2.(2025·兴化一模)综合与实践:数学活动课上,某数学兴趣小组对圆中的变换进行了如下探究.
问题背景:
(1)如图①,$\odot O$的半径为4,弦$AB=4\sqrt{2}$,求圆心O到弦AB的距离.
问题迁移:
(2)如图②,在以点O为圆心的两个同心圆中,AB是大圆的弦,将AB平移一定的距离得到对应线段$A'B'$,若线段$A'B'$的两个端点恰好在小圆上,连接$AA',BB'$.
①求证:四边形$ABB'A'$是矩形;
②已知大圆的半径为4,小圆的半径为3,$AB=4\sqrt{2}$,若圆心O在四边形$ABB'A'$的内部.求四边形$ABB'A'$的边$AA'$的长度;
问题拓展:
(3)如图③,大圆的半径为4,小圆的半径为3,弦$AB=4\sqrt{2}$,点M在小圆上,在平面上存在点N,将弦AB先关于直线ON翻折,再将翻折后的线段沿着直线ON所在方向平移ON个单位长度,得到线段CD,若CD恰好是小圆的弦,求MN长度的取值范围.

(1)解:如答图①,连接OA,过点O作$ON\bot AB$于点N,

$\therefore AN=BN=\dfrac{1}{2}AB=2\sqrt{2}$.
在$\mathrm{Rt}△ ANO$中,$ON=\sqrt{OA^{2}-AN^{2}}=\sqrt{4^{2}-(2\sqrt{2})^{2}}=2\sqrt{2}$,
$\therefore$ 圆心$O$到弦$AB$的距离为$2\sqrt{2}$.
(2)①证明:如答图②,过点$O$作$OG\bot AB$于点$G$,延长$GO$交$A'B'$于点$H$,则$∠ BGH=90^{\circ }$.

由平移的性质,得$AB// A'B',AB=A'B'$,
$\therefore$ 四边形$ABB'A'$是平行四边形.
$\because OG\bot AB,AB// A'B'$,
$\therefore BG=\dfrac{1}{2}AB,GH\bot A'B'$,
$\therefore B'H=\dfrac{1}{2}A'B',\therefore BG=B'H$.
又$\because AB// A'B',\therefore$ 四边形$GHB'B$是平行四边形.
$\because ∠ BGH=90^{\circ },\therefore$ 四边形$GHB'B$是矩形,
$\therefore ∠ GBB'=90^{\circ }$,
$\therefore$ 四边形$ABB'A'$是矩形.
②解:如答图③,连接$OA,OA'$,过点$O$分别作$OE\bot AB$于点$E$,$OF\bot AA'$于点$F$,则$∠ OFA=∠ OEA=90^{\circ }$.

由(2)同理可得$∠ BAA'=90^{\circ }$,
$\therefore$ 四边形$AFOE$是矩形.
$\because OE\bot AB,\therefore AE=BE=\dfrac{1}{2}AB=2\sqrt{2}$,
$\therefore OF=AE=2\sqrt{2}$.
在$\mathrm{Rt}△ OEA$中,$OE=\sqrt{OA^{2}-AE^{2}}=\sqrt{4^{2}-(2\sqrt{2})^{2}}=2\sqrt{2}$,
$\therefore AF=OE=2\sqrt{2}$.
在$\mathrm{Rt}△ OFA'$中,$A'F=\sqrt{OA'^{2}-OF^{2}}=\sqrt{3^{2}-(2\sqrt{2})^{2}}=1$,
$\therefore AA'=AF+A'F=2\sqrt{2}+1$.
(3)解:由题意,对称轴$ON$经过圆心,
$\therefore$ 翻折后的线段对应点$A',B'$仍然在大圆$\odot O$上,再将$A'B'$沿$ON$方向平移$ON$个单位长度,所得图形如答图④和图⑤,

由(2)同理可得$A'B'DC$为矩形,且$B'D=ON$,
$\therefore B'D=2\sqrt{2}-1$或$B'D=2\sqrt{2}+1$,
$\therefore$ 点$N$在以点$O$为圆心,$2\sqrt{2}-1$或$2\sqrt{2}+1$为半径的圆上,如答图⑥和图⑦,

当$ON=2\sqrt{2}-1$时,$4-2\sqrt{2}≤ MN≤ 2+2\sqrt{2}$;
当$ON=2\sqrt{2}+1$时,$2\sqrt{2}-2≤ MN≤ 4+2\sqrt{2}$.
综上所述,当$ON=2\sqrt{2}-1$时,$4-2\sqrt{2}≤ MN≤ 2+2\sqrt{2}$,
当$ON=2\sqrt{2}+1$时,$2\sqrt{2}-2≤ MN≤ 2\sqrt{2}+4$.