7. 定义：如果$2^m=n$（m，n为正数），那么我们把m叫作n的D数，记作$m=D(n)$。
（1）根据D数的定义，填空：$D(2)=$，$D(16)=$。
（2）D数有如下运算性质：$D(s· t)=D(s)+D(t)$，$D(\frac{q}{p})=D(q)-D(p)$，其中$q＞p$。
根据运算性质，计算：
①若$D(a)=1$，求$D(a^3)$；
②若已知$D(3)=2a-b$，$D(5)=a+c$，试求$D(15)$，$D(\frac{5}{3})$，$D(108)$，$D(\frac{27}{20})$的值。（用a，b，c表示）

7. 解：（1）$\because 2^1=2$，$\therefore D(2)=1$，$\because 2^4=16$，$\therefore D(16)=4$，故答案为 1；4.
（2）①$\because 2^1=a$，$\therefore a=2$，$\therefore 2^3=2^3$. $\therefore D(a^3)=3$.
②$D(15)=D(3×5)=D(3)+D(5)=(2a-b)+(a+c)=3a-b+c$.
$D(\dfrac{5}{3})=D(5)-D(3)=(a+c)-(2a-b)=-a+b+c$.
$D(108)=D(3×3×3×2×2)=D(3)+D(3)+D(3)+D(2)+D(2)=3×D(3)+2×D(2)=3×(2a-b)+2×1=6a-3b+2$.
$D(\dfrac{27}{20})=D(27)-D(20)=D(3×3×3)-D(5×2×2)=D(3)+D(3)+D(3)-[D(5)+D(2)+D(2)]=3×D(3)-[D(5)+2D(2)]=3(2a-b)-(a+c+2×1)=6a-3b-a-c-2=5a-3b-c-2$.

【分析】
本题是新定义类运算题，解题首先要准确理解D数的定义：若$2^m=n$，则$m=D(n)$，本质是寻找使2的乘方结果为$n$的指数。（1）问直接根据定义，找到2的几次方等于对应数值即可得到答案；（2）问结合题目给出的D数运算性质：乘积的D数等于D数之和、商的D数等于D数之差，先将所求D数对应的数值拆分为已知D数的数的乘积或商的形式，再代入对应D数的代数式，最后通过整式加减化简得到结果。
【解析】
（1）根据D数的定义：若$2^m=n$，则$D(n)=m$。
$\because 2^1=2$，$\therefore D(2)=1$；
$\because 2^4=16$，$\therefore D(16)=4$。
（2）①$\because D(a)=1$，根据定义得$2^1=a$，即$a=2$，
$\therefore a^3=2^3$，结合D数定义可得$D(a^3)=3$。
②根据D数的运算性质计算：
$D(15)=D(3×5)=D(3)+D(5)$，代入$D(3)=2a-b$，$D(5)=a+c$，
得原式$=(2a-b)+(a+c)=3a-b+c$；
$D(\frac{5}{3})=D(5)-D(3)$，代入已知得原式$=(a+c)-(2a-b)=-a+b+c$；
把108拆分为$108=3^3×2^2$，
$\therefore D(108)=3D(3)+2D(2)$，代入$D(3)=2a-b$，$D(2)=1$，
得原式$=3(2a-b)+2×1=6a-3b+2$；
把$\frac{27}{20}$拆分为$\frac{27}{20}=\frac{3^3}{5×2^2}$，
$\therefore D(\frac{27}{20})=3D(3)-[D(5)+2D(2)]$，代入已知值，
得原式$=3(2a-b)-(a+c+2×1)=6a-3b-a-c-2=5a-3b-c-2$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{1}$；$\boldsymbol{4}$
（2）①$\boldsymbol{3}$；
②$D(15)=\boldsymbol{3a-b+c}$，$D(\frac{5}{3})=\boldsymbol{-a+b+c}$，$D(108)=\boldsymbol{6a-3b+2}$，$D(\frac{27}{20})=\boldsymbol{5a-3b-c-2}$
【知识点】
新定义运算，幂的运算性质，整式加减
【点评】
本题属于新定义运算类基础题，核心考查对新定义规则的理解和迁移应用能力，解题的关键是灵活运用题目给出的运算性质，将所求D数对应的数合理拆分为已知D数的数的乘积或商，计算过程中注意整式加减的符号规则即可顺利求解。
【难度系数】
0.7

8. (2025·上海) 下列运算中，正确的是（）

A.$m^3 + m^3 = 2m^3$
B.$m^3 + m^3 = m^6$
C.$m^3 · m^3 = m^9$
D.$(m^3)^3 = m^6$

8. A

【分析】
这道题考查整式的相关运算，解题时需要先明确每个选项对应的运算类型，再匹配对应的运算法则逐一验证：①合并同类项的法则是系数相加，字母和字母的指数不变；②同底数幂相乘，底数不变，指数相加；③幂的乘方，底数不变，指数相乘。我们逐个分析四个选项即可选出正确答案。
【解析】
对每个选项逐一判断：
A选项：$m^3$和$m^3$是同类项，合并同类项时系数相加，字母和指数不变，即$m^3+m^3=(1+1)m^3=2m^3$，该选项运算正确。
B选项：合并同类项时指数不变，不是指数相加，正确结果为$2m^3$，不是$m^6$，该选项运算错误。
C选项：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$m^3·m^3=m^{3+3}=m^6$，不是$m^9$，该选项运算错误。
D选项：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即$(m^3)^3=m^{3×3}=m^9$，不是$m^6$，该选项运算错误。
综上，正确的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是区分不同整式运算的法则差异，不要混淆各类运算中指数的计算规则，熟练掌握基础运算法则即可快速解题。
【难度系数】
0.9

9. (2025·长春) 下列计算一定正确的是（）

A.$a+2a=3a$
B.$a· a^2=a^2$
C.$a+a=a^2$
D.$(2a)^2=2a^2$

9. A

【分析】
这道题考查整式基础运算的正误判断，解题思路是逐个对选项运用对应的运算法则计算，排除错误选项即可得到答案。解题时先回忆合并同类项、同底数幂乘法、积的乘方的运算规则，逐一验证每个选项：同类项合并时只把系数相加减，字母和字母的指数不变；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；积的乘方要把积里的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
选项A：$a$和$2a$是同类项，合并同类项时系数相加，字母及指数不变，即$a+2a=(1+2)a=3a$，该运算正确。
选项B：根据同底数幂的乘法法则，$a·a^2=a^{1+2}=a^3≠ a^2$，该运算错误。
选项C：$a+a$是合并同类项，计算得$a+a=2a≠ a^2$，该运算错误。
选项D：根据积的乘方法则，$(2a)^2=2^2·a^2=4a^2≠ 2a^2$，该运算错误。
综上只有A选项运算正确。
【答案】
A
【知识点】
合并同类项；同底数幂的乘法；积的乘方
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心是对各类基本运算法则的识记和区分，只要熟练掌握不同运算的规则，避开易混淆的运算误区就能快速得分。
【难度系数】
0.9

10. (2025·徐州) 下列运算正确的是 ()

A.$3a^2 - 2a^2 =1$
B.$(a^2)^3 =a^5$
C.$(3a)^2=6a^2$
D.$a^2 · a^4 =a^6$

10. D

【分析】
本题考查整式的幂相关运算，解题时需依次对每个选项对应相应的运算规则判断正误：首先回忆四类运算的核心法则：1.合并同类项：同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变；2.幂的乘方：底数不变，指数相乘；3.积的乘方：将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；4.同底数幂相乘：底数不变，指数相加。逐一验证选项即可选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$3a^2-2a^2$属于合并同类项，只需将系数相减，字母和指数不变，计算得$3a^2-2a^2=(3-2)a^2=a^2≠1$，故A错误；
B选项：$(a^2)^3$属于幂的乘方运算，底数$a$不变，指数相乘，计算得$(a^2)^3=a^{2×3}=a^6≠a^5$，故B错误；
C选项：$(3a)^2$属于积的乘方运算，需将3和$a$分别平方后相乘，计算得$(3a)^2=3^2×a^2=9a^2≠6a^2$，故C错误；
D选项：$a^2·a^4$属于同底数幂的乘法运算，底数$a$不变，指数相加，计算得$a^2·a^4=a^{2+4}=a^6$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
合并同类项；幂的乘方运算；同底数幂的乘法
【点评】
本题为基础运算类考题，核心考查对幂相关运算法则的记忆与应用能力，解题的关键是区分不同运算中指数的计算规则、系数的处理方式，避免混淆各类法则导致错误。
【难度系数】
0.8