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一、选择题
1. 下列情境中，分别描述了两个变量之间的关系：①一杯越来越凉的开水（水温与时间的关系）；②从树上开始往下掉的苹果（苹果落地前的高度与下落时间的关系）；③足球守门员踢出去的球（高度与时间的关系）。依次用图象近似刻画以上变量之间的关系，排序正确的是（
A.ⅢⅡⅠ
B.ⅡⅠⅢ
C.ⅠⅡⅢ
D.ⅢⅠⅡ
1. 下列情境中，分别描述了两个变量之间的关系：①一杯越来越凉的开水（水温与时间的关系）；②从树上开始往下掉的苹果（苹果落地前的高度与下落时间的关系）；③足球守门员踢出去的球（高度与时间的关系）。依次用图象近似刻画以上变量之间的关系，排序正确的是（
A
）。A.ⅢⅡⅠ
B.ⅡⅠⅢ
C.ⅠⅡⅢ
D.ⅢⅠⅡ
答案
1.A
解析
【分析】
解题时我们先逐个分析三个情境中变量的变化规律，再匹配对应的图像，最后按题干给出的情境顺序对应即可得到答案。第一步先明确每个情境的初始值、增减趋势、变化快慢：①开水变凉的初始水温高，随时间增加水温下降，且降温越来越慢；②苹果下落初始有高度，随时间增加高度下降，且下落越来越快，高度下降越来越快；③踢出的足球初始高度为0，高度先升后降最终回到0。再将三者分别和三个图像对应，最后按顺序匹配选项即可。
【解析】
我们逐一分析各情境对应的图像：
1. ①一杯越来越凉的开水：时间为0时水温最高，随时间增加，水温逐渐降低，且降温速度越来越慢，最终趋近于室温，和图Ⅲ的特征吻合；
2. ②从树上下落的苹果：时间为0时苹果有一定高度，随时间增加，苹果下落速度越来越快，高度下降得越来越快，直到落地时高度为0，和图Ⅱ的特征吻合；
3. ③守门员踢出去的球：球从地面出发，高度先上升到最高点，再下落回到地面，高度先增后减，初始和最终高度均为0，和图Ⅰ的特征吻合。
因此三个情境①②③依次对应的图像为Ⅲ、Ⅱ、Ⅰ，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
函数图象识别，变量变化分析，实际问题的函数应用
【点评】
本题结合生活实际考查对函数图像的理解，需要同学们根据实际过程判断变量的增减趋势、变化快慢等特征，再匹配对应图像，属于函数的基础应用类题目，解题时注意区分不同下降过程的快慢区别即可。
【难度系数】
0.8
解题时我们先逐个分析三个情境中变量的变化规律，再匹配对应的图像，最后按题干给出的情境顺序对应即可得到答案。第一步先明确每个情境的初始值、增减趋势、变化快慢：①开水变凉的初始水温高，随时间增加水温下降，且降温越来越慢；②苹果下落初始有高度，随时间增加高度下降，且下落越来越快，高度下降越来越快；③踢出的足球初始高度为0，高度先升后降最终回到0。再将三者分别和三个图像对应，最后按顺序匹配选项即可。
【解析】
我们逐一分析各情境对应的图像：
1. ①一杯越来越凉的开水：时间为0时水温最高，随时间增加，水温逐渐降低，且降温速度越来越慢，最终趋近于室温，和图Ⅲ的特征吻合；
2. ②从树上下落的苹果：时间为0时苹果有一定高度，随时间增加，苹果下落速度越来越快，高度下降得越来越快，直到落地时高度为0，和图Ⅱ的特征吻合；
3. ③守门员踢出去的球：球从地面出发，高度先上升到最高点，再下落回到地面，高度先增后减，初始和最终高度均为0，和图Ⅰ的特征吻合。
因此三个情境①②③依次对应的图像为Ⅲ、Ⅱ、Ⅰ，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
函数图象识别，变量变化分析，实际问题的函数应用
【点评】
本题结合生活实际考查对函数图像的理解，需要同学们根据实际过程判断变量的增减趋势、变化快慢等特征，再匹配对应图像，属于函数的基础应用类题目，解题时注意区分不同下降过程的快慢区别即可。
【难度系数】
0.8
2.已知一次函数$y=(k-3)x+5$，若$y$的值随$x$的值的增大而增大，则$k$的取值范围是（
A.$k＞3$
B.$k＜3$
C.$0＜k＜3$
D.$k＞0$
A
）。A.$k＞3$
B.$k＜3$
C.$0＜k＜3$
D.$k＞0$
答案
2.A
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆一次函数的增减性规律：一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）中，$y$随$x$增大而增大的前提是一次项系数$k＞0$。本题中给出的一次函数的一次项系数是$(k-3)$，我们只需要让这个系数大于0，解出对应的不等式就能得到$k$的取值范围，再匹配选项即可。
【解析】
一次函数的一般形式为$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，且$k≠0$），其增减性由一次项系数$k$的符号决定：
1. 当$k＞0$时，$y$的值随$x$的值的增大而增大；
2. 当$k＜0$时，$y$的值随$x$的值的增大而减小。
本题中一次函数为$y=(k-3)x+5$，已知$y$随$x$增大而增大，因此一次项系数满足：
$k-3＞0$
解这个不等式，得$k＞3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的性质；解一元一次不等式
【点评】
本题是一次函数性质的基础应用，核心是掌握一次项系数的符号与函数增减性的对应关系，解题时直接套用性质列不等式求解即可，是对基础概念掌握程度的考查。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，首先回忆一次函数的增减性规律：一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）中，$y$随$x$增大而增大的前提是一次项系数$k＞0$。本题中给出的一次函数的一次项系数是$(k-3)$，我们只需要让这个系数大于0，解出对应的不等式就能得到$k$的取值范围，再匹配选项即可。
【解析】
一次函数的一般形式为$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，且$k≠0$），其增减性由一次项系数$k$的符号决定：
1. 当$k＞0$时，$y$的值随$x$的值的增大而增大；
2. 当$k＜0$时，$y$的值随$x$的值的增大而减小。
本题中一次函数为$y=(k-3)x+5$，已知$y$随$x$增大而增大，因此一次项系数满足：
$k-3＞0$
解这个不等式，得$k＞3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的性质；解一元一次不等式
【点评】
本题是一次函数性质的基础应用，核心是掌握一次项系数的符号与函数增减性的对应关系，解题时直接套用性质列不等式求解即可，是对基础概念掌握程度的考查。
【难度系数】
0.85
3.已知抛物线$y = ax^2 - 2ax + c + 1(c ＞ 1)$经过点$A(m - 2,2c)$，$B(2,2c)$，$C(m + 2,2c)$中的两点，且与y轴交于点D，则下列判断正确的是(
A.$a ＜ 0$
B.$m ＞ 1$
C.$3a + 1 ＜ c$
D.$S_{△ AOB} ＞ 2S_{△ ADB}$
D
)。A.$a ＜ 0$
B.$m ＞ 1$
C.$3a + 1 ＜ c$
D.$S_{△ AOB} ＞ 2S_{△ ADB}$
答案
3.D
解析
【分析】
解题时先从抛物线的对称轴入手，再结合三个点纵坐标相同的特点，利用抛物线与水平线最多只有2个交点的性质，先代入B点坐标判断其是否在抛物线上，排除B点后确定抛物线过A、C两点，进而求出m的值和a与c的关系，逐一排除错误选项，最后计算两个三角形的面积验证正确选项即可。
【解析】
1. 求抛物线对称轴：对于抛物线$y=ax^2-2ax+c+1$，由对称轴公式得对称轴为直线$x=-\frac{-2a}{2a}=1$。
2. 判断点B是否在抛物线上：将$x=2$代入抛物线解析式，得$y=4a-4a+c+1=c+1$，若$B(2,2c)$在抛物线上，则$2c=c+1$，解得$c=1$，与题设$c＞1$矛盾，故B不在抛物线上，抛物线过A、C两点。
3. 求m的值：A、C纵坐标相同，关于对称轴对称，因此两点横坐标的中点为对称轴$x=1$，即$\frac{(m-2)+(m+2)}{2}=m=1$，故$m=1$，B选项错误。
4. 推导a与c的关系：将$A(-1,2c)$代入抛物线解析式，得$2c=a+2a+c+1$，整理得$3a+1=c$，故C选项错误。
5. 判断a的符号：抛物线顶点纵坐标为$c+1-a$，只要$c+1-a≤2c$（开口向上时）或$c+1-a≥2c$（开口向下时）即可满足抛物线与$y=2c$有交点，a可正可负，故A选项错误。
6. 验证D选项：AB长为$2-(-1)=3$，$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×3×2c=3c$；D点坐标为$(0,c+1)$，D到直线$y=2c$的距离为$c-1$，则$S_{△ ADB}=\frac{1}{2}×3×(c-1)$，$2S_{△ ADB}=3(c-1)=3c-3$，显然$3c＞3c-3$，即$S_{△ AOB}＞2S_{△ ADB}$，D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
抛物线的对称性；二次函数点的坐标特征；三角形面积计算
【点评】
本题的核心突破口是代入B点坐标排除其在抛物线上的可能，进而确定A、C为抛物线上的点，再结合二次函数性质逐一推导，要求学生熟练掌握二次函数的基本性质和坐标法求三角形面积的方法。
【难度系数】
0.6
解题时先从抛物线的对称轴入手，再结合三个点纵坐标相同的特点，利用抛物线与水平线最多只有2个交点的性质，先代入B点坐标判断其是否在抛物线上，排除B点后确定抛物线过A、C两点，进而求出m的值和a与c的关系，逐一排除错误选项，最后计算两个三角形的面积验证正确选项即可。
【解析】
1. 求抛物线对称轴：对于抛物线$y=ax^2-2ax+c+1$，由对称轴公式得对称轴为直线$x=-\frac{-2a}{2a}=1$。
2. 判断点B是否在抛物线上：将$x=2$代入抛物线解析式，得$y=4a-4a+c+1=c+1$，若$B(2,2c)$在抛物线上，则$2c=c+1$，解得$c=1$，与题设$c＞1$矛盾，故B不在抛物线上，抛物线过A、C两点。
3. 求m的值：A、C纵坐标相同，关于对称轴对称，因此两点横坐标的中点为对称轴$x=1$，即$\frac{(m-2)+(m+2)}{2}=m=1$，故$m=1$，B选项错误。
4. 推导a与c的关系：将$A(-1,2c)$代入抛物线解析式，得$2c=a+2a+c+1$，整理得$3a+1=c$，故C选项错误。
5. 判断a的符号：抛物线顶点纵坐标为$c+1-a$，只要$c+1-a≤2c$（开口向上时）或$c+1-a≥2c$（开口向下时）即可满足抛物线与$y=2c$有交点，a可正可负，故A选项错误。
6. 验证D选项：AB长为$2-(-1)=3$，$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×3×2c=3c$；D点坐标为$(0,c+1)$，D到直线$y=2c$的距离为$c-1$，则$S_{△ ADB}=\frac{1}{2}×3×(c-1)$，$2S_{△ ADB}=3(c-1)=3c-3$，显然$3c＞3c-3$，即$S_{△ AOB}＞2S_{△ ADB}$，D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
抛物线的对称性；二次函数点的坐标特征；三角形面积计算
【点评】
本题的核心突破口是代入B点坐标排除其在抛物线上的可能，进而确定A、C为抛物线上的点，再结合二次函数性质逐一推导，要求学生熟练掌握二次函数的基本性质和坐标法求三角形面积的方法。
【难度系数】
0.6
1.已知正比例函数$y=(k-1)x$的图象经过第二、第四象限，那么k的取值范围是
y
4
3----A
k ＜ 1
。y
4
3----A
答案
1.k ＜ 1
解析
【分析】
本题考查正比例函数的图象与性质，解题思路如下：首先回忆正比例函数$y=ax(a≠0)$的图象规律：当$a＞0$时，图象经过第一、第三象限；当$a＜0$时，图象经过第二、第四象限。其次对应本题的函数解析式，明确比例系数为$k-1$，结合图象过第二、第四象限的条件，可列关于$k$的一元一次不等式，最后解不等式即可得到$k$的取值范围。
【解析】
解：$\because$ 正比例函数$y=(k-1)x$的图象经过第二、第四象限，
$\therefore$ 函数的比例系数小于0，即 $k-1＜0$，
解不等式可得：$k＜1$。
【答案】
$k ＜ 1$
【知识点】
正比例函数的图象与性质，解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，核心考查正比例函数图象走向与比例系数正负的对应关系，熟练掌握该性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题考查正比例函数的图象与性质，解题思路如下：首先回忆正比例函数$y=ax(a≠0)$的图象规律：当$a＞0$时，图象经过第一、第三象限；当$a＜0$时，图象经过第二、第四象限。其次对应本题的函数解析式，明确比例系数为$k-1$，结合图象过第二、第四象限的条件，可列关于$k$的一元一次不等式，最后解不等式即可得到$k$的取值范围。
【解析】
解：$\because$ 正比例函数$y=(k-1)x$的图象经过第二、第四象限，
$\therefore$ 函数的比例系数小于0，即 $k-1＜0$，
解不等式可得：$k＜1$。
【答案】
$k ＜ 1$
【知识点】
正比例函数的图象与性质，解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，核心考查正比例函数图象走向与比例系数正负的对应关系，熟练掌握该性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2.如右图,将直线OA向上平移2个单位长度,得到一个一次函数的图象,则这个一次函数的表达式为
y = 3x + 2或y = 2 + 3x
。答案
2.y = 3x + 2或y = 2 + 3x
解析
【分析】
解题分两步进行：第一步先求原直线OA的函数表达式，观察图象可知直线OA是过原点的正比例函数，且经过点A(1,3)，用待定系数法即可求出其解析式；第二步根据一次函数图象平移的“上加下减”规律，将原函数表达式的常数项加2，就能得到平移后的一次函数表达式。
【解析】
1. 求直线OA的解析式：
由图可知，直线OA过原点$(0,0)$和点$A(1,3)$，属于正比例函数，设其解析式为$y=kx\ (k≠0)$。
将点$A(1,3)$代入解析式，得$3=k×1$，解得$k=3$，因此直线OA的解析式为$y=3x$。
2. 求平移后的一次函数解析式：
根据一次函数图象平移规律“向上平移几个单位，常数项加几”，将直线$y=3x$向上平移2个单位后，新的函数解析式为$y=3x+2$。
【答案】
$y=3x+2$（或$y=2+3x$）
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数图象平移规律
【点评】
本题是函数图象平移的基础题型，重点考查正比例函数解析式的求解和一次函数平移的规则，熟练掌握“上加下减、左加右减”的平移规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题分两步进行：第一步先求原直线OA的函数表达式，观察图象可知直线OA是过原点的正比例函数，且经过点A(1,3)，用待定系数法即可求出其解析式；第二步根据一次函数图象平移的“上加下减”规律，将原函数表达式的常数项加2，就能得到平移后的一次函数表达式。
【解析】
1. 求直线OA的解析式：
由图可知，直线OA过原点$(0,0)$和点$A(1,3)$，属于正比例函数，设其解析式为$y=kx\ (k≠0)$。
将点$A(1,3)$代入解析式，得$3=k×1$，解得$k=3$，因此直线OA的解析式为$y=3x$。
2. 求平移后的一次函数解析式：
根据一次函数图象平移规律“向上平移几个单位，常数项加几”，将直线$y=3x$向上平移2个单位后，新的函数解析式为$y=3x+2$。
【答案】
$y=3x+2$（或$y=2+3x$）
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数图象平移规律
【点评】
本题是函数图象平移的基础题型，重点考查正比例函数解析式的求解和一次函数平移的规则，熟练掌握“上加下减、左加右减”的平移规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
