【例】如图14.2-5，$DE ⊥ AB$，$CF ⊥ AB$，垂足分别是点E，F，$DE=CF$，$AE=BF$. 求证：$AC// BD$.
【点拨】欲证明$AC// BD$，只要证明$∠ A=∠ B$，进而证明$△ DEB≌△ CFA$即可. 本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法.

证明：
∵DE⊥AB，CF⊥AB，
∴∠DEB=∠AFC=90°.
∵AE=BF，
∴AF=BE. 在△DEB 和 △CFA 中，$\begin{cases} DE=CF, \\ ∠DEB=∠AFC, \\ BE=AF, \end{cases}$
∴△DEB≌△CFA（SAS）.
∴∠A=∠B，
∴AC//DB.

【分析】
要证明$AC// BD$，根据平行线的判定规则，只需证明内错角$∠ A=∠ B$即可。观察图形可知$∠ A$、$∠ B$分别在$△ CFA$和$△ DEB$中，因此可以通过证明两个三角形全等来得到对应角相等。首先由$DE⊥ AB$、$CF⊥ AB$可得两个三角形有一组相等的直角；已知$DE=CF$，再结合$AE=BF$，通过线段和的关系可推出$AF=BE$，满足SAS全等判定的条件，证得三角形全等后即可得到$∠ A=∠ B$，最终推出两直线平行。
【解析】
证明：
$\because DE⊥ AB$，$CF⊥ AB$，
$\therefore ∠ DEB=∠ AFC=90°$.
$\because AE=BF$，
$\therefore AE+EF=BF+EF$，即$AF=BE$.
在$△ DEB$和$△ CFA$中，
$\begin{cases}DE=CF, \\∠ DEB=∠ AFC, \\BE=AF,\end{cases}$
$\therefore △ DEB≌△ CFA(\mathrm{SAS})$.
$\therefore ∠ A=∠ B$，
$\therefore AC// BD$.
【答案】
证明：
$\because DE⊥ AB$，$CF⊥ AB$，
$\therefore ∠ DEB=∠ AFC=90°$.
$\because AE=BF$，
$\therefore AE+EF=BF+EF$，即$AF=BE$.
在$△ DEB$和$△ CFA$中，
$\begin{cases}DE=CF, \\∠ DEB=∠ AFC, \\BE=AF,\end{cases}$
$\therefore △ DEB≌△ CFA(\mathrm{SAS})$.
$\therefore ∠ A=∠ B$，
$\therefore AC// BD$.
【知识点】
全等三角形SAS判定；全等三角形的性质；平行线的判定
【点评】
本题是全等三角形与平行线判定的基础综合题，解题关键是通过已知线段的和差关系推导得到全等判定需要的等边条件，再结合全等性质得到平行判定的角相等条件，能有效巩固基础几何证明的逻辑推导能力。
【难度系数】
0.8

1. 如图，$AD=BC$，要得到$△ ABD$和$△ CDB$全等，可以添加的条件是（）

A.$AB// CD$
B.$AD// BC$
C.$∠ A=∠ C$
D.$∠ ABC=∠ CDA$

1. B

【分析】
要判断△ABD和△CDB全等，首先梳理已知条件：已知AD=BC，且两个三角形有公共边BD=DB，即已有两组对应边相等。根据全等三角形的判定定理，此时要么补充第三组对应边相等（即AB=CD，用SSS判定），要么补充这两组边的夹角相等（即∠ADB=∠CBD，用SAS判定），接下来逐一分析选项，判断哪个选项能推出上述所需的条件即可。
【解析】
在△ABD和△CDB中，已有条件：AD=BC（已知），BD=DB（公共边）。
选项A：若AB//CD，可得∠ABD=∠CDB，此时为两边及其中一边的对角对应相等（SSA），不符合全等三角形的判定规则，无法证明全等，排除；
选项B：若AD//BC，根据“两直线平行，内错角相等”可得∠ADB=∠CBD，此时AD=BC，∠ADB=∠CBD，BD=DB，满足SAS全等判定条件，可证△ABD≌△CDB，符合要求；
选项C：若∠A=∠C，同样属于SSA的情况，不能判定三角形全等，排除；
选项D：若∠ABC=∠CDA，无法推导得到△ABD和△CDB全等所需的对应边或对应角相等的条件，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形SAS判定，平行线的性质
【点评】
本题是全等三角形判定的基础应用题，解题时需先梳理已知的对应边、对应角，再结合选项推导所需的判定条件，注意SSA不能作为三角形全等的判定依据，是本题的易错点。
【难度系数】
0.8

2. 如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为（）

A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$90°$

2. D

【分析】
解题时可结合全等三角形的判定与性质求解：首先观察∠1、∠2分别位于两个直角三角形中，我们先设小正方形的边长为固定值，找到两个三角形对应边的长度关系；再利用SAS判定两个直角三角形全等，得到角的等量关系；最后结合直角三角形两锐角互余的性质，即可求出∠1与∠2的和。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
观察图形可得：∠1所在的直角三角形与∠2所在的直角三角形中，两组直角边对应相等（分别为1和2），且两组边的夹角均为90°，
根据全等三角形判定定理SAS，可证这两个直角三角形全等。
由全等三角形的性质可得：∠1与∠2的余角相等，
又因为直角三角形的两个锐角和为90°，因此∠1 + ∠2 = 90°。
【答案】
D
【知识点】
SAS判定三角形全等；全等三角形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题结合正方形的背景考查全等三角形的判定与性质，解题的核心是准确找到两个全等的直角三角形，通过角的等量代换求出角度和，是几何中角度计算的常见题型。
【难度系数】
0.7

3. 如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=22°，∠2=34°，则∠3=.

3. 56°

【分析】
解题时先观察已知条件：有两组相等的边AB=AC、AD=AE，还有相等的角∠BAC=∠DAE，首先考虑证明三角形全等。先通过等角减去公共角∠DAC，得到∠BAD=∠CAE，即可利用SAS判定△BAD和△CAE全等，得到对应角∠ABD=∠2；再利用三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，即可求出∠3的度数。
【解析】
解：
∵∠BAC=∠DAE
∴∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC，即∠BAD=∠CAE
在△BAD和△CAE中：
$\{\begin{array}{l}AB=AC\\∠BAD=∠CAE\\AD=AE\end{array} $
∴△BAD≌△CAE（SAS）
∴∠ABD=∠2=34°
∵∠3是△ABD的外角
∴∠3=∠1 + ∠ABD = 22° + 34° = 56°
【答案】
56°
【知识点】
SAS判定三角形全等；全等三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是全等三角形与三角形外角性质的综合基础题，解题核心是通过角的和差推导得到全等所需的对应等角，再结合外角性质计算角度，这类题型是几何角度计算的常见考法。
【难度系数】
0.7

4. 如图，$AB=AD$，$AC=AE$，$∠ DAB=∠ EAC$. 求证：$DE=BC$.

4. 证明：
∵∠DAB=∠EAC，
∴∠DAB-∠DAC=∠EAC-∠DAC，即∠EAD=∠CAB. 在△ACB 和△AED 中，$\begin{cases} AB=AD, \\ ∠CAB=∠EAD, \\ AC=AE, \end{cases}$
∴△ACB ≌ △AED（SAS），
∴BC=DE.

【分析】
要证明DE=BC，可通过证明两条线段所在的三角形全等来推导。观察图形可知DE在△AED中，BC在△ACB中，已知AB=AD、AC=AE，还缺少两组对应边的夹角相等的条件。结合已知∠DAB=∠EAC，将两个角同时减去公共角∠DAC，即可得到对应夹角∠EAD=∠CAB，满足SAS全等判定条件，进而可证得△AED≌△ACB，再根据全等三角形对应边相等即可得到结论。
【解析】
证明：
∵∠DAB=∠EAC，
∴∠DAB - ∠DAC = ∠EAC - ∠DAC，即∠EAD=∠CAB。
在△ACB和△AED中：
$\begin{cases}AB=AD, \\∠CAB=∠EAD, \\AC=AE,\end{cases}$
∴△ACB ≌ △AED（SAS），
∴BC=DE，即DE=BC。
【答案】
DE=BC
【知识点】
SAS判定三角形全等；全等三角形的性质
【点评】
本题是三角形全等的基础应用题，解题核心是通过角的和差关系得到全等判定所需的等角条件，再结合SAS判定定理证明三角形全等，熟练掌握全等三角形的判定方法和性质是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.8