12. 在矩形ABCD中,BD是对角线,AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F.

(1)如图21-38①,求证:AE=CF;
(2)如图21-38②,当∠ADB=30°时,连接AF,CE,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图21-38②中四个三角形,使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD面积的$\frac{1}{8}$.

12. (1)$\because$ 四边形$ABCD$是矩形,$\therefore AB=CD,AB// CD,AD// BC. \therefore ∠ ABE=∠ CDF. \because AE⊥ BD$于点$E,CF⊥ BD$于点$F,\therefore ∠ AEB=∠ CFD=90°$. 在$△ ABE$和$△ CDF$中,$\begin{cases} ∠ ABE=∠ CDF, \\ ∠ AEB=∠ CFD, \\ AB=CD, \end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ CDF(\mathrm{AAS}). \therefore AE=CF$.
(2)$△ ABE,△ CDF,△ BCE,△ ADF$都等于矩形$ABCD$面积的$\dfrac{1}{8}$.
提示:$\because AD// BC,\therefore ∠ CBD=∠ ADB=30°. \because ∠ ABC=90°,\therefore ∠ ABE=60°. \because AE⊥ BD,\therefore ∠ BAE=30°,\therefore BE=\dfrac{1}{2}AB,AE=\dfrac{1}{2}AD,\therefore S_{△ ABE}=\dfrac{1}{2}BE× AE=\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}AB×\dfrac{1}{2}AD=\dfrac{1}{8}AB× AD=\dfrac{1}{8}S_{\mathrm{矩形}ABCD}$.
$\because △ ABE≌ △ CDF,\therefore S_{△ CDF}=\dfrac{1}{8}S_{\mathrm{矩形}ABCD}$.
作$EG⊥ BC$于点$G,\because ∠ CBD=30°,\therefore EG=\dfrac{1}{2}BE=\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{4}AB. \therefore S_{△ BCE}=\dfrac{1}{2}BC× EG=\dfrac{1}{2}BC×\dfrac{1}{4}AB=\dfrac{1}{8}BC× AB=\dfrac{1}{8}S_{\mathrm{矩形}ABCD}$. 同理,$S_{△ ADF}=\dfrac{1}{8}S_{\mathrm{矩形}ABCD}$.

综合练习（二）
一、选择题
1. 如图21-39,在菱形ABCD中,过点C作$CE ⊥ BC$交BD于点E,若$∠ BAD = 118°$,则$∠ CEB$的度数为 （）

A.$59°$
B.$62°$
C.$69°$
D.$72°$

图21-39

图21-40

1.A

2. 如图21-40,在四边形ABCD中,∠DAB的平分线与∠CBE的平分线相交于点P,且∠D+∠C=210°,则∠P的度数为 ()

A.10°
B.15°
C.30°
D.40°

2.B

3. 一个多边形截取一个角后,形成另一个多边形的内角和是$1620°$,则原来多边形的边数是（）

A.10
B.11
C.12
D.以上都有可能

3.D

4. 如图21-41,两张全等的矩形纸片ABCD,AECF按如图方式交叉叠放在一起,$AB=AF,AE=BC$,若$AB=1,BC=3$,则图中重叠(阴影)部分的面积为 ()

A.$\dfrac{10}{3}$
B.$2\sqrt{5}$
C.$\dfrac{5}{3}$
D.$2\sqrt{3}$

4.C