登录
【知识点1】分式方程的定义
○分母中含有
○分母中含有
未知数
的方程叫作分式方程。答案
未知数
解析
【分析】
本题考查分式方程的基础定义识记。解题时可先回忆整式方程和分式方程的区别，整式方程的分母不含未知数，而分式方程的核心判定依据就是分母中含有的特殊项，直接结合教材给出的分式方程定义就能得出答案。
【解析】
根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫作分式方程，因此横线处应填入“未知数”。
【答案】
未知数
【知识点】
分式方程的定义
【点评】
本题属于基础概念类题目，是分式方程模块的入门考点，侧重对核心定义的记忆和理解，熟练掌握概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查分式方程的基础定义识记。解题时可先回忆整式方程和分式方程的区别，整式方程的分母不含未知数，而分式方程的核心判定依据就是分母中含有的特殊项，直接结合教材给出的分式方程定义就能得出答案。
【解析】
根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫作分式方程，因此横线处应填入“未知数”。
【答案】
未知数
【知识点】
分式方程的定义
【点评】
本题属于基础概念类题目，是分式方程模块的入门考点，侧重对核心定义的记忆和理解，熟练掌握概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
1. 下列方程中，是分式方程的是（
A.$\frac{1}{3}+\frac{x}{2}=1$
B.$x+\frac{1}{x}=2$
C.$2x=x-5$
D.$x-4y=1$
B
）A.$\frac{1}{3}+\frac{x}{2}=1$
B.$x+\frac{1}{x}=2$
C.$2x=x-5$
D.$x-4y=1$
答案
1. B
解析
【分析】
要判断哪个选项是分式方程，首先需明确分式方程的核心判定标准：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。解题时只需逐个检查每个选项的方程分母是否含有未知数，排除分母为常数、不含未知数的整式方程，即可选出正确答案。
【解析】
根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程为分式方程，对各选项逐一分析：
A. 方程$\frac{1}{3}+\frac{x}{2}=1$的分母是3和2，均为常数，不含未知数，属于整式方程，不符合要求；
B. 方程$x+\frac{1}{x}=2$的分母是$x$，含有未知数，符合分式方程的定义；
C. 方程$2x=x-5$无分母，是整式方程中的一元一次方程，不符合要求；
D. 方程$x-4y=1$是整式方程中的二元一次方程，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1.分式方程的定义
2.整式方程的识别
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是抓住分式方程的判定核心，注意不要将分母仅含常数的整式方程误认为分式方程，掌握基础概念即可快速得分。
【难度系数】
0.9
要判断哪个选项是分式方程，首先需明确分式方程的核心判定标准：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。解题时只需逐个检查每个选项的方程分母是否含有未知数，排除分母为常数、不含未知数的整式方程，即可选出正确答案。
【解析】
根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程为分式方程，对各选项逐一分析：
A. 方程$\frac{1}{3}+\frac{x}{2}=1$的分母是3和2，均为常数，不含未知数，属于整式方程，不符合要求；
B. 方程$x+\frac{1}{x}=2$的分母是$x$，含有未知数，符合分式方程的定义；
C. 方程$2x=x-5$无分母，是整式方程中的一元一次方程，不符合要求；
D. 方程$x-4y=1$是整式方程中的二元一次方程，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1.分式方程的定义
2.整式方程的识别
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是抓住分式方程的判定核心，注意不要将分母仅含常数的整式方程误认为分式方程，掌握基础概念即可快速得分。
【难度系数】
0.9
2. 在①$\frac{3x+2}{3}=5$；②$\frac{1}{3}(x-1)+\frac{1}{2}(x+1)=4$；③$-\frac{2}{x}=1$；④$\frac{2}{x}+\frac{3x+7}{x}=-1$；⑤$\frac{1}{x}(3x-7)$中，分式方程有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
2. B
解析
【分析】
解题时首先要明确分式方程的判定标准，需同时满足两个条件：一是属于方程（即含有未知数的等式，要有等号）；二是分母中含有未知数。接下来我们逐个对给出的5个式子进行判定，统计符合条件的个数即可得到正确选项。
【解析】
解：根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程，逐个分析如下：
①$\frac{3x+2}{3}=5$：分母为常数3，不含未知数，属于一元一次方程，不是分式方程；
②$\frac{1}{3}(x-1)+\frac{1}{2}(x+1)=4$：分母为常数3和2，不含未知数，属于一元一次方程，不是分式方程；
③$-\frac{2}{x}=1$：是含有未知数的等式（方程），且分母含未知数x，属于分式方程；
④$\frac{2}{x}+\frac{3x+7}{x}=-1$：是含有未知数的等式（方程），且分母含未知数x，属于分式方程；
⑤$\frac{1}{x}(3x-7)$：没有等号，只是代数式，不属于方程，自然不是分式方程。
综上，是分式方程的有③和④，共2个，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的定义；方程的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，解题核心是牢牢抓住分式方程的两个判定要点，不要遗漏“是方程”这个前提条件，也不要把分母为常数的整式方程错判为分式方程。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确分式方程的判定标准，需同时满足两个条件：一是属于方程（即含有未知数的等式，要有等号）；二是分母中含有未知数。接下来我们逐个对给出的5个式子进行判定，统计符合条件的个数即可得到正确选项。
【解析】
解：根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程，逐个分析如下：
①$\frac{3x+2}{3}=5$：分母为常数3，不含未知数，属于一元一次方程，不是分式方程；
②$\frac{1}{3}(x-1)+\frac{1}{2}(x+1)=4$：分母为常数3和2，不含未知数，属于一元一次方程，不是分式方程；
③$-\frac{2}{x}=1$：是含有未知数的等式（方程），且分母含未知数x，属于分式方程；
④$\frac{2}{x}+\frac{3x+7}{x}=-1$：是含有未知数的等式（方程），且分母含未知数x，属于分式方程；
⑤$\frac{1}{x}(3x-7)$：没有等号，只是代数式，不属于方程，自然不是分式方程。
综上，是分式方程的有③和④，共2个，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的定义；方程的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，解题核心是牢牢抓住分式方程的两个判定要点，不要遗漏“是方程”这个前提条件，也不要把分母为常数的整式方程错判为分式方程。
【难度系数】
0.8
1. 已知关于x的分式方程$\frac{m}{x-1}=1$的解是非负数，则m的取值范围是（
A.$m≥1$
B.$m≤1$
C.$m≥-1$且$m≠0$
D.$m≥-1$
C
）A.$m≥1$
B.$m≤1$
C.$m≥-1$且$m≠0$
D.$m≥-1$
答案
1. C
解析
【分析】
要确定m的取值范围，首先需要把分式方程转化为整式方程，用含m的代数式表示出方程的解，再结合两个约束条件计算：一是方程的解是非负数，二是分式的分母不能为0（避免出现增根，保证原方程有意义），最后取两个不等式解集的公共部分即可得到m的取值范围。
【解析】
第一步：求解分式方程，用含m的式子表示x
给方程$\frac{m}{x-1}=1$两边同时乘以最简公分母$x-1$（注意$x≠1$），得：
$m = x - 1$
移项可得：$x = m + 1$
第二步：根据“解是非负数”列不等式
因为方程的解是非负数，所以$x ≥ 0$，代入$x=m+1$得：
$m + 1 ≥ 0$
解得：$m ≥ -1$
第三步：根据“分式有意义，分母不为0”列不等式
原方程分母为$x-1$，因此$x - 1 ≠ 0$，即$x ≠ 1$，代入$x=m+1$得：
$m + 1 ≠ 1$
解得：$m ≠ 0$
综上，m的取值范围是$m≥-1$且$m≠0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的解；解一元一次不等式；分式有意义的条件
【点评】
本题属于分式方程解的应用类基础题，易错点是容易忽略分式分母不能为0的隐含条件，仅根据解是非负数得到$m≥-1$而错选D，解题时要注意分式方程的解必须保证原方程有意义。
【难度系数】
0.6
要确定m的取值范围，首先需要把分式方程转化为整式方程，用含m的代数式表示出方程的解，再结合两个约束条件计算：一是方程的解是非负数，二是分式的分母不能为0（避免出现增根，保证原方程有意义），最后取两个不等式解集的公共部分即可得到m的取值范围。
【解析】
第一步：求解分式方程，用含m的式子表示x
给方程$\frac{m}{x-1}=1$两边同时乘以最简公分母$x-1$（注意$x≠1$），得：
$m = x - 1$
移项可得：$x = m + 1$
第二步：根据“解是非负数”列不等式
因为方程的解是非负数，所以$x ≥ 0$，代入$x=m+1$得：
$m + 1 ≥ 0$
解得：$m ≥ -1$
第三步：根据“分式有意义，分母不为0”列不等式
原方程分母为$x-1$，因此$x - 1 ≠ 0$，即$x ≠ 1$，代入$x=m+1$得：
$m + 1 ≠ 1$
解得：$m ≠ 0$
综上，m的取值范围是$m≥-1$且$m≠0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的解；解一元一次不等式；分式有意义的条件
【点评】
本题属于分式方程解的应用类基础题，易错点是容易忽略分式分母不能为0的隐含条件，仅根据解是非负数得到$m≥-1$而错选D，解题时要注意分式方程的解必须保证原方程有意义。
【难度系数】
0.6
2. 若关于$x$的方程$\frac{3}{x-2} - \frac{kx -1}{x-2}=1$无解，则$k$的值为
2或-1
。答案
2. 2或-1
解析
【分析】
分式方程无解有两种情况：一是去分母后得到的整式方程本身无解；二是整式方程的解是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的未知数的值）。解题时先把分式方程转化为整式方程，再分这两种情况讨论即可求出k的值。
【解析】
解：原方程两边同乘最简公分母$x-2$（此时$x≠2$），去分母得：
$3 - (kx - 1) = x - 2$
去括号：$3 - kx + 1 = x - 2$
移项合并同类项得：$(k + 1)x = 6$
分两种情况讨论：
① 当整式方程无解时，一次项系数为0，即$k + 1 = 0$，解得$k = -1$，此时方程变为$0× x=6$，等式不成立，整式方程无解，故原分式方程无解，符合题意；
② 当整式方程的解是原分式方程的增根时，增根为$x=2$（令分母$x-2=0$可得），将$x=2$代入$(k + 1)x = 6$得：
$2(k + 1) = 6$，解得$k=2$。
综上，k的值为2或-1。
【答案】
2或-1
【知识点】
分式方程的增根；分式方程无解的判定；一元一次方程的解法
【点评】
本题是分式方程无解类的典型考题，解题关键是明确分式方程无解的两种情形，需要分类讨论，避免遗漏整式方程本身无解的情况。
【难度系数】
0.6
分式方程无解有两种情况：一是去分母后得到的整式方程本身无解；二是整式方程的解是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的未知数的值）。解题时先把分式方程转化为整式方程，再分这两种情况讨论即可求出k的值。
【解析】
解：原方程两边同乘最简公分母$x-2$（此时$x≠2$），去分母得：
$3 - (kx - 1) = x - 2$
去括号：$3 - kx + 1 = x - 2$
移项合并同类项得：$(k + 1)x = 6$
分两种情况讨论：
① 当整式方程无解时，一次项系数为0，即$k + 1 = 0$，解得$k = -1$，此时方程变为$0× x=6$，等式不成立，整式方程无解，故原分式方程无解，符合题意；
② 当整式方程的解是原分式方程的增根时，增根为$x=2$（令分母$x-2=0$可得），将$x=2$代入$(k + 1)x = 6$得：
$2(k + 1) = 6$，解得$k=2$。
综上，k的值为2或-1。
【答案】
2或-1
【知识点】
分式方程的增根；分式方程无解的判定；一元一次方程的解法
【点评】
本题是分式方程无解类的典型考题，解题关键是明确分式方程无解的两种情形，需要分类讨论，避免遗漏整式方程本身无解的情况。
【难度系数】
0.6
【知识点3】解分式方程
◎解分式方程的一般过程如下：
（红色框内内容）
分式方程 ——去分母→ 整式方程
（箭头：从$x=m$指向分式方程，标注“目标”，虚线）
解整式方程
$x=m$（标注“图1”）
检验
最简公分母不为0 → $x=m$是分式方程的解
最简公分母为0 → $x=m$不是分式方程的解
解方程 $\frac{1}{x-1}+3=\frac{3x}{1-x}$，去分母，两边同乘 $(x-1)$ 后的式子为（
A.$1+3=3x(1-x)$
B.$1+3(x-1)=-3x$
C.$x-1+3=-3x$
D.$1+3(x-1)=3x$
◎解分式方程的一般过程如下：
（红色框内内容）
分式方程 ——去分母→ 整式方程
（箭头：从$x=m$指向分式方程，标注“目标”，虚线）
解整式方程
$x=m$（标注“图1”）
检验
最简公分母不为0 → $x=m$是分式方程的解
最简公分母为0 → $x=m$不是分式方程的解
解方程 $\frac{1}{x-1}+3=\frac{3x}{1-x}$，去分母，两边同乘 $(x-1)$ 后的式子为（
B
）A.$1+3=3x(1-x)$
B.$1+3(x-1)=-3x$
C.$x-1+3=-3x$
D.$1+3(x-1)=3x$
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，核心是掌握分式方程去分母的规则，思考步骤如下：首先明确去分母的依据是等式的基本性质，给方程两边每一项都乘以最简公分母，绝对不能漏乘不含分母的项；其次要注意分母$1-x$和$x-1$互为相反数，计算时要处理好符号变化，按照这两个规则推导就能得到正确的去分母后的式子。
【解析】
已知原方程为$\frac{1}{x-1}+3=\frac{3x}{1-x}$，给两边同时乘以$(x-1)$：
1. 左边第一项$\frac{1}{x-1}×(x-1)=1$，约去分母得到1；
2. 左边的常数项3不能漏乘，$3×(x-1)=3(x-1)$；
3. 右边的分母$1-x=-(x-1)$，因此$\frac{3x}{1-x}×(x-1)=\frac{3x}{-(x-1)}×(x-1)=-3x$。
整理后得到式子：$1+3(x-1)=-3x$。
【答案】
B
【知识点】
分式方程去分母；等式的基本性质；分式符号法则
【点评】
本题是分式方程的基础题型，主要考查去分母的操作规范，易错点为漏乘常数项、忽略互为相反数的分母带来的符号变化，熟练掌握去分母的基本要求就能快速得分。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，核心是掌握分式方程去分母的规则，思考步骤如下：首先明确去分母的依据是等式的基本性质，给方程两边每一项都乘以最简公分母，绝对不能漏乘不含分母的项；其次要注意分母$1-x$和$x-1$互为相反数，计算时要处理好符号变化，按照这两个规则推导就能得到正确的去分母后的式子。
【解析】
已知原方程为$\frac{1}{x-1}+3=\frac{3x}{1-x}$，给两边同时乘以$(x-1)$：
1. 左边第一项$\frac{1}{x-1}×(x-1)=1$，约去分母得到1；
2. 左边的常数项3不能漏乘，$3×(x-1)=3(x-1)$；
3. 右边的分母$1-x=-(x-1)$，因此$\frac{3x}{1-x}×(x-1)=\frac{3x}{-(x-1)}×(x-1)=-3x$。
整理后得到式子：$1+3(x-1)=-3x$。
【答案】
B
【知识点】
分式方程去分母；等式的基本性质；分式符号法则
【点评】
本题是分式方程的基础题型，主要考查去分母的操作规范，易错点为漏乘常数项、忽略互为相反数的分母带来的符号变化，熟练掌握去分母的基本要求就能快速得分。
【难度系数】
0.8
