1. 计算$(ab^2)^2$的结果正确的是（）

A.$a^2b^2$
B.$a^2b^4$
C.$2a^2b^4$
D.$2ab^2$

1. B

【分析】
这道题考查积的乘方与幂的乘方的运算，解题思路如下：首先回忆相关运算法则，第一步用积的乘方法则，把积中的每个因式分别乘方，即分别计算$a$的2次方和$b^2$的2次方；第二步计算$b^2$的2次方时，用幂的乘方法则，底数不变、指数相乘，最后将两个结果相乘得到最终答案，再匹配选项即可。
【解析】
根据积的乘方运算法则$(xy)^n=x^n y^n$，可得：
$(ab^2)^2 = a^2 · (b^2)^2$
再根据幂的乘方运算法则$(x^m)^n=x^{mn}$，计算$(b^2)^2$：
$(b^2)^2 = b^{2×2}=b^4$
因此$(ab^2)^2=a^2b^4$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
积的乘方运算；幂的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心是对幂的运算法则的掌握，解题时要注意区分不同幂运算的指数计算规则，不要误加系数或者算错指数。
【难度系数】
0.9

2. 下列运算正确的是（）

A.$a^3 + a^3 = a^6$
B.$(-a^2)^3 = a^6$
C.$(ab)^2 = ab^2$
D.$a^3 · a^2 = a^5$

2. D

【分析】
本题考查整式的幂相关运算，解题时需逐一根据对应运算法则验证每个选项的正误，最终选出正确答案。首先回忆相关运算法则：1.合并同类项：同类项系数相加，字母和字母指数不变；2.幂的乘方：底数不变，指数相乘，注意负数奇次幂为负；3.积的乘方：将积的每个因式分别乘方，再将所得幂相乘；4.同底数幂相乘：底数不变，指数相加。结合上述法则逐个判断选项即可。
【解析】
我们对每个选项分别验证：
选项A：属于合并同类项运算，$a^3+a^3=(1+1)a^3=2a^3≠ a^6$，运算错误；
选项B：属于幂的乘方运算，$(-a^2)^3=(-1)^3×(a^2)^3=-a^{2×3}=-a^6≠ a^6$，运算错误；
选项C：属于积的乘方运算，$(ab)^2=a^2b^2≠ ab^2$，运算错误；
选项D：属于同底数幂的乘法运算，$a^3· a^2=a^{3+2}=a^5$，运算正确。
【答案】
D
【知识点】
合并同类项；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法
【点评】
本题属于幂运算的基础考查题，核心是区分不同幂运算的法则，解题时需注意避免指数运算混淆、符号判断错误、积的乘方漏乘因式等常见失误，熟练掌握基础运算法则是得分关键。
【难度系数】
0.8

3. 若$3x+y-8=0$，则$8^x· 2^y$的结果是.

3. 256

【分析】
解题时先观察所求式子的两个乘方项底数不同，首先要统一底数：因为8是2的3次方，可利用幂的乘方性质把$8^x$转化为底数为2的幂，再根据同底数幂的乘法法则将两个乘方项合并，此时指数恰好是已知等式中的$3x+y$，再从已知等式求出$3x+y$的值，整体代入计算即可得到结果。
【解析】
解：$\because 8=2^3$
$\therefore 8^x=(2^3)^x=2^{3x}$（幂的乘方，底数不变，指数相乘）
$\therefore 8^x· 2^y=2^{3x}· 2^y=2^{3x+y}$（同底数幂相乘，底数不变，指数相加）
已知$3x+y-8=0$，移项可得$3x+y=8$
将$3x+y=8$代入得：$2^{3x+y}=2^8=256$
【答案】
256
【知识点】
幂的乘方运算，同底数幂的乘法，整体代入求值
【点评】
本题考查幂的运算性质的综合应用，解题核心是将不同底数的幂转化为同底数幂，再结合已知条件整体代入指数求值，是幂运算章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.8

4. 计算：$8^6 × (-\dfrac{1}{2})^{17} =$ .

4. -2

【分析】观察算式中两个幂的底数8和$-\dfrac{1}{2}$，二者都可转化为以2为底的幂的形式，解题思路如下：第一步利用幂的乘方法则将$8^6$转化为以2为底的幂；第二步根据负数奇次幂的符号性质处理$(-\dfrac{1}{2})^{17}$的符号，再将算式变形为符合积的乘方逆运算的形式，最后利用相关法则计算即可得到结果。
【解析】
解：先统一底数为2：
$\because 8=2^3$，根据幂的乘方法则（底数不变，指数相乘）可得：
$8^6=(2^3)^6=2^{3×6}=2^{18}$
再处理第二个幂的符号：
$\because 17$是奇数，$\therefore (-\dfrac{1}{2})^{17}=-(\dfrac{1}{2})^{17}$
将上述结果代入原式：
$\begin{aligned}原式&=2^{18}× [-(\dfrac{1}{2})^{17}]\\&=-2^{18}× (\dfrac{1}{2})^{17}\\&=-2× 2^{17}× (\dfrac{1}{2})^{17}\end{aligned}$
根据积的乘方逆运算$a^nb^n=(ab)^n$：
$\begin{aligned}原式&=-2× (2× \dfrac{1}{2})^{17}\\&=-2× 1^{17}\\&=-2×1\\&=-2\end{aligned}$
【答案】$\boldsymbol{-2}$
【知识点】幂的乘方运算；积的乘方逆运算；乘方的符号法则
【点评】本题考查幂的运算法则的灵活应用，解题核心是统一幂的底数，合理拆分指数构造积的乘方的运算形式，计算时需特别注意负数奇次幂的符号问题，避免符号错误。
【难度系数】0.7

5. 计算：
(1) $a^3 · a · a^4 + (-2a^4)^2 + (a^2)^4$；
(2) $(-a^2)^3 · a^3 + (-a)^2 · a^7 -5(a^3)^3$；
(3) $(-2x^2)^3 + x^2 · x^4 - (-3x^3)^2$；
(4) $(-2x^2y)^3 + (-x^3)^2(-y)^2y$。

(1) $6a^8$ (2) $-5a^9$ (3) $-16x^6$ (4) $-7x^6y^3$

【分析】
这几道题是幂的运算法则的综合计算题，解题思路为：严格按照运算顺序计算，先算乘方运算（包含幂的乘方、积的乘方），再算同底数幂的乘法运算，最后合并同类项得到结果。计算过程中要重点注意负数参与乘方运算时的符号判断，不要混淆不同幂运算的法则。
【解析】
(1) 分别计算各项：
同底数幂相乘：$a^3 · a · a^4 = a^{3+1+4} = a^8$
积的乘方：$(-2a^4)^2 = (-2)^2 · (a^4)^2 = 4a^8$
幂的乘方：$(a^2)^4 = a^{2×4} = a^8$
合并同类项：$a^8 + 4a^8 + a^8 = 6a^8$
(2) 分别计算各项：
先算乘方再算乘法：$(-a^2)^3 · a^3 = (-1)^3 · (a^2)^3 · a^3 = -a^6 · a^3 = -a^9$
先算乘方再算乘法：$(-a)^2 · a^7 = a^2 · a^7 = a^9$
幂的乘方：$-5(a^3)^3 = -5a^{3×3} = -5a^9$
合并同类项：$-a^9 + a^9 - 5a^9 = -5a^9$
(3) 分别计算各项：
积的乘方：$(-2x^2)^3 = (-2)^3 · (x^2)^3 = -8x^6$
同底数幂相乘：$x^2 · x^4 = x^{2+4} = x^6$
先算乘方再去括号：$- (-3x^3)^2 = -[(-3)^2 · (x^3)^2] = -9x^6$
合并同类项：$-8x^6 + x^6 -9x^6 = -16x^6$
(4) 分别计算各项：
积的乘方：$(-2x^2y)^3 = (-2)^3 · (x^2)^3 · y^3 = -8x^6y^3$
先算乘方再算乘法：$(-x^3)^2(-y)^2y = x^6 · y^2 · y = x^6y^3$
合并同类项：$-8x^6y^3 + x^6y^3 = -7x^6y^3$
【答案】
(1) $6a^8$；(2) $-5a^9$；(3) $-16x^6$；(4) $-7x^6y^3$
【知识点】
同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方
【点评】
这组题目属于幂运算的基础综合题，核心考查各类幂运算的法则应用，解题时要注意运算顺序，尤其要注意负数乘方的符号处理，熟练掌握法则就能顺利解题。
【难度系数】
0.7

6. 若 $ a^m = a^n $（$ a＞0 $ 且 $ a≠1 $，$ m $，$ n $ 是正整数），则 $ m=n $. 利用上述结论解决下面的问题.
(1) 如果 $ 8^x = 2^6 $，求 $ x $ 的值.
(2) 如果 $ 2^{x+2} + 2^{x+1} = 24 $，求 $ x $ 的值.
(3) 若 $ x=5^m - 3 $，$ y=4 - 25^m $，用含 $ x $ 的代数式表示 $ y $.

6. 解：(1) $8^x=(2^3)^x=2^{3x}=2^6$，$\therefore 3x=6$，解得 $x=2$.
(2) $\because 2^{x+2}+2^{x+1}=24$，$\therefore 2^x(2^2+2)=24$，$\therefore 2^x=4$，$\therefore x=2$.
(3) $\because x=5^m-3$，$\therefore 5^m=x+3$，$\because y=4-25^m=4-(5^2)^m=4-(5^m)^2=4-(x+3)^2$，$\therefore y=-x^2-6x-5$.

【分析】
本题需结合题干给出的“同底数幂相等则对应指数相等”的结论，搭配幂的运算性质逐步求解：
(1) 先把底数8转化为$2^3$，利用幂的乘方法则将$8^x$化为以2为底的幂，再根据同底数幂相等则指数相等列方程求解x；
(2) 逆用同底数幂的乘法法则，把$2^{x+2}$、$2^{x+1}$拆分为含$2^x$的形式，提取公因式$2^x$后求出$2^x$的取值，再转化为同底数幂相等的形式求解x；
(3) 先从x的表达式中推导得到$5^m=x+3$，再把$25^m$转化为$(5^m)^2$，用$x+3$整体替换$5^m$，整理后即可得到y关于x的代数式。
【解析】
(1) 将8变形为$2^3$，可得：
$8^x=(2^3)^x=2^{3x}$
已知$8^x=2^6$，因此$2^{3x}=2^6$，根据题干结论可得$3x=6$，解得$x=2$。
(2) 对等式左边逆用同底数幂的乘法法则拆分：
$2^{x+2}=2^x×2^2$，$2^{x+1}=2^x×2^1$
原式可变形为：
$2^x×2^2 + 2^x×2^1=24$
提取公因式$2^x$得：$2^x(4+2)=24$，即$6×2^x=24$，解得$2^x=4=2^2$，根据题干结论得$x=2$。
(3) 由$x=5^m-3$，移项可得$5^m=x+3$；
又$25^m=(5^2)^m=(5^m)^2$，代入y的表达式得：
$y=4-25^m=4-(5^m)^2$
将$5^m=x+3$整体代入，展开整理得：
$y=4-(x+3)^2=4-(x^2+6x+9)=-x^2-6x-5$
【答案】
(1) $x=2$；(2) $x=2$；(3) $y=-x^2-6x-5$
【知识点】
幂的乘方运算，同底数幂乘法，整体代换
【点评】
本题重点考查幂的运算性质的灵活运用，解题核心是熟练掌握幂的相关运算法则，能根据式子特征对幂的形式进行合理转化，第三问用到的整体代换思想，能有效提升幂运算的综合应用能力。
【难度系数】
0.7