥ 2\sqrt{2}(a - b)$。
答案
(1)因为$a,b$是正实数,所以$\frac{a^2}{b}+b≥2a$,$\frac{b^2}{a}+a≥2b$,当且仅当$\frac{a^2}{b}=b$,$\frac{b^2}{a}=a$,即$a=b$时,等号成立,所以$\frac{a^2}{b}+b+\frac{b^2}{a}+a≥2a+2b$,即$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}≥ a+b$.
(2)$\frac{a^2+b^2}{a-b}=\frac{(a-b)^2+2ab}{a-b}=\frac{(a-b)^2+2}{a-b}$.因为$a＞b$,所以$a-b＞0$,所以$\frac{(a-b)^2+2}{a-b}=a-b+\frac{2}{a-b}≥2\sqrt{(a-b)·\frac{2}{a-b}}=2\sqrt{2}$,当且仅当$a-b=\frac{2}{a-b}$,即$a-b=\sqrt{2}$时,等号成立,所以$\frac{a^2+b^2}{a-b}≥2\sqrt{2}$,即$a^2+b^2≥2\sqrt{2}(a-b)$.
(2)$\frac{a^2+b^2}{a-b}=\frac{(a-b)^2+2ab}{a-b}=\frac{(a-b)^2+2}{a-b}$.因为$a＞b$,所以$a-b＞0$,所以$\frac{(a-b)^2+2}{a-b}=a-b+\frac{2}{a-b}≥2\sqrt{(a-b)·\frac{2}{a-b}}=2\sqrt{2}$,当且仅当$a-b=\frac{2}{a-b}$,即$a-b=\sqrt{2}$时,等号成立,所以$\frac{a^2+b^2}{a-b}≥2\sqrt{2}$,即$a^2+b^2≥2\sqrt{2}(a-b)$.
【典例2】(1)已知$x,y$均为正数，且$\frac{2}{x}+\frac{6}{y}=1$，求$3x+y$的最小值；
(2)已知$x＞0$，求$y=\frac{x^2+3x+4}{x}$的最小值；
(3)已知$x＜\frac{5}{4}$，求$y=4x-2+\frac{1}{4x-5}$的最大值；
(4)已知$0＜x＜\frac{1}{2}$，求$y=\frac{1}{2}x(1-2x)$的最大值.
解题指导 (1)本题求“和的最小值”，但未出现“积为定值”，故需要用到条件中的“1”，将所求代数式进行变形，即乘“1”，进而改变所求代数式的形式凑出定值.
(2)裂项法，分离成倒数和形式，$y=\frac{x^2+3x+4}{x}=x+\frac{4}{x}+3$.
(3)配凑法，使和式中的两项之积为定值.由$x＜\frac{5}{4}$，得$5-4x＞0$，所以$y=4x-2+\frac{1}{4x-5}=-[(5-4x)+\frac{1}{5-4x}]+3$.
(4)配凑法，使积式中的两项之和为定值，$y=\frac{1}{2}x(1-2x)=\frac{1}{4}×2x(1-2x)$.
答案 解:(1)已知$x,y$均为正数，且$\frac{2}{x}+\frac{6}{y}=1$，
所以$3x+y=(3x+y)(\frac{2}{x}+\frac{6}{y})=6+\frac{18x}{y}+\frac{2y}{x}+6=12+\frac{18x}{y}+\frac{2y}{x}≥12+2\sqrt{\frac{18x}{y}·\frac{2y}{x}}=24$，当且仅当$\frac{18x}{y}=\frac{2y}{x}$，即$x=4,y=12$时，等号成立，所以$3x+y$的最小值为24.
(2)当$x＞0$时，根据基本不等式，得$y=\frac{x^2+3x+4}{x}=x+\frac{4}{x}+3≥2\sqrt{x·\frac{4}{x}}+3=4+3=7$，当且仅当$x=\frac{4}{x}$，即$x=2$时，等号成立，故当$x=2$时，$y=\frac{x^2+3x+4}{x}$的最小值是7.
(3)(要求和的最值，应先凑“积定”)因为$x＜\frac{5}{4}$，所以$5-4x＞0$.
根据基本不等式，得$y=4x-2+\frac{1}{4x-5}=-[(5-4x)+\frac{1}{5-4x}]+3$(两项均为负数，应先转化为正数)$≤-2\sqrt{(5-4x)·\frac{1}{5-4x}}+3=-2+3=1$，当且仅当$5-4x=\frac{1}{5-4x}$，即$x=1$时，等号成立，故当$x=1$时，$y=4x-2+\frac{1}{4x-5}$的最大值是1.
(4)因为$0＜x＜\frac{1}{2}$，所以$1-2x＞0$.
根据基本不等式，得$y=\frac{1}{2}x(1-2x)=\frac{1}{4}×2x(1-2x)≤\frac{1}{4}×(\frac{2x+1-2x}{2})^2=\frac{1}{16}$，当且仅当当$2x=1-2x$，即$x=\frac{1}{4}$时，等号成立，故当$x=\frac{1}{4}$时，$y=\frac{1}{2}x(1-2x)$的最大值是$\frac{1}{16}$.
(2)已知$x＞0$，求$y=\frac{x^2+3x+4}{x}$的最小值；
(3)已知$x＜\frac{5}{4}$，求$y=4x-2+\frac{1}{4x-5}$的最大值；
(4)已知$0＜x＜\frac{1}{2}$，求$y=\frac{1}{2}x(1-2x)$的最大值.
解题指导 (1)本题求“和的最小值”，但未出现“积为定值”，故需要用到条件中的“1”，将所求代数式进行变形，即乘“1”，进而改变所求代数式的形式凑出定值.
(2)裂项法，分离成倒数和形式，$y=\frac{x^2+3x+4}{x}=x+\frac{4}{x}+3$.
(3)配凑法，使和式中的两项之积为定值.由$x＜\frac{5}{4}$，得$5-4x＞0$，所以$y=4x-2+\frac{1}{4x-5}=-[(5-4x)+\frac{1}{5-4x}]+3$.
(4)配凑法，使积式中的两项之和为定值，$y=\frac{1}{2}x(1-2x)=\frac{1}{4}×2x(1-2x)$.
答案 解:(1)已知$x,y$均为正数，且$\frac{2}{x}+\frac{6}{y}=1$，
所以$3x+y=(3x+y)(\frac{2}{x}+\frac{6}{y})=6+\frac{18x}{y}+\frac{2y}{x}+6=12+\frac{18x}{y}+\frac{2y}{x}≥12+2\sqrt{\frac{18x}{y}·\frac{2y}{x}}=24$，当且仅当$\frac{18x}{y}=\frac{2y}{x}$，即$x=4,y=12$时，等号成立，所以$3x+y$的最小值为24.
(2)当$x＞0$时，根据基本不等式，得$y=\frac{x^2+3x+4}{x}=x+\frac{4}{x}+3≥2\sqrt{x·\frac{4}{x}}+3=4+3=7$，当且仅当$x=\frac{4}{x}$，即$x=2$时，等号成立，故当$x=2$时，$y=\frac{x^2+3x+4}{x}$的最小值是7.
(3)(要求和的最值，应先凑“积定”)因为$x＜\frac{5}{4}$，所以$5-4x＞0$.
根据基本不等式，得$y=4x-2+\frac{1}{4x-5}=-[(5-4x)+\frac{1}{5-4x}]+3$(两项均为负数，应先转化为正数)$≤-2\sqrt{(5-4x)·\frac{1}{5-4x}}+3=-2+3=1$，当且仅当$5-4x=\frac{1}{5-4x}$，即$x=1$时，等号成立，故当$x=1$时，$y=4x-2+\frac{1}{4x-5}$的最大值是1.
(4)因为$0＜x＜\frac{1}{2}$，所以$1-2x＞0$.
根据基本不等式，得$y=\frac{1}{2}x(1-2x)=\frac{1}{4}×2x(1-2x)≤\frac{1}{4}×(\frac{2x+1-2x}{2})^2=\frac{1}{16}$，当且仅当当$2x=1-2x$，即$x=\frac{1}{4}$时，等号成立，故当$x=\frac{1}{4}$时，$y=\frac{1}{2}x(1-2x)$的最大值是$\frac{1}{16}$.
答案
解：
(1) 已知$x,y$均为正数，且$\frac{2}{x}+\frac{6}{y}=1$，
则$3x+y=(3x+y)(\frac{2}{x}+\frac{6}{y})$
$=6+\frac{18x}{y}+\frac{2y}{x}+6$
$=12+\frac{18x}{y}+\frac{2y}{x}$
由基本不等式得：
$\frac{18x}{y}+\frac{2y}{x} \ge 2\sqrt{\frac{18x}{y} · \frac{2y}{x}} = 12$，
当且仅当$\frac{18x}{y}=\frac{2y}{x}$，即$y=3x$，代入$\frac{2}{x}+\frac{6}{y}=1$解得$x=4,y=12$时等号成立，
因此$3x+y \ge 12+12=24$，
即$3x+y$的最小值为$24$。
(2) 已知$x＞0$，对函数变形得：
$y=\frac{x^2+3x+4}{x}=x+\frac{4}{x}+3$，
由基本不等式得：
$x+\frac{4}{x} \ge 2\sqrt{x · \frac{4}{x}}=4$，
当且仅当$x=\frac{4}{x}$，即$x=2$时等号成立，
因此$y \ge 4+3=7$，
即$y=\frac{x^2+3x+4}{x}$的最小值为$7$。
(3) 已知$x＜\frac{5}{4}$，则$5-4x＞0$，对函数变形得：
$y=4x-2+\frac{1}{4x-5}=-[(5-4x)+\frac{1}{5-4x}]+3$，
由基本不等式得：
$(5-4x)+\frac{1}{5-4x} \ge 2\sqrt{(5-4x) · \frac{1}{5-4x}}=2$，
因此$y \le -2+3=1$，
当且仅当$5-4x=\frac{1}{5-4x}$，即$x=1$时等号成立，
即$y=4x-2+\frac{1}{4x-5}$的最大值为$1$。
(4) 已知$0＜x＜\frac{1}{2}$，则$1-2x＞0$，对函数变形得：
$y=\frac{1}{2}x(1-2x)=\frac{1}{4} · 2x · (1-2x)$，
由基本不等式得：
$2x · (1-2x) \le (\frac{2x+1-2x}{2})^2=\frac{1}{4}$，
因此$y \le \frac{1}{4} × \frac{1}{4}=\frac{1}{16}$，
当且仅当$2x=1-2x$，即$x=\frac{1}{4}$时等号成立，
即$y=\frac{1}{2}x(1-2x)$的最大值为$\frac{1}{16}$。
(1) 已知$x,y$均为正数，且$\frac{2}{x}+\frac{6}{y}=1$，
则$3x+y=(3x+y)(\frac{2}{x}+\frac{6}{y})$
$=6+\frac{18x}{y}+\frac{2y}{x}+6$
$=12+\frac{18x}{y}+\frac{2y}{x}$
由基本不等式得：
$\frac{18x}{y}+\frac{2y}{x} \ge 2\sqrt{\frac{18x}{y} · \frac{2y}{x}} = 12$，
当且仅当$\frac{18x}{y}=\frac{2y}{x}$，即$y=3x$，代入$\frac{2}{x}+\frac{6}{y}=1$解得$x=4,y=12$时等号成立，
因此$3x+y \ge 12+12=24$，
即$3x+y$的最小值为$24$。
(2) 已知$x＞0$，对函数变形得：
$y=\frac{x^2+3x+4}{x}=x+\frac{4}{x}+3$，
由基本不等式得：
$x+\frac{4}{x} \ge 2\sqrt{x · \frac{4}{x}}=4$，
当且仅当$x=\frac{4}{x}$，即$x=2$时等号成立，
因此$y \ge 4+3=7$，
即$y=\frac{x^2+3x+4}{x}$的最小值为$7$。
(3) 已知$x＜\frac{5}{4}$，则$5-4x＞0$，对函数变形得：
$y=4x-2+\frac{1}{4x-5}=-[(5-4x)+\frac{1}{5-4x}]+3$，
由基本不等式得：
$(5-4x)+\frac{1}{5-4x} \ge 2\sqrt{(5-4x) · \frac{1}{5-4x}}=2$，
因此$y \le -2+3=1$，
当且仅当$5-4x=\frac{1}{5-4x}$，即$x=1$时等号成立，
即$y=4x-2+\frac{1}{4x-5}$的最大值为$1$。
(4) 已知$0＜x＜\frac{1}{2}$，则$1-2x＞0$，对函数变形得：
$y=\frac{1}{2}x(1-2x)=\frac{1}{4} · 2x · (1-2x)$，
由基本不等式得：
$2x · (1-2x) \le (\frac{2x+1-2x}{2})^2=\frac{1}{4}$，
因此$y \le \frac{1}{4} × \frac{1}{4}=\frac{1}{16}$，
当且仅当$2x=1-2x$，即$x=\frac{1}{4}$时等号成立，
即$y=\frac{1}{2}x(1-2x)$的最大值为$\frac{1}{16}$。
