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8. 数学老师布置了一道思考题：“计算：$(-\dfrac{1}{12})÷(\dfrac{1}{3}-\dfrac{5}{6})$”. 小明仔细思考了一番，用了一种特别的方法解决了这个问题：
原式的倒数为$(\dfrac{1}{3}-\dfrac{5}{6})÷(-\dfrac{1}{12})=(\dfrac{1}{3}-\dfrac{5}{6})×(-12)=-4+10=6$，
所以$(-\dfrac{1}{12})÷(\dfrac{1}{3}-\dfrac{5}{6})=\dfrac{1}{6}$.
请你运用小明的方法计算：$(-\dfrac{1}{42})÷(\dfrac{1}{6}-\dfrac{2}{7}+\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{14})$.
原式的倒数为$(\dfrac{1}{3}-\dfrac{5}{6})÷(-\dfrac{1}{12})=(\dfrac{1}{3}-\dfrac{5}{6})×(-12)=-4+10=6$，
所以$(-\dfrac{1}{12})÷(\dfrac{1}{3}-\dfrac{5}{6})=\dfrac{1}{6}$.
请你运用小明的方法计算：$(-\dfrac{1}{42})÷(\dfrac{1}{6}-\dfrac{2}{7}+\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{14})$.
答案
$-\frac{1}{14}$
9. 已知a，b，c是有理数，|a|=4，|b|=9，|c|=6，且ab＜0，bc＞0. 求ab−bc+abc的值.
答案
解：
由$|a|=4$可得$a=4$或$a=-4$；
由$|b|=9$可得$b=9$或$b=-9$；
由$|c|=6$可得$c=6$或$c=-6$。
根据条件$ab＜0$，可知$a$和$b$异号：
1. 若$a=4$，则$b=-9$；
2. 若$a=-4$，则$b=9$。
再根据条件$bc＞0$，可知$b$和$c$同号：
- 当$b=-9$时，$c=-6$；
- 当$b=9$时，$c=6$。
因此符合条件的取值组合有两组：
① $a=4$，$b=-9$，$c=-6$：
代入式子计算：
$\begin{aligned}ab-bc+abc&=4×(-9)-(-9)×(-6)+4×(-9)×(-6)\\&=-36-54+216\\&=126\end{aligned}$
② $a=-4$，$b=9$，$c=6$：
代入式子计算：
$\begin{aligned}ab-bc+abc&=(-4)×9-9×6+(-4)×9×6\\&=-36-54-216\\&=-306\end{aligned}$
综上，$ab-bc+abc$的值为$126$或$-306$。
由$|a|=4$可得$a=4$或$a=-4$；
由$|b|=9$可得$b=9$或$b=-9$；
由$|c|=6$可得$c=6$或$c=-6$。
根据条件$ab＜0$，可知$a$和$b$异号：
1. 若$a=4$，则$b=-9$；
2. 若$a=-4$，则$b=9$。
再根据条件$bc＞0$，可知$b$和$c$同号：
- 当$b=-9$时，$c=-6$；
- 当$b=9$时，$c=6$。
因此符合条件的取值组合有两组：
① $a=4$，$b=-9$，$c=-6$：
代入式子计算：
$\begin{aligned}ab-bc+abc&=4×(-9)-(-9)×(-6)+4×(-9)×(-6)\\&=-36-54+216\\&=126\end{aligned}$
② $a=-4$，$b=9$，$c=6$：
代入式子计算：
$\begin{aligned}ab-bc+abc&=(-4)×9-9×6+(-4)×9×6\\&=-36-54-216\\&=-306\end{aligned}$
综上，$ab-bc+abc$的值为$126$或$-306$。
解析
【解析】
1. 由绝对值的定义可得：
因为$|a|=4$，所以$a=4$或$a=-4$；
因为$|b|=9$，所以$b=9$或$b=-9$；
因为$|c|=6$，所以$c=6$或$c=-6$。
2. 根据符号条件确定a、b、c的取值组合：
已知$ab＜0$，说明a、b异号；$bc＞0$，说明b、c同号，分两种情况：
情况1：当$a=4$时，由$ab＜0$得$b=-9$，再由$bc＞0$得$c=-6$，
代入式子计算：
$ab-bc+abc=4×(-9)-(-9)×(-6)+4×(-9)×(-6)=-36-54+216=126$
情况2：当$a=-4$时，由$ab＜0$得$b=9$，再由$bc＞0$得$c=6$，
代入式子计算：
$ab-bc+abc=(-4)×9-9×6+(-4)×9×6=-36-54-216=-306$
【答案】
126或−306
【知识点】
绝对值定义
有理数符号判断
有理数四则运算
【点评】
本题需要结合绝对值性质和有理数乘积的符号规则分类讨论a、b、c的取值，容易漏写其中一种情况，考察学生分类讨论的严谨性。
【难度系数】
0.6
1. 由绝对值的定义可得：
因为$|a|=4$，所以$a=4$或$a=-4$；
因为$|b|=9$，所以$b=9$或$b=-9$；
因为$|c|=6$，所以$c=6$或$c=-6$。
2. 根据符号条件确定a、b、c的取值组合：
已知$ab＜0$，说明a、b异号；$bc＞0$，说明b、c同号，分两种情况：
情况1：当$a=4$时，由$ab＜0$得$b=-9$，再由$bc＞0$得$c=-6$，
代入式子计算：
$ab-bc+abc=4×(-9)-(-9)×(-6)+4×(-9)×(-6)=-36-54+216=126$
情况2：当$a=-4$时，由$ab＜0$得$b=9$，再由$bc＞0$得$c=6$，
代入式子计算：
$ab-bc+abc=(-4)×9-9×6+(-4)×9×6=-36-54-216=-306$
【答案】
126或−306
【知识点】
绝对值定义
有理数符号判断
有理数四则运算
【点评】
本题需要结合绝对值性质和有理数乘积的符号规则分类讨论a、b、c的取值，容易漏写其中一种情况，考察学生分类讨论的严谨性。
【难度系数】
0.6
10. 将下列各组数进行混合运算（每个数只能用一次），使得运算结果为24.
(1) 4，6，8，9；
(2) 12，−12，3，−1；
(3) 1，−2，2，3.
(1) 4，6，8，9；
(2) 12，−12，3，−1；
(3) 1，−2，2，3.
答案
答案不唯一,如(1) $8÷4×9+6$ (2) $3×(-12)×(-1)-12$ (3) $[3-(-2)]^2-1$
11. 在数学活动中，小明在边长为1的正方形中设计了如图①所示的图形.
（1）根据这个图形，可以直接写出$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\dots+\frac{1}{2^n}=$______；
（2）请你在图②中再设计一个能表示$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\dots+\frac{1}{2^n}$的图形.
（1）根据这个图形，可以直接写出$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\dots+\frac{1}{2^n}=$______；
（2）请你在图②中再设计一个能表示$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\dots+\frac{1}{2^n}$的图形.
答案
(1) $1-\frac{1}{2^n}$.该式子可以看作大正方形去除最后一块三角形的区域面积之和,大正方形面积为1,最后一块三角形的面积为$\frac{1}{2^n}$ (2) 答案不唯一.只要保证每次划分后的区域面积是上次的一半即可,可以划分为两个三角形,也可以划分为两个长方形,等等
