1.综合与实践
【主题】圆形纸片与剪纸艺术
【素材】图①中半径为2的圆形纸片($\odot O$)若干.
【实践操作】活动一:如图②,在该圆形纸片($\odot O$)上剪出一个圆周角为$90°$的扇形.
活动二:如图③,在另一圆形纸片($\odot O$)内剪出一个内接正六边形,设该正六边形$ABCDEF$的面积为$S_1$,再连接$AC$,$AE$,剪出$△ ACE$,设$△ ACE$的面积为$S_2$.
活动三:在活动二的基础上,装饰粘贴上六个弧形花瓣,中心为点$O$,$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心$C$恰好是$△ ABO$的内心.
【实践探索】
(1)根据剪纸要求,计算图②中的扇形$ABC$的面积.
(2)请直接写出$\dfrac{S_1}{S_2}$的值:.
(3)求弧形花瓣总的周长(图④中实线部分的长度).(结果保留$π$)

(1)解:如答图①,连接BC,
$\because ∠A=90^{\circ },\therefore BC$为$\odot O$的直径,即$BC=4$.
$\because AB=AC,\therefore AB=\dfrac{BC}{\sqrt{2}}=\dfrac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$,
$\therefore$ 扇形$ABC$的面积为$\dfrac{90}{360}× π × (2\sqrt{2})^{2}=2π$.
(2)2
(3)解:如答图②,过点$C$作$CM\bot AB$于点$M$,

$\because$ 六条等弧所对应的弦构成一个正六边形,中心为点$O$,
$\therefore ∠ AOB=\dfrac{360^{\circ }}{6}=60^{\circ }$.
$\because OA=OB,\therefore △ AOB$是等边三角形,$\therefore AB=OA=2$,
$\therefore AM=BM=\dfrac{1}{2}AB=1$.
$\because$ 点$C$是$△ AOB$的内心,$\therefore ∠ CAB=∠ CBA=\dfrac{1}{2}× 60^{\circ }=30^{\circ },∠ ACB=2∠ AOB=120^{\circ }$.
在$\mathrm{Rt}△ ACM$中,$AM=1,∠ CAM=30^{\circ }$,
$\therefore AC=\dfrac{AM}{\cos 30^{\circ }}=\dfrac{1}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$,
$\therefore \overset{\frown}{AB}$的长为$\dfrac{120π × \dfrac{2\sqrt{3}}{3}}{180}=\dfrac{4\sqrt{3}}{9}π$,
$\therefore$ 弧形花瓣总的周长为$\dfrac{4\sqrt{3}}{9}π × 6=\dfrac{8\sqrt{3}}{3}π$.