5. 如图，点E，F在BC上，BE=FC，AB=DC，∠B=∠C. 求证：∠A=∠D.

5. 证明：
∵BE=FC，
∴BE+EF=CF+EF，即 BF=CE. 在△ABF 和 △DCE 中，$\begin{cases} BF=CE, \\ ∠B=∠C, \\ AB=DC, \end{cases}$
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴∠A=∠D.

【分析】
要证明∠A=∠D，通常可通过证明两个角所在的三角形全等，利用全等三角形对应角相等推导结论。首先观察图形，∠A属于△ABF，∠D属于△DCE，已知AB=DC、∠B=∠C，还缺一组对应边相等的条件。结合已知BE=FC，根据等式性质，在两条相等线段上同时加上公共线段EF，即可得到BF=CE，满足SAS的全等判定条件，证明两个三角形全等后即可推出对应角相等。
【解析】
证明：
∵BE=FC，
∴BE+EF=CF+EF，即 BF=CE。
在△ABF 和 △DCE 中，
$\begin{cases} BF=CE, \\ ∠B=∠C, \\ AB=DC, \end{cases}$
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴∠A=∠D。
【答案】
证明过程如上，可证得∠A=∠D。
【知识点】
SAS判定三角形全等，全等三角形的性质，等式的性质
【点评】
本题是三角形全等判定的基础常规题，核心考察学生对SAS判定定理和全等性质的掌握，解题的关键是通过已知线段相等推导出全等所需的对应边，难度较低，是巩固全等判定基础的典型题。
【难度系数】
0.8

6. 已知在$△ ABC$和$△ ECD$中，$CA=CB$，$CD=CE$，$∠ ACB=∠ DCE=α$，$AE$与$BD$交于点$F$.
（1）如图1，当$α=90°$时，求证：①$△ ACE≌△ BCD$；②$AE⊥ BD$.
（2）如图2，当$α=60°$时，直接写出$∠ AFB$的度数为________.
（3）如图3，直接写出$∠ AFD$的度数为________.（用含$α$的式子表示）

6. （1）证明：
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE，即∠ACE=∠BCD. 在△ACE 和 △BCD 中，$\begin{cases} AC=BC, \\ ∠ACE=∠BCD, \\ CE=CD, \end{cases}$
∴△ACE ≌ △BCD（SAS），
∴∠CAE=∠CBD.
∵∠CAE+∠EAB+∠ABC=90°，
∴∠CBD+∠EAB+∠ABC=90°，
∴∠AFB=90°，
∴AE⊥BD.
（2）60°
（3）180°-α
解答过程：（2）解：
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE，即∠ACE=∠BCD. 在△ACE 和 △BCD 中，$\begin{cases} AC=BC, \\ ∠ACE=∠BCD, \\ CE=CD, \end{cases}$
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠CAE=∠CBD. 又
∵∠CAE+∠EAB+∠ABC=120°，
∴∠CBD+∠EAB+∠ABC =120°，
∴∠AFB=60°.
（3）解：
∵∠ACB = ∠DCE =α，
∴∠ACB + ∠BCE = ∠DCE+∠BCE，即∠ACE=∠BCD. 在△ACE 和 △BCD 中，$\begin{cases} AC=BC, \\ ∠ACE=∠BCD, \\ CE=CD, \end{cases}$
∴△ACE ≌ △BCD（SAS）.
∴∠CAE=∠CBD.
∵∠CAE+∠EAB+∠ABC=180°-α，
∴∠CBD+∠EAB+∠ABC=180°-α.
∴∠AFB=∠ACB=α.
∴∠AFD=180°-α.

【分析】
（1）①要证△ACE≌△BCD，已知两组对应边CA=CB、CD=CE，只需证两边的夹角相等即可，由∠ACB=∠DCE，两个角同时加公共角∠BCE就能得到∠ACE=∠BCD，用SAS即可证全等；②要证AE⊥BD，即证∠AFB=90°，利用全等的对应角相等得到∠CAE=∠CBD，再结合三角形内角和代换角度，即可求出∠AFB=90°，得到垂直结论。
（2）沿用（1）的思路，先证△ACE≌△BCD，得到对应角相等后代换角度，即可求出∠AFB的度数。
（3）将角度推广为一般的α，先按相同方法证全等得到∠AFB=α，再根据邻补角的关系即可求出∠AFD的度数。
【解析】
（1）证明：
①
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE，即∠ACE=∠BCD。
在△ACE和△BCD中：
$\begin{cases} AC=BC, \\ ∠ACE=∠BCD, \\ CE=CD, \end{cases}$
∴△ACE ≌ △BCD（SAS）。
②由①得△ACE≌△BCD，
∴∠CAE=∠CBD。
∵∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°，即∠CAE+∠EAB+∠ABC=90°，
将∠CAE替换为∠CBD可得：∠CBD+∠EAB+∠ABC=90°，即∠FAB+∠FBA=90°，
在△AFB中，∠AFB=180°-(∠FAB+∠FBA)=90°，
∴AE⊥BD。
（2）解：
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE，即∠ACE=∠BCD。
在△ACE和△BCD中：
$\begin{cases} AC=BC, \\ ∠ACE=∠BCD, \\ CE=CD, \end{cases}$
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠CAE=∠CBD。
∵∠ACB=60°，
∴∠CAB+∠ABC=180°-60°=120°，即∠CAE+∠EAB+∠ABC=120°，
替换∠CAE为∠CBD可得：∠CBD+∠EAB+∠ABC=120°，即∠FAB+∠FBA=120°，
∴∠AFB=180°-120°=60°。
（3）解：
∵∠ACB = ∠DCE =α，
∴∠ACB + ∠BCE = ∠DCE+∠BCE，即∠ACE=∠BCD。
在△ACE和△BCD中：
$\begin{cases} AC=BC, \\ ∠ACE=∠BCD, \\ CE=CD, \end{cases}$
∴△ACE ≌ △BCD（SAS），
∴∠CAE=∠CBD。
∵∠ACB=α，
∴∠CAB+∠ABC=180°-α，即∠CAE+∠EAB+∠ABC=180°-α，
替换∠CAE为∠CBD可得：∠CBD+∠EAB+∠ABC=180°-α，即∠FAB+∠FBA=180°-α，
∴∠AFB=180°-(180°-α)=α，
∵∠AFD与∠AFB互为邻补角，
∴∠AFD=180°-∠AFB=180°-α。
【答案】
（1）①②均得证；（2）$\boxed{60°}$；（3）$\boxed{180°-α}$
【知识点】
SAS判定三角形全等；全等三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是手拉手全等模型的典型习题，从特殊角度到一般角度递进考查，解题核心是通过等角加公共角得到全等所需的夹角相等，证明全等后再进行角度代换计算，掌握手拉手全等模型的特征可有效提升解题效率。
【难度系数】
0.6

7. (2025·广州) 如图，$BA=BE$，$∠ 1=∠ 2$，$BC=BD$. 求证：$△ ABC≌ △ EBD$. 第7题图

7. 证明：
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠EBC=∠2+∠EBC，
∴∠ABC=∠EBD，在△ABC 和△EBD 中，$\begin{cases} AB=EB, \\ ∠ABC=∠EBD, \\ BC=BD, \end{cases}$
∴△ABC≌△EBD（SAS）.

【分析】
要证明△ABC≌△EBD，首先梳理已知条件：题目已给出两组对应边相等，即BA=BE，BC=BD。根据三角形全等的SAS判定定理，只需再证明这两组边的夹角∠ABC和∠EBD相等即可。已知∠1=∠2，两个角同时加上公共角∠EBC，根据等式的性质可推出∠ABC=∠EBD，满足SAS的判定条件，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠EBC=∠2+∠EBC，
∴∠ABC=∠EBD，
在△ABC 和△EBD 中，
$\begin{cases} AB=EB, \\ ∠ABC=∠EBD, \\ BC=BD, \end{cases}$
∴△ABC≌△EBD（SAS）。
【答案】
△ABC≌△EBD，证明过程见解析。
【知识点】
角的和差运算，全等三角形SAS判定
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题型，解题的关键是通过等角加公共角推导出两组对应边的夹角相等，结合已知的边相等条件即可用SAS判定全等，掌握全等三角形的判定定理是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.85