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典例 计算：
(1)$(2x+1)(4x^2+2x+1)$；
(2)$(3+2y)(9-6y+4y^2)$；
(3)$(5x-\dfrac{1}{2}y)(25x^2+\dfrac{5}{2}xy+\dfrac{1}{4}y^2)$。
温馨提示 (1)多项式与多项式相乘
(2)多项式与多项式相乘，结果仍是多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积。
(1)$(2x+1)(4x^2+2x+1)$；
(2)$(3+2y)(9-6y+4y^2)$；
(3)$(5x-\dfrac{1}{2}y)(25x^2+\dfrac{5}{2}xy+\dfrac{1}{4}y^2)$。
温馨提示 (1)多项式与多项式相乘
(2)多项式与多项式相乘，结果仍是多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积。
答案
1. $(2x+1)(4x^2+2x+1)$
$=8x^3+4x^2+2x+4x^2+2x+1$
$=8x^3+8x^2+4x+1.$
2. $(3+2y)(9-6y+4y^2)$
$=27-18y+12y^2+18y-12y^2+8y^3$
$=27+8y^3.$
3. $(5x-\frac{1}{2}y)(25x^2+\frac{5}{2}xy+\frac{1}{4}y^2)$
$=125x^3+\frac{25}{2}x^2y+\frac{5}{4}xy^2-\frac{25}{2}x^2y-\frac{5}{4}xy^2-\frac{1}{8}y^3$
$=125x^3-\frac{1}{8}y^3.$
$=8x^3+4x^2+2x+4x^2+2x+1$
$=8x^3+8x^2+4x+1.$
2. $(3+2y)(9-6y+4y^2)$
$=27-18y+12y^2+18y-12y^2+8y^3$
$=27+8y^3.$
3. $(5x-\frac{1}{2}y)(25x^2+\frac{5}{2}xy+\frac{1}{4}y^2)$
$=125x^3+\frac{25}{2}x^2y+\frac{5}{4}xy^2-\frac{25}{2}x^2y-\frac{5}{4}xy^2-\frac{1}{8}y^3$
$=125x^3-\frac{1}{8}y^3.$
解析
【分析】
本题考查多项式乘多项式的运算，解题思路如下：①首先回顾多项式乘多项式的运算法则：用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所有的积相加；②对每道小题依次执行遍乘操作，注意不要漏乘，同时带上每一项的符号；③遍乘完成后，找出所有同类项，按照合并同类项的法则进行化简，最终得到最简结果。另外第(2)(3)小题也符合立方和、立方差公式的结构特征，熟练后可直接用公式简化计算。
【解析】
(1) 计算$(2x+1)(4x^2+2x+1)$
先逐项相乘：
$=2x·4x^2 + 2x·2x + 2x·1 + 1·4x^2 + 1·2x + 1·1$
$=8x^3+4x^2+2x+4x^2+2x+1$
合并同类项：
$=8x^3+8x^2+4x+1$
(2) 计算$(3+2y)(9-6y+4y^2)$
先逐项相乘：
$=3·9 + 3·(-6y) + 3·4y^2 + 2y·9 + 2y·(-6y) + 2y·4y^2$
$=27-18y+12y^2+18y-12y^2+8y^3$
合并同类项，相反项相互抵消：
$=27+8y^3$
(3) 计算$(5x-\dfrac{1}{2}y)(25x^2+\dfrac{5}{2}xy+\dfrac{1}{4}y^2)$
先逐项相乘，注意负号：
$=5x·25x^2 + 5x·\dfrac{5}{2}xy + 5x·\dfrac{1}{4}y^2 + (-\dfrac{1}{2}y)·25x^2 + (-\dfrac{1}{2}y)·\dfrac{5}{2}xy + (-\dfrac{1}{2}y)·\dfrac{1}{4}y^2$
$=125x^3+\dfrac{25}{2}x^2y+\dfrac{5}{4}xy^2-\dfrac{25}{2}x^2y-\dfrac{5}{4}xy^2-\dfrac{1}{8}y^3$
合并同类项，中间同类项两两抵消：
$=125x^3-\dfrac{1}{8}y^3$
【答案】
(1) $\boxed{8x^3+8x^2+4x+1}$
(2) $\boxed{27+8y^3}$
(3) $\boxed{125x^3-\dfrac{1}{8}y^3}$
【知识点】
多项式乘多项式；合并同类项
【点评】
本题是多项式乘法的基础练习题，核心考查运算的严谨性，计算时要注意不要漏乘项、不要写错项的符号，熟练掌握特殊结构的多项式乘法（立方和、立方差公式）可以有效提升运算速度和准确率。
【难度系数】
0.75
本题考查多项式乘多项式的运算，解题思路如下：①首先回顾多项式乘多项式的运算法则：用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所有的积相加；②对每道小题依次执行遍乘操作，注意不要漏乘，同时带上每一项的符号；③遍乘完成后，找出所有同类项，按照合并同类项的法则进行化简，最终得到最简结果。另外第(2)(3)小题也符合立方和、立方差公式的结构特征，熟练后可直接用公式简化计算。
【解析】
(1) 计算$(2x+1)(4x^2+2x+1)$
先逐项相乘：
$=2x·4x^2 + 2x·2x + 2x·1 + 1·4x^2 + 1·2x + 1·1$
$=8x^3+4x^2+2x+4x^2+2x+1$
合并同类项：
$=8x^3+8x^2+4x+1$
(2) 计算$(3+2y)(9-6y+4y^2)$
先逐项相乘：
$=3·9 + 3·(-6y) + 3·4y^2 + 2y·9 + 2y·(-6y) + 2y·4y^2$
$=27-18y+12y^2+18y-12y^2+8y^3$
合并同类项，相反项相互抵消：
$=27+8y^3$
(3) 计算$(5x-\dfrac{1}{2}y)(25x^2+\dfrac{5}{2}xy+\dfrac{1}{4}y^2)$
先逐项相乘，注意负号：
$=5x·25x^2 + 5x·\dfrac{5}{2}xy + 5x·\dfrac{1}{4}y^2 + (-\dfrac{1}{2}y)·25x^2 + (-\dfrac{1}{2}y)·\dfrac{5}{2}xy + (-\dfrac{1}{2}y)·\dfrac{1}{4}y^2$
$=125x^3+\dfrac{25}{2}x^2y+\dfrac{5}{4}xy^2-\dfrac{25}{2}x^2y-\dfrac{5}{4}xy^2-\dfrac{1}{8}y^3$
合并同类项，中间同类项两两抵消：
$=125x^3-\dfrac{1}{8}y^3$
【答案】
(1) $\boxed{8x^3+8x^2+4x+1}$
(2) $\boxed{27+8y^3}$
(3) $\boxed{125x^3-\dfrac{1}{8}y^3}$
【知识点】
多项式乘多项式；合并同类项
【点评】
本题是多项式乘法的基础练习题，核心考查运算的严谨性，计算时要注意不要漏乘项、不要写错项的符号，熟练掌握特殊结构的多项式乘法（立方和、立方差公式）可以有效提升运算速度和准确率。
【难度系数】
0.75
举一反三 计算：
(1)$(x-1)(x^2+x+1)$；
(2)$(x+3)(x-2)-x(x-1)$。
(1)$(x-1)(x^2+x+1)$；
(2)$(x+3)(x-2)-x(x-1)$。
答案
1. 原式$=x^3+x^2+x−x^2−x−1=x^3−1.$
2. 原式$=x^2−2x+3x−6−x^2+x=2x−6.$
2. 原式$=x^2−2x+3x−6−x^2+x=2x−6.$
解析
【分析】
(1) 第(1)题是多项式乘多项式运算，解题思路为：根据多项式乘多项式法则，用第一个多项式的每一项依次乘第二个多项式的每一项，再把所有乘积相加，最后合并同类项即可得到化简结果。
(2) 第(2)题是整式的混合运算，解题思路为：先分别计算两个乘法部分，其中$(x+3)(x-2)$按多项式乘多项式法则计算，$x(x-1)$按单项式乘多项式法则计算，再去括号（注意括号前为负号时，括号内各项要变号），最后合并同类项得到结果。
【解析】
(1) 按照多项式乘多项式法则展开：
$\begin{aligned}原式&=x· x^2 + x· x + x·1 -1· x^2 -1· x -1·1\\&=x^3 + x^2 + x - x^2 - x -1\\&=x^3 -1\end{aligned}$
(2) 先分别计算乘法，再合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=(x^2 -2x +3x -6) - (x^2 -x)\\&=x^2 +x -6 -x^2 +x\\&=2x -6\end{aligned}$
【答案】
(1) $x^3-1$；(2) $2x-6$
【知识点】
多项式乘多项式、单项式乘多项式、合并同类项
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心考查整式乘法的运算法则，计算时需注意不要漏乘多项式的项，去括号时留意符号变化，合并同类项时要准确识别同类项再合并。
【难度系数】
0.8
(1) 第(1)题是多项式乘多项式运算，解题思路为：根据多项式乘多项式法则，用第一个多项式的每一项依次乘第二个多项式的每一项，再把所有乘积相加，最后合并同类项即可得到化简结果。
(2) 第(2)题是整式的混合运算，解题思路为：先分别计算两个乘法部分，其中$(x+3)(x-2)$按多项式乘多项式法则计算，$x(x-1)$按单项式乘多项式法则计算，再去括号（注意括号前为负号时，括号内各项要变号），最后合并同类项得到结果。
【解析】
(1) 按照多项式乘多项式法则展开：
$\begin{aligned}原式&=x· x^2 + x· x + x·1 -1· x^2 -1· x -1·1\\&=x^3 + x^2 + x - x^2 - x -1\\&=x^3 -1\end{aligned}$
(2) 先分别计算乘法，再合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=(x^2 -2x +3x -6) - (x^2 -x)\\&=x^2 +x -6 -x^2 +x\\&=2x -6\end{aligned}$
【答案】
(1) $x^3-1$；(2) $2x-6$
【知识点】
多项式乘多项式、单项式乘多项式、合并同类项
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心考查整式乘法的运算法则，计算时需注意不要漏乘多项式的项，去括号时留意符号变化，合并同类项时要准确识别同类项再合并。
【难度系数】
0.8
