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典例1 利用平方差公式计算：
(1)$(3x+5y)(3x-5y)$；
(2)$(0.5b+a)(-0.5b+a)$；
(3)$(2x-3y)(3y+2x)-(4y-3x)·(3x+4y)$。
(1)$(3x+5y)(3x-5y)$；
(2)$(0.5b+a)(-0.5b+a)$；
(3)$(2x-3y)(3y+2x)-(4y-3x)·(3x+4y)$。
答案
(1) $(3x + 5y)(3x - 5y) = (3x)^2 - (5y)^2 = 9x^2 - 25y^2.$
(2) $(0.5b + a)(-0.5b + a) = (a + 0.5b)(a - 0.5b) = a^2 - 0.25b^2.$
(3) $(2x - 3y)(3y + 2x) - (4y - 3x) · (3x + 4y) = 4x^2 - 9y^2 - 16y^2 + 9x^2 =13x^2 -25y^2.$
(2) $(0.5b + a)(-0.5b + a) = (a + 0.5b)(a - 0.5b) = a^2 - 0.25b^2.$
(3) $(2x - 3y)(3y + 2x) - (4y - 3x) · (3x + 4y) = 4x^2 - 9y^2 - 16y^2 + 9x^2 =13x^2 -25y^2.$
解析
【分析】
解题核心是熟练运用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，思路如下：1. 先识别每个乘积式中完全相同的项（对应公式里的$a$）和互为相反数的项（对应公式里的$b$）；2. 代入平方差公式计算，注意项的系数也要平方；3. 含加减运算的式子，套用公式后要遵循去括号规则，最后合并同类项得到结果。
【解析】
(1) 式子$(3x+5y)(3x-5y)$中，相同项为$3x$，相反项为$5y$、$-5y$，代入平方差公式得：
$(3x + 5y)(3x - 5y) = (3x)^2 - (5y)^2 = 9x^2 - 25y^2$
(2) 先调整$(0.5b+a)(-0.5b+a)$的项的顺序，得到$(a + 0.5b)(a - 0.5b)$，其中相同项为$a$，相反项为$0.5b$、$-0.5b$，代入公式得：
$(a + 0.5b)(a - 0.5b) = a^2 - (0.5b)^2 = a^2 - 0.25b^2$
(3) 分别对两个乘积式套用平方差公式：
第一个乘积$(2x-3y)(3y+2x)=(2x-3y)(2x+3y)$，相同项为$2x$，相反项为$3y$、$-3y$，计算得$(2x)^2 - (3y)^2=4x^2 -9y^2$；
第二个乘积$(4y - 3x)(3x + 4y)=(4y - 3x)(4y + 3x)$，相同项为$4y$，相反项为$3x$、$-3x$，计算得$(4y)^2 - (3x)^2=16y^2 -9x^2$；
代入原式计算，注意第二个乘积前为减号，去括号需变号，再合并同类项：
原式$=4x^2 -9y^2 - (16y^2 -9x^2)=4x^2 -9y^2 -16y^2 +9x^2=13x^2 -25y^2$
【答案】
(1) $9x^2 - 25y^2$
(2) $a^2 - 0.25b^2$
(3) $13x^2 -25y^2$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 整式的加减
3. 整式的乘法
【点评】
本题是平方差公式的基础应用题型，解题的关键是准确区分公式中的相同项和相反项，计算时要注意项的系数也要同时平方，涉及去括号时需注意符号变化，熟练掌握后可快速提升整式乘法的运算效率。
【难度系数】
0.8
解题核心是熟练运用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，思路如下：1. 先识别每个乘积式中完全相同的项（对应公式里的$a$）和互为相反数的项（对应公式里的$b$）；2. 代入平方差公式计算，注意项的系数也要平方；3. 含加减运算的式子，套用公式后要遵循去括号规则，最后合并同类项得到结果。
【解析】
(1) 式子$(3x+5y)(3x-5y)$中，相同项为$3x$，相反项为$5y$、$-5y$，代入平方差公式得：
$(3x + 5y)(3x - 5y) = (3x)^2 - (5y)^2 = 9x^2 - 25y^2$
(2) 先调整$(0.5b+a)(-0.5b+a)$的项的顺序，得到$(a + 0.5b)(a - 0.5b)$，其中相同项为$a$，相反项为$0.5b$、$-0.5b$，代入公式得：
$(a + 0.5b)(a - 0.5b) = a^2 - (0.5b)^2 = a^2 - 0.25b^2$
(3) 分别对两个乘积式套用平方差公式：
第一个乘积$(2x-3y)(3y+2x)=(2x-3y)(2x+3y)$，相同项为$2x$，相反项为$3y$、$-3y$，计算得$(2x)^2 - (3y)^2=4x^2 -9y^2$；
第二个乘积$(4y - 3x)(3x + 4y)=(4y - 3x)(4y + 3x)$，相同项为$4y$，相反项为$3x$、$-3x$，计算得$(4y)^2 - (3x)^2=16y^2 -9x^2$；
代入原式计算，注意第二个乘积前为减号，去括号需变号，再合并同类项：
原式$=4x^2 -9y^2 - (16y^2 -9x^2)=4x^2 -9y^2 -16y^2 +9x^2=13x^2 -25y^2$
【答案】
(1) $9x^2 - 25y^2$
(2) $a^2 - 0.25b^2$
(3) $13x^2 -25y^2$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 整式的加减
3. 整式的乘法
【点评】
本题是平方差公式的基础应用题型，解题的关键是准确区分公式中的相同项和相反项，计算时要注意项的系数也要同时平方，涉及去括号时需注意符号变化，熟练掌握后可快速提升整式乘法的运算效率。
【难度系数】
0.8
举一反三 利用平方差公式计算：
(1)$(x+6)(6-x)$；
(2)$(-x+\dfrac{1}{2})(-x-\dfrac{1}{2})$；
(3)$2(a-2b)(2a+b)-(2a+b)(2a-b)$。
典例解析
(1)$(x+6)(6-x)$；
(2)$(-x+\dfrac{1}{2})(-x-\dfrac{1}{2})$；
(3)$2(a-2b)(2a+b)-(2a+b)(2a-b)$。
典例解析
答案
(1) $(x+6)(6-x)=6^2-x^2=36-x^2.$
(2) $(-x+\dfrac{1}{2})(-x-\dfrac{1}{2})=(-x)^2-(\dfrac{1}{2})^2=x^2-\dfrac{1}{4}.$
(3) $2(a-2b)(2a+b)-(2a+b)(2a-b)=2(2a^2+ab-4ab-2b^2)-(4a^2-b^2)=4a^2+2ab-8ab-4b^2-4a^2+b^2=-6ab-3b^2.$
(2) $(-x+\dfrac{1}{2})(-x-\dfrac{1}{2})=(-x)^2-(\dfrac{1}{2})^2=x^2-\dfrac{1}{4}.$
(3) $2(a-2b)(2a+b)-(2a+b)(2a-b)=2(2a^2+ab-4ab-2b^2)-(4a^2-b^2)=4a^2+2ab-8ab-4b^2-4a^2+b^2=-6ab-3b^2.$
解析
【分析】
解题前先明确平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数，结果等于相同项的平方减去相反项的平方，即$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$。
(1) 先将式子变形为$(6+x)(6-x)$，识别出相同项为6，相反项为$x$和$-x$，直接套用平方差公式计算即可；
(2) 识别出两个因式中相同项为$-x$，相反项为$\frac{1}{2}$和$-\frac{1}{2}$，直接套用平方差公式计算，注意负数的偶次幂为正；
(3) 观察发现第一个乘积$(a-2b)(2a+b)$不符合平方差公式的结构，先按照多项式乘多项式法则展开，第二个乘积$(2a+b)(2a-b)$符合平方差公式，套用公式计算，之后去括号、合并同类项即可得到结果。
【解析】
(1) 调整因式顺序匹配平方差公式结构：
$\begin{aligned}(x+6)(6-x)&=(6+x)(6-x)\\&=6^2 - x^2\\&=36 - x^2\end{aligned}$
(2) 识别相同项和相反项，直接套用平方差公式：
$\begin{aligned}(-x+\frac{1}{2})(-x-\frac{1}{2})&=(-x)^2 - (\frac{1}{2})^2\\&=x^2 - \frac{1}{4}\end{aligned}$
(3) 分别计算两个乘积后合并化简：
$\begin{aligned}&2(a-2b)(2a+b)-(2a+b)(2a-b)\\=&2(2a^2 + ab - 4ab - 2b^2) - [(2a)^2 - b^2]\\=&4a^2 - 6ab - 4b^2 - 4a^2 + b^2\\=&-6ab - 3b^2\end{aligned}$
【答案】
(1) $36-x^2$
(2) $x^2-\dfrac{1}{4}$
(3) $-6ab-3b^2$
【知识点】
平方差公式、多项式乘多项式、整式的加减
【点评】
本题重点考查平方差公式的识别与应用，解题核心是准确判断式子是否符合平方差的结构特征，不符合公式的运算要按照整式乘法法则逐步计算，计算过程中要注意去括号的符号变化，避免合并同类项时出错。
【难度系数】
0.7
解题前先明确平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数，结果等于相同项的平方减去相反项的平方，即$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$。
(1) 先将式子变形为$(6+x)(6-x)$，识别出相同项为6，相反项为$x$和$-x$，直接套用平方差公式计算即可；
(2) 识别出两个因式中相同项为$-x$，相反项为$\frac{1}{2}$和$-\frac{1}{2}$，直接套用平方差公式计算，注意负数的偶次幂为正；
(3) 观察发现第一个乘积$(a-2b)(2a+b)$不符合平方差公式的结构，先按照多项式乘多项式法则展开，第二个乘积$(2a+b)(2a-b)$符合平方差公式，套用公式计算，之后去括号、合并同类项即可得到结果。
【解析】
(1) 调整因式顺序匹配平方差公式结构：
$\begin{aligned}(x+6)(6-x)&=(6+x)(6-x)\\&=6^2 - x^2\\&=36 - x^2\end{aligned}$
(2) 识别相同项和相反项，直接套用平方差公式：
$\begin{aligned}(-x+\frac{1}{2})(-x-\frac{1}{2})&=(-x)^2 - (\frac{1}{2})^2\\&=x^2 - \frac{1}{4}\end{aligned}$
(3) 分别计算两个乘积后合并化简：
$\begin{aligned}&2(a-2b)(2a+b)-(2a+b)(2a-b)\\=&2(2a^2 + ab - 4ab - 2b^2) - [(2a)^2 - b^2]\\=&4a^2 - 6ab - 4b^2 - 4a^2 + b^2\\=&-6ab - 3b^2\end{aligned}$
【答案】
(1) $36-x^2$
(2) $x^2-\dfrac{1}{4}$
(3) $-6ab-3b^2$
【知识点】
平方差公式、多项式乘多项式、整式的加减
【点评】
本题重点考查平方差公式的识别与应用，解题核心是准确判断式子是否符合平方差的结构特征，不符合公式的运算要按照整式乘法法则逐步计算，计算过程中要注意去括号的符号变化，避免合并同类项时出错。
【难度系数】
0.7
典例1
解 (1) $(3x + 5y)(3x - 5y) = (3x)^2 - (5y)^2 = 9x^2 - 25y^2.$
(2) $(0.5b + a)(-0.5b + a) = (a + 0.5b)(a - 0.5b) = a^2 - 0.25b^2.$
(3) $(2x - 3y)(3y + 2x) - (4y - 3x) · (3x + 4y)$
$= 4x^2 - 9y^2 - 16y^2 + 9x^2$
解 (1) $(3x + 5y)(3x - 5y) = (3x)^2 - (5y)^2 = 9x^2 - 25y^2.$
(2) $(0.5b + a)(-0.5b + a) = (a + 0.5b)(a - 0.5b) = a^2 - 0.25b^2.$
(3) $(2x - 3y)(3y + 2x) - (4y - 3x) · (3x + 4y)$
$= 4x^2 - 9y^2 - 16y^2 + 9x^2$
答案
解：
(1) $(3x + 5y)(3x - 5y) = (3x)^2 - (5y)^2 = 9x^2 - 25y^2$
(2) $(0.5b + a)(-0.5b + a) = (a + 0.5b)(a - 0.5b) = a^2 - (0.5b)^2 = a^2 - 0.25b^2$
(3) $(2x - 3y)(3y + 2x) - (4y - 3x)·(3x + 4y)$
$=(2x - 3y)(2x + 3y) - (4y - 3x)(4y + 3x)$
$=(2x)^2 - (3y)^2 - [(4y)^2 - (3x)^2]$
$=4x^2 - 9y^2 - 16y^2 + 9x^2$
$=13x^2 - 25y^2$
(1) $(3x + 5y)(3x - 5y) = (3x)^2 - (5y)^2 = 9x^2 - 25y^2$
(2) $(0.5b + a)(-0.5b + a) = (a + 0.5b)(a - 0.5b) = a^2 - (0.5b)^2 = a^2 - 0.25b^2$
(3) $(2x - 3y)(3y + 2x) - (4y - 3x)·(3x + 4y)$
$=(2x - 3y)(2x + 3y) - (4y - 3x)(4y + 3x)$
$=(2x)^2 - (3y)^2 - [(4y)^2 - (3x)^2]$
$=4x^2 - 9y^2 - 16y^2 + 9x^2$
$=13x^2 - 25y^2$
解析
【分析】
这组题目均考查平方差公式的应用，解题核心是先识别每个多项式乘积项中相同的项（对应公式里的a）和符号相反的项（对应公式里的b），再套用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$计算，最后有同类项的要合并，有括号的要注意符号规则。
1. 第(1)题：两个因式里相同项是3x，相反项是+5y和-5y，直接套用公式即可，注意乘方时系数也要平方。
2. 第(2)题：先调整两个因式的项的顺序，把相同的a放在前面，变成$(a+0.5b)(a-0.5b)$，再套公式，0.5b平方的时候要记得给系数也平方。
3. 第(3)题：先把两个乘积项分别整理成平方差的标准形式，套用公式后，因为第二个乘积项前面是减号，所以去掉括号时括号里的每一项都要变号，最后合并同类项得到结果。
【解析】
(1) 式子符合平方差公式特征，其中$a=3x$，$b=5y$，代入公式计算：
$(3x + 5y)(3x - 5y) = (3x)^2 - (5y)^2 = 9x^2 - 25y^2$
(2) 调整因式中项的顺序，把相同项$a$放在首位，得到$(a+0.5b)(a-0.5b)$，其中$a=a$，$b=0.5b$，代入公式计算：
$(0.5b + a)(-0.5b + a) = (a + 0.5b)(a - 0.5b) = a^2 - (0.5b)^2 = a^2 - 0.25b^2$
(3) 先将两个乘积项变形为平方差公式的标准形式，再逐步计算：
原式$=(2x - 3y)(2x + 3y) - (4y - 3x)(4y + 3x)$
分别套用平方差公式，第二个乘积整体前是减号，计算时要加括号：
$=(2x)^2 - (3y)^2 - [(4y)^2 - (3x)^2]$
计算乘方后去括号（括号前为减号，去括号后各项变号）：
$=4x^2 - 9y^2 - 16y^2 + 9x^2$
合并同类项得：
$=13x^2 - 25y^2$
【答案】
(1) $9x^2 - 25y^2$；(2) $a^2 - 0.25b^2$；(3) $13x^2 - 25y^2$
【知识点】
平方差公式，整式混合运算，合并同类项
【点评】
本题重点考查平方差公式的灵活应用，解题的关键是准确区分两个因式中的相同项和相反项，计算时要注意系数乘方、去括号的符号问题，熟练掌握公式特征后可以快速求解这类整式运算题。
【难度系数】
0.7
这组题目均考查平方差公式的应用，解题核心是先识别每个多项式乘积项中相同的项（对应公式里的a）和符号相反的项（对应公式里的b），再套用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$计算，最后有同类项的要合并，有括号的要注意符号规则。
1. 第(1)题：两个因式里相同项是3x，相反项是+5y和-5y，直接套用公式即可，注意乘方时系数也要平方。
2. 第(2)题：先调整两个因式的项的顺序，把相同的a放在前面，变成$(a+0.5b)(a-0.5b)$，再套公式，0.5b平方的时候要记得给系数也平方。
3. 第(3)题：先把两个乘积项分别整理成平方差的标准形式，套用公式后，因为第二个乘积项前面是减号，所以去掉括号时括号里的每一项都要变号，最后合并同类项得到结果。
【解析】
(1) 式子符合平方差公式特征，其中$a=3x$，$b=5y$，代入公式计算：
$(3x + 5y)(3x - 5y) = (3x)^2 - (5y)^2 = 9x^2 - 25y^2$
(2) 调整因式中项的顺序，把相同项$a$放在首位，得到$(a+0.5b)(a-0.5b)$，其中$a=a$，$b=0.5b$，代入公式计算：
$(0.5b + a)(-0.5b + a) = (a + 0.5b)(a - 0.5b) = a^2 - (0.5b)^2 = a^2 - 0.25b^2$
(3) 先将两个乘积项变形为平方差公式的标准形式，再逐步计算：
原式$=(2x - 3y)(2x + 3y) - (4y - 3x)(4y + 3x)$
分别套用平方差公式，第二个乘积整体前是减号，计算时要加括号：
$=(2x)^2 - (3y)^2 - [(4y)^2 - (3x)^2]$
计算乘方后去括号（括号前为减号，去括号后各项变号）：
$=4x^2 - 9y^2 - 16y^2 + 9x^2$
合并同类项得：
$=13x^2 - 25y^2$
【答案】
(1) $9x^2 - 25y^2$；(2) $a^2 - 0.25b^2$；(3) $13x^2 - 25y^2$
【知识点】
平方差公式，整式混合运算，合并同类项
【点评】
本题重点考查平方差公式的灵活应用，解题的关键是准确区分两个因式中的相同项和相反项，计算时要注意系数乘方、去括号的符号问题，熟练掌握公式特征后可以快速求解这类整式运算题。
【难度系数】
0.7
典例2 计算：
(1)$103×97$；
(2)$59.8×60.2$。
(1)$103×97$；
(2)$59.8×60.2$。
答案
(1) $103×97=(100+3)(100-3)=100^2 -3^2=10\ 000 -9=9\ 991.$
(2) $59.8×60.2=(60-0.2)(60+0.2)=60^2 -0.2^2=3\ 600 -0.04=3\ 599.96.$
(2) $59.8×60.2=(60-0.2)(60+0.2)=60^2 -0.2^2=3\ 600 -0.04=3\ 599.96.$
解析
【分析】观察两个乘法算式的乘数特征：(1)中103和97分别是100加3、100减3的结果；(2)中59.8和60.2分别是60减0.2、60加0.2的结果，都符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构，因此可以套用平方差公式进行简便运算，无需直接列竖式计算，大幅降低计算量。
【解析】
(1) 先将两个乘数改写为整百数与3的和、差形式，再套用平方差公式计算：
$103×97=(100+3)(100-3)$
$=100^2 -3^2$
$=10000 -9$
$=9991$
(2) 先将两个乘数改写为整数60与0.2的差、和形式，再套用平方差公式计算：
$59.8×60.2=(60-0.2)(60+0.2)$
$=60^2 -0.2^2$
$=3600 -0.04$
$=3599.96$
【答案】(1) $\boxed{9991}$；(2) $\boxed{3599.96}$
【知识点】平方差公式；乘法简便运算
【点评】本题是平方差公式在简便计算中的典型应用，解题核心是识别出两个乘数的对称性，将其转化为两数和乘两数差的标准形式，再套用公式快速算出结果，能有效减少计算失误。
【难度系数】0.8
【解析】
(1) 先将两个乘数改写为整百数与3的和、差形式，再套用平方差公式计算：
$103×97=(100+3)(100-3)$
$=100^2 -3^2$
$=10000 -9$
$=9991$
(2) 先将两个乘数改写为整数60与0.2的差、和形式，再套用平方差公式计算：
$59.8×60.2=(60-0.2)(60+0.2)$
$=60^2 -0.2^2$
$=3600 -0.04$
$=3599.96$
【答案】(1) $\boxed{9991}$；(2) $\boxed{3599.96}$
【知识点】平方差公式；乘法简便运算
【点评】本题是平方差公式在简便计算中的典型应用，解题核心是识别出两个乘数的对称性，将其转化为两数和乘两数差的标准形式，再套用公式快速算出结果，能有效减少计算失误。
【难度系数】0.8
举一反三 用乘法公式计算：$40\dfrac{2}{3} × 39\dfrac{1}{3}$
$=13x^2 -25y^2$.
典例2
解 (1)$103×97=(100+3)(100-3)$
$=100^2 -3^2=10\ 000 -9=9\ 991$.
(2)$59.8×60.2=(60-0.2)(60+0.2)$
$=60^2 -0.2^2$
$=3\ 600 -0.04$
$=3\ 599.96$.
$=13x^2 -25y^2$.
典例2
解 (1)$103×97=(100+3)(100-3)$
$=100^2 -3^2=10\ 000 -9=9\ 991$.
(2)$59.8×60.2=(60-0.2)(60+0.2)$
$=60^2 -0.2^2$
$=3\ 600 -0.04$
$=3\ 599.96$.
答案
$40\dfrac{2}{3} × 39\dfrac{1}{3}=(40+\dfrac{2}{3})×(40-\dfrac{2}{3})=1\ 600 -\dfrac{4}{9}=1\ 599\dfrac{5}{9}.$
解析
【分析】
观察两个相乘的带分数，发现$40\dfrac{2}{3}$可写成$40+\dfrac{2}{3}$，$39\dfrac{1}{3}$可写成$40-\dfrac{2}{3}$，刚好符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构特征，因此可以利用平方差公式进行简便计算，避免直接计算带分数乘法的繁琐步骤。
【解析】
首先将两个带分数变形为两数和与两数差的形式：
$40\dfrac{2}{3} × 39\dfrac{1}{3}$
$=(40+\dfrac{2}{3})×(40-\dfrac{2}{3})$
根据平方差公式展开得：
$=40^2 - (\dfrac{2}{3})^2$
分别计算平方项：
$=1600 - \dfrac{4}{9}$
计算最终结果：
$=1599\dfrac{5}{9}$
【答案】
$1599\dfrac{5}{9}$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 有理数简便运算
【点评】
本题是利用乘法公式简化运算的典型题型，解题核心是准确识别两个因数的结构特点，将其转化为平方差公式的标准形式，熟练掌握平方差公式的结构特征可以大幅降低计算量，提高计算准确率。
【难度系数】
0.8
观察两个相乘的带分数，发现$40\dfrac{2}{3}$可写成$40+\dfrac{2}{3}$，$39\dfrac{1}{3}$可写成$40-\dfrac{2}{3}$，刚好符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构特征，因此可以利用平方差公式进行简便计算，避免直接计算带分数乘法的繁琐步骤。
【解析】
首先将两个带分数变形为两数和与两数差的形式：
$40\dfrac{2}{3} × 39\dfrac{1}{3}$
$=(40+\dfrac{2}{3})×(40-\dfrac{2}{3})$
根据平方差公式展开得：
$=40^2 - (\dfrac{2}{3})^2$
分别计算平方项：
$=1600 - \dfrac{4}{9}$
计算最终结果：
$=1599\dfrac{5}{9}$
【答案】
$1599\dfrac{5}{9}$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 有理数简便运算
【点评】
本题是利用乘法公式简化运算的典型题型，解题核心是准确识别两个因数的结构特点，将其转化为平方差公式的标准形式，熟练掌握平方差公式的结构特征可以大幅降低计算量，提高计算准确率。
【难度系数】
0.8
