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【典例1】如图，把△ABC纸片沿DE折叠.当C'点落在△ABC内时，∠1+∠2=62°时，则∠C=
31°
，说明理由. 答案
解:设∠CDE=α,∠CED=β,
2α+2β=360°−62°=298°,
∴α+β=149°,
∴∠C=31°.
一般结论∠1+∠2=2∠C.
2α+2β=360°−62°=298°,
∴α+β=149°,
∴∠C=31°.
一般结论∠1+∠2=2∠C.
解析
【分析】
解题时首先利用折叠的性质，得到折叠前后对应角相等，即∠C'DE=∠CDE、∠C'ED=∠CED；再结合平角为180°的性质，分别写出∠1与∠CDE、∠2与∠CED的数量关系，将两个式子相加就能得到∠1+∠2和∠CDE+∠CED的关系；最后利用三角形内角和为180°，即可求出∠C的度数。
【解析】
根据折叠的性质可得：∠C'DE=∠CDE，∠C'ED=∠CED。
由平角的定义可知：
∠1 + 2∠CDE = 180° ①，
∠2 + 2∠CED = 180° ②，
①+②得：∠1 + ∠2 + 2(∠CDE + ∠CED) = 360°。
已知∠1+∠2=62°，代入得：
62° + 2(∠CDE + ∠CED) = 360°，
解得∠CDE + ∠CED = (360° - 62°)÷2 = 149°。
在△CDE中，根据三角形内角和定理：
∠C = 180° - (∠CDE + ∠CED) = 180° - 149° = 31°。
由此可推导得出一般结论：∠1+∠2=2∠C。
【答案】
31°
【知识点】
折叠的性质；平角的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题是折叠类角度计算的典型题，核心是利用折叠前后对应角相等的性质转化角度，结合平角、三角形内角和的知识建立关系求解，掌握此类折叠问题的通用结论可以提升解题效率。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用折叠的性质，得到折叠前后对应角相等，即∠C'DE=∠CDE、∠C'ED=∠CED；再结合平角为180°的性质，分别写出∠1与∠CDE、∠2与∠CED的数量关系，将两个式子相加就能得到∠1+∠2和∠CDE+∠CED的关系；最后利用三角形内角和为180°，即可求出∠C的度数。
【解析】
根据折叠的性质可得：∠C'DE=∠CDE，∠C'ED=∠CED。
由平角的定义可知：
∠1 + 2∠CDE = 180° ①，
∠2 + 2∠CED = 180° ②，
①+②得：∠1 + ∠2 + 2(∠CDE + ∠CED) = 360°。
已知∠1+∠2=62°，代入得：
62° + 2(∠CDE + ∠CED) = 360°，
解得∠CDE + ∠CED = (360° - 62°)÷2 = 149°。
在△CDE中，根据三角形内角和定理：
∠C = 180° - (∠CDE + ∠CED) = 180° - 149° = 31°。
由此可推导得出一般结论：∠1+∠2=2∠C。
【答案】
31°
【知识点】
折叠的性质；平角的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题是折叠类角度计算的典型题，核心是利用折叠前后对应角相等的性质转化角度，结合平角、三角形内角和的知识建立关系求解，掌握此类折叠问题的通用结论可以提升解题效率。
【难度系数】
0.7
变式.如图,将$△ ABC$纸片沿$DE$折叠,使点$A$落在点$A'$处,且$A'B$平分$∠ ABC$,$A'C$平分$∠ ACB$,若$∠ BA'C=120°$,则$∠ 1+∠ 2$的度数为(
A.$90°$
B.$100°$
C.$110°$
D.$120°$
D
)A.$90°$
B.$100°$
C.$110°$
D.$120°$
答案
解:由上题知∠1+∠2=2∠BAC，
又
∵∠A'CB+∠A'BC=60°,
∴∠ACB+∠ABC=120°,
∴∠BAC=60°,
∴∠1+∠2=120°.
解析
【分析】
解题时先从已知的∠BA'C出发，利用三角形内角和定理求出△A'BC中另外两个角的和；再结合角平分线的性质得到△ABC中∠ABC与∠ACB的和，进而求出∠BAC的度数；最后根据折叠的性质推导∠1+∠2和∠BAC的数量关系，代入计算即可得到结果。
【解析】
1. 在△BA'C中，根据三角形内角和为180°：
∵∠BA'C=120°，
∴∠A'BC + ∠A'CB = 180° - ∠BA'C = 180° - 120° = 60°。
2. 由角平分线的定义：
∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，
∴∠ABC=2∠A'BC，∠ACB=2∠A'CB，
∴∠ABC + ∠ACB = 2(∠A'BC + ∠A'CB) = 2×60° = 120°。
3. 在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
∠BAC = 180° - (∠ABC + ∠ACB) = 180° - 120° = 60°。
4. 由折叠的性质可知：∠ADE=∠A'DE，∠AED=∠A'ED，
∴∠ADA' = 2∠ADE，∠AEA' = 2∠AED，
∴∠1 = 180° - ∠ADA' = 180° - 2∠ADE，
∠2 = 180° - ∠AEA' = 180° - 2∠AED，
两式相加得：
∠1 + ∠2 = 360° - 2(∠ADE + ∠AED)。
在△ADE中，∠ADE + ∠AED = 180° - ∠BAC，代入上式得：
∠1 + ∠2 = 360° - 2(180° - ∠BAC) = 2∠BAC，
将∠BAC=60°代入得：∠1 + ∠2 = 2×60° = 120°。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理，折叠的性质，角平分线的定义
【点评】
本题属于角度计算的常考题型，将折叠性质、角平分线定义与三角形内角和定理结合考查，解题的关键是推导出∠1+∠2与∠BAC的等量关系，再结合已知条件逐步推导即可，熟练掌握相关性质和定理是快速解题的基础。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的∠BA'C出发，利用三角形内角和定理求出△A'BC中另外两个角的和；再结合角平分线的性质得到△ABC中∠ABC与∠ACB的和，进而求出∠BAC的度数；最后根据折叠的性质推导∠1+∠2和∠BAC的数量关系，代入计算即可得到结果。
【解析】
1. 在△BA'C中，根据三角形内角和为180°：
∵∠BA'C=120°，
∴∠A'BC + ∠A'CB = 180° - ∠BA'C = 180° - 120° = 60°。
2. 由角平分线的定义：
∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，
∴∠ABC=2∠A'BC，∠ACB=2∠A'CB，
∴∠ABC + ∠ACB = 2(∠A'BC + ∠A'CB) = 2×60° = 120°。
3. 在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
∠BAC = 180° - (∠ABC + ∠ACB) = 180° - 120° = 60°。
4. 由折叠的性质可知：∠ADE=∠A'DE，∠AED=∠A'ED，
∴∠ADA' = 2∠ADE，∠AEA' = 2∠AED，
∴∠1 = 180° - ∠ADA' = 180° - 2∠ADE，
∠2 = 180° - ∠AEA' = 180° - 2∠AED，
两式相加得：
∠1 + ∠2 = 360° - 2(∠ADE + ∠AED)。
在△ADE中，∠ADE + ∠AED = 180° - ∠BAC，代入上式得：
∠1 + ∠2 = 360° - 2(180° - ∠BAC) = 2∠BAC，
将∠BAC=60°代入得：∠1 + ∠2 = 2×60° = 120°。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理，折叠的性质，角平分线的定义
【点评】
本题属于角度计算的常考题型，将折叠性质、角平分线定义与三角形内角和定理结合考查，解题的关键是推导出∠1+∠2与∠BAC的等量关系，再结合已知条件逐步推导即可，熟练掌握相关性质和定理是快速解题的基础。
【难度系数】
0.7
【典例2】如图，把△ABC纸片沿DE折叠.当C'点落在△ABC外部时，∠1－∠2＝72°时，则∠C＝
36°
，说明理由. 答案
解:
∵∠1=∠3+∠C=∠C'+∠2+∠C，
∴∠1−∠2=2∠C,
∴∠C=36°.
一般结论∠1−∠2=2∠C.
解析
【分析】
解题时首先回忆折叠的性质：折叠前后对应角相等，可得∠C'=∠C；接下来利用三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），先分析∠1是△CDE的外角，得到∠1=∠C+∠3，再分析∠3是△C'DE的外角，得到∠3=∠2+∠C'；最后将∠3和∠C'用对应的等量替换，就能推导出∠1、∠2与∠C的关系，代入已知条件即可求出∠C的度数。
【解析】
由折叠的性质可得：∠C'=∠C。
根据三角形外角的性质：
∠1是△CDE的外角，因此∠1=∠C+∠3；
∠3是△C'DE的外角，因此∠3=∠2+∠C'。
将∠3=∠2+∠C'代入∠1=∠C+∠3中，得：
∠1=∠C + ∠2 + ∠C'，
又
∵∠C'=∠C，
∴∠1=2∠C + ∠2，
移项得∠1-∠2=2∠C。
已知∠1-∠2=72°，
∴2∠C=72°，解得∠C=36°。
一般结论：∠1−∠2=2∠C。
【答案】
36°
【知识点】
折叠的性质，三角形外角定理，角的和差计算
【点评】
本题结合折叠变换考查角度的计算，解题核心是抓住折叠前后对应角相等的不变性，合理利用三角形外角性质完成角的等量代换，推导得出所求角与已知条件的关系即可求解。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆折叠的性质：折叠前后对应角相等，可得∠C'=∠C；接下来利用三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），先分析∠1是△CDE的外角，得到∠1=∠C+∠3，再分析∠3是△C'DE的外角，得到∠3=∠2+∠C'；最后将∠3和∠C'用对应的等量替换，就能推导出∠1、∠2与∠C的关系，代入已知条件即可求出∠C的度数。
【解析】
由折叠的性质可得：∠C'=∠C。
根据三角形外角的性质：
∠1是△CDE的外角，因此∠1=∠C+∠3；
∠3是△C'DE的外角，因此∠3=∠2+∠C'。
将∠3=∠2+∠C'代入∠1=∠C+∠3中，得：
∠1=∠C + ∠2 + ∠C'，
又
∵∠C'=∠C，
∴∠1=2∠C + ∠2，
移项得∠1-∠2=2∠C。
已知∠1-∠2=72°，
∴2∠C=72°，解得∠C=36°。
一般结论：∠1−∠2=2∠C。
【答案】
36°
【知识点】
折叠的性质，三角形外角定理，角的和差计算
【点评】
本题结合折叠变换考查角度的计算，解题核心是抓住折叠前后对应角相等的不变性，合理利用三角形外角性质完成角的等量代换，推导得出所求角与已知条件的关系即可求解。
【难度系数】
0.6
变式.如图,将$△ ABC$沿直线$MN$向上翻折,点$B,C$的对应点分别为点$B',C',MN$分别与$AB,AC$交于点$E,F$,若$∠ A=45°$,求$∠1+∠2$的度数.
答案
解:设∠MEB=x,∠CFN=y，
∴2x+2y+∠1+∠2=360°,
又
∵在△AEF中,x+y=135°,
∴∠1+∠2=90°.
一般结论∠1+∠2=2∠A.
∴2x+2y+∠1+∠2=360°,
又
∵在△AEF中,x+y=135°,
∴∠1+∠2=90°.
一般结论∠1+∠2=2∠A.
解析
【分析】
本题是折叠类角度计算问题，解题思路如下：首先利用折叠的性质，可知折叠前后对应角相等，得到∠B'EM=∠BEM，∠C'FN=∠CFN；再结合邻补角的性质，可得到含∠1、∠2和上述相等角的两个等式，将两式相加；之后通过对顶角相等，把∠BEM、∠CFN转化为△AEF的两个内角∠AEF、∠AFE，结合三角形内角和定理求出这两个角的和，最后代入相加后的等式即可求出∠1+∠2的度数，还可进一步推导得到这类问题的通用结论。
【解析】
解：由折叠的性质可知，∠B'EM=∠BEM，∠C'FN=∠CFN。
设∠BEM=x，∠CFN=y，
根据对顶角相等可得，∠AEF=∠BEM=x，∠AFE=∠CFN=y。
在△AEF中，∠A=45°，根据三角形内角和为180°：
∠AEF+∠AFE=180°-∠A=180°-45°=135°，即x+y=135°。
由邻补角的性质可得：
2x + ∠1 = 180°，2y + ∠2 = 180°，
将两个等式相加得：2x + ∠1 + 2y + ∠2 = 360°，
整理得：2(x+y) + ∠1 + ∠2 = 360°，
把x+y=135°代入上式：
2×135° + ∠1 + ∠2 = 360°，
解得：∠1 + ∠2 = 360° - 270° = 90°。
推广到一般情况，同理可推导得∠1 + ∠2 = 2∠A。
【答案】
90°，一般结论：∠1+∠2=2∠A
【知识点】
折叠的性质；三角形内角和定理；邻补角的性质
【点评】
本题是图形折叠求角度的典型题型，核心是利用折叠前后对应角相等的性质，结合三角形内角和、对顶角/邻补角的性质完成角度转化，解题时可通过设角的方式简化推导过程，还可总结此类折叠问题的通用结论，提高同类题的解题效率。
【难度系数】
0.7
本题是折叠类角度计算问题，解题思路如下：首先利用折叠的性质，可知折叠前后对应角相等，得到∠B'EM=∠BEM，∠C'FN=∠CFN；再结合邻补角的性质，可得到含∠1、∠2和上述相等角的两个等式，将两式相加；之后通过对顶角相等，把∠BEM、∠CFN转化为△AEF的两个内角∠AEF、∠AFE，结合三角形内角和定理求出这两个角的和，最后代入相加后的等式即可求出∠1+∠2的度数，还可进一步推导得到这类问题的通用结论。
【解析】
解：由折叠的性质可知，∠B'EM=∠BEM，∠C'FN=∠CFN。
设∠BEM=x，∠CFN=y，
根据对顶角相等可得，∠AEF=∠BEM=x，∠AFE=∠CFN=y。
在△AEF中，∠A=45°，根据三角形内角和为180°：
∠AEF+∠AFE=180°-∠A=180°-45°=135°，即x+y=135°。
由邻补角的性质可得：
2x + ∠1 = 180°，2y + ∠2 = 180°，
将两个等式相加得：2x + ∠1 + 2y + ∠2 = 360°，
整理得：2(x+y) + ∠1 + ∠2 = 360°，
把x+y=135°代入上式：
2×135° + ∠1 + ∠2 = 360°，
解得：∠1 + ∠2 = 360° - 270° = 90°。
推广到一般情况，同理可推导得∠1 + ∠2 = 2∠A。
【答案】
90°，一般结论：∠1+∠2=2∠A
【知识点】
折叠的性质；三角形内角和定理；邻补角的性质
【点评】
本题是图形折叠求角度的典型题型，核心是利用折叠前后对应角相等的性质，结合三角形内角和、对顶角/邻补角的性质完成角度转化，解题时可通过设角的方式简化推导过程，还可总结此类折叠问题的通用结论，提高同类题的解题效率。
【难度系数】
0.7
【典例3】(2026·恩施)已知$△ ABC$中，$∠ A=65°$，将$∠ B$，$∠ C$按照如图所示折叠，若$∠ ADB'=35°$，则$∠ 1+∠ 2+∠ 3=$
265°
.答案
解:由典例1知∠1+∠2=2∠C，
由典例2知∠3=35°+2∠B，
∴∠1+∠2+∠3=35°+2(∠B+∠C)=265°.
由典例2知∠3=35°+2∠B，
∴∠1+∠2+∠3=35°+2(∠B+∠C)=265°.
解析
【分析】
解题时可分三步思考：第一步，已知△ABC中∠A=65°，先根据三角形内角和定理算出∠B+∠C的总度数；第二步，利用折叠前后对应角相等的性质，分别推导∠1+∠2与∠C的数量关系，以及∠3与∠B、已知∠ADB'的数量关系；第三步，将两个数量关系合并，代入∠B+∠C的数值，即可计算出∠1+∠2+∠3的总和。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和定理：
$∠ B + ∠ C = 180° - ∠ A = 180° - 65° = 115°$
根据折叠的性质，折叠∠C后对应角相等，可得：$∠ 1 + ∠ 2 = 2∠ C$
折叠∠B后对应角相等，结合$∠ ADB'=35°$，可得：$∠ 3 = 2∠ B + 35°$
将两式相加：
$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 = 2∠ C + 2∠ B + 35° = 2(∠ B + ∠ C) + 35°$
代入$∠ B+∠ C=115°$计算：
$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 = 2×115° + 35° = 265°$
【答案】
$265°$
【知识点】
三角形内角和定理，折叠的性质，角度计算
【点评】
本题属于折叠类角度计算的典型题型，解题核心是利用折叠前后对应角相等的性质，将未知角转化为和三角形内角相关的表达式，再结合三角形内角和定理求解，解题时需注意找准折叠前后的对应角，理清角度之间的和差关系。
【难度系数】
0.6
解题时可分三步思考：第一步，已知△ABC中∠A=65°，先根据三角形内角和定理算出∠B+∠C的总度数；第二步，利用折叠前后对应角相等的性质，分别推导∠1+∠2与∠C的数量关系，以及∠3与∠B、已知∠ADB'的数量关系；第三步，将两个数量关系合并，代入∠B+∠C的数值，即可计算出∠1+∠2+∠3的总和。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和定理：
$∠ B + ∠ C = 180° - ∠ A = 180° - 65° = 115°$
根据折叠的性质，折叠∠C后对应角相等，可得：$∠ 1 + ∠ 2 = 2∠ C$
折叠∠B后对应角相等，结合$∠ ADB'=35°$，可得：$∠ 3 = 2∠ B + 35°$
将两式相加：
$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 = 2∠ C + 2∠ B + 35° = 2(∠ B + ∠ C) + 35°$
代入$∠ B+∠ C=115°$计算：
$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 = 2×115° + 35° = 265°$
【答案】
$265°$
【知识点】
三角形内角和定理，折叠的性质，角度计算
【点评】
本题属于折叠类角度计算的典型题型，解题核心是利用折叠前后对应角相等的性质，将未知角转化为和三角形内角相关的表达式，再结合三角形内角和定理求解，解题时需注意找准折叠前后的对应角，理清角度之间的和差关系。
【难度系数】
0.6
