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一、选择题
1. 下列各方程中一定是关于x的一元二次方程的是(
A.$3x^2=4x+3$
B.$ax^2-8=0$
C.$x+y^2=0$
D.$3xy+6=5xy$
1. 下列各方程中一定是关于x的一元二次方程的是(
A
)A.$3x^2=4x+3$
B.$ax^2-8=0$
C.$x+y^2=0$
D.$3xy+6=5xy$
答案
1. A
解析
【分析】
要判断一个方程是否为一元二次方程，需先明确一元二次方程的四个判定要点：①属于整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2；④二次项的系数不等于0。解题时只需将每个选项依次对照这四个要点排查，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，且二次项系数不为0。
对各选项逐一分析：
A选项：整理可得$3x^2-4x-3=0$，只含未知数x，x的最高次数为2，是整式方程，且二次项系数3≠0，符合一元二次方程的定义；
B选项：当参数$a=0$时，方程变为$-8=0$，不含有二次项，不属于一元二次方程，故不符合要求；
C选项：方程中含有x、y两个未知数，属于二元方程，不符合“只含一个未知数”的要求，排除；
D选项：整理可得$2xy-6=0$，方程中含有x、y两个未知数，属于二元方程，不符合要求，排除。
综上，只有A选项符合要求。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的概念
整式方程判定
参数方程注意事项
【点评】
本题是一元二次方程判定的基础题型，核心是抓住一元二次方程的几个核心判定要素，尤其要注意含参数的二次项系数不能为0这一隐含条件，避免误选含参数的选项。
【难度系数】
0.8
要判断一个方程是否为一元二次方程，需先明确一元二次方程的四个判定要点：①属于整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2；④二次项的系数不等于0。解题时只需将每个选项依次对照这四个要点排查，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，且二次项系数不为0。
对各选项逐一分析：
A选项：整理可得$3x^2-4x-3=0$，只含未知数x，x的最高次数为2，是整式方程，且二次项系数3≠0，符合一元二次方程的定义；
B选项：当参数$a=0$时，方程变为$-8=0$，不含有二次项，不属于一元二次方程，故不符合要求；
C选项：方程中含有x、y两个未知数，属于二元方程，不符合“只含一个未知数”的要求，排除；
D选项：整理可得$2xy-6=0$，方程中含有x、y两个未知数，属于二元方程，不符合要求，排除。
综上，只有A选项符合要求。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的概念
整式方程判定
参数方程注意事项
【点评】
本题是一元二次方程判定的基础题型，核心是抓住一元二次方程的几个核心判定要素，尤其要注意含参数的二次项系数不能为0这一隐含条件，避免误选含参数的选项。
【难度系数】
0.8
2. 已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是-2，则这个一元二次方程可能是(
A.$3x - 2 = 0$
B.$x^2 + 2 = 0$
C.$3x^2 - 1 = 0$
D.$3x^2 - x = 2$
D
)A.$3x - 2 = 0$
B.$x^2 + 2 = 0$
C.$3x^2 - 1 = 0$
D.$3x^2 - x = 2$
答案
2. D
解析
【分析】
首先明确题干要求：需满足两个核心条件，一是方程为一元二次方程，二是二次项系数为3、常数项为-2。解题思路如下：第一步先回忆一元二次方程的定义和一般形式：只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程是一元二次方程，其一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$c$是常数项；第二步先排除不是一元二次方程的选项，再将剩余选项整理为一般形式，核对二次项系数和常数项是否符合要求即可。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），本题要求$a=3$，常数项$c=-2$，逐一分析选项：
选项A：$3x-2=0$中未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求，排除；
选项B：$x^2+2=0$的二次项系数为1，不是3，不符合要求，排除；
选项C：$3x^2-1=0$的常数项为-1，不是-2，不符合要求，排除；
选项D：将$3x^2 - x = 2$移项化为一般形式得$3x^2 - x - 2 = 0$，二次项系数为3，常数项为-2，完全符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是掌握一元二次方程的形式特征，注意要先将方程化为一般形式再确定各项系数，判断常数项时不要遗漏其前面的符号。
【难度系数】
0.9
首先明确题干要求：需满足两个核心条件，一是方程为一元二次方程，二是二次项系数为3、常数项为-2。解题思路如下：第一步先回忆一元二次方程的定义和一般形式：只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程是一元二次方程，其一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$c$是常数项；第二步先排除不是一元二次方程的选项，再将剩余选项整理为一般形式，核对二次项系数和常数项是否符合要求即可。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），本题要求$a=3$，常数项$c=-2$，逐一分析选项：
选项A：$3x-2=0$中未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求，排除；
选项B：$x^2+2=0$的二次项系数为1，不是3，不符合要求，排除；
选项C：$3x^2-1=0$的常数项为-1，不是-2，不符合要求，排除；
选项D：将$3x^2 - x = 2$移项化为一般形式得$3x^2 - x - 2 = 0$，二次项系数为3，常数项为-2，完全符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是掌握一元二次方程的形式特征，注意要先将方程化为一般形式再确定各项系数，判断常数项时不要遗漏其前面的符号。
【难度系数】
0.9
3. 下列一元二次方程中,两根分别是-2和3的方程是(
A.$x^2 - x - 6 = 0$
B.$x^2 - 6x + 5 = 0$
C.$x^2 + x - 6 = 0$
D.$x^2 - 6x - 1 = 0$
A
)A.$x^2 - x - 6 = 0$
B.$x^2 - 6x + 5 = 0$
C.$x^2 + x - 6 = 0$
D.$x^2 - 6x - 1 = 0$
答案
3. A
解析
【分析】
本题要求选出两根为-2和3的一元二次方程，可通过两种思路解题：思路一：根据方程根的意义，若x₁、x₂是一元二次方程的两根，则方程可表示为(x-x₁)(x-x₂)=0，展开后对比选项即可；思路二：利用根与系数的关系（韦达定理），先计算两根之和、两根之积，再匹配二次项系数为1的方程的一次项系数、常数项的对应关系，快速判断选项。
【解析】
已知方程的两根为x₁=-2，x₂=3：
根据一元二次方程根与因式的关系，可写出方程：
$(x - (-2))(x - 3) = 0$
即$(x+2)(x-3)=0$
展开得：$x^2 - 3x + 2x - 6 = 0$
化简为$x^2 - x - 6 = 0$，对应选项A。
也可通过代入验证：将x=-2代入选项A，左边$=(-2)^2 - (-2) -6=0$，等于右边；将x=3代入选项A，左边$=3^2 - 3 -6=0$，等于右边，均符合根的定义。
【答案】
A
【知识点】
1.一元二次方程根的定义
2.根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题是一元二次方程根相关的基础题，解题方法灵活，既可以直接构造方程，也可以通过代入验证或韦达定理快速筛选，解题时注意符号计算不要出错。
【难度系数】
0.85
本题要求选出两根为-2和3的一元二次方程，可通过两种思路解题：思路一：根据方程根的意义，若x₁、x₂是一元二次方程的两根，则方程可表示为(x-x₁)(x-x₂)=0，展开后对比选项即可；思路二：利用根与系数的关系（韦达定理），先计算两根之和、两根之积，再匹配二次项系数为1的方程的一次项系数、常数项的对应关系，快速判断选项。
【解析】
已知方程的两根为x₁=-2，x₂=3：
根据一元二次方程根与因式的关系，可写出方程：
$(x - (-2))(x - 3) = 0$
即$(x+2)(x-3)=0$
展开得：$x^2 - 3x + 2x - 6 = 0$
化简为$x^2 - x - 6 = 0$，对应选项A。
也可通过代入验证：将x=-2代入选项A，左边$=(-2)^2 - (-2) -6=0$，等于右边；将x=3代入选项A，左边$=3^2 - 3 -6=0$，等于右边，均符合根的定义。
【答案】
A
【知识点】
1.一元二次方程根的定义
2.根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题是一元二次方程根相关的基础题，解题方法灵活，既可以直接构造方程，也可以通过代入验证或韦达定理快速筛选，解题时注意符号计算不要出错。
【难度系数】
0.85
4. 若方程$(m-1)x^2 -3x -2=0$是关于$x$的一元二次方程，则$m$的取值范围是(
A.$m＞1$
B.$m≠1$
C.$m＞0$
D.$m≠0$
B
)A.$m＞1$
B.$m≠1$
C.$m＞0$
D.$m≠0$
答案
4. B
解析
【分析】
要解决本题，首先回忆一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程，其核心限制条件是二次项系数不能为0。本题中给出的方程二次项系数为$m-1$，因此只需令二次项系数不等于0，解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
根据一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项系数不得为0。
对于方程$(m-1)x^2 -3x -2=0$，其二次项系数为$m-1$，因此列不等式：
$m-1 ≠ 0$
解得：$m ≠ 1$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义，解一元一次不等式
【点评】
本题是基础概念类考题，解题的关键是掌握一元二次方程的成立条件，易错点是容易遗漏二次项系数不为0的限制要求。
【难度系数】
0.85
要解决本题，首先回忆一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程，其核心限制条件是二次项系数不能为0。本题中给出的方程二次项系数为$m-1$，因此只需令二次项系数不等于0，解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
根据一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项系数不得为0。
对于方程$(m-1)x^2 -3x -2=0$，其二次项系数为$m-1$，因此列不等式：
$m-1 ≠ 0$
解得：$m ≠ 1$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义，解一元一次不等式
【点评】
本题是基础概念类考题，解题的关键是掌握一元二次方程的成立条件，易错点是容易遗漏二次项系数不为0的限制要求。
【难度系数】
0.85
5*. 若关于x的一元二次方程$ax^2+bx+2=0(a≠0)$有一根为$x=2025$，则一元二次方程$a(x-1)^2+bx+2=b$必有一根为(
A.2024
B.2025
C.2026
D.2027
C
)A.2024
B.2025
C.2026
D.2027
答案
5. C
解析
【分析】
解题时首先利用方程根的定义，再通过变形把待求根的方程转化为和已知有根的方程结构一致的形式，运用整体换元的思想就能快速求解。第一步先将第二个方程移项整理，提取公因式后发现其可转化为和第一个方程形式完全相同的方程，将x-1看作整体对应第一个方程的未知数，即可建立等式求出对应的根。
【解析】
首先对一元二次方程$a(x-1)^2+bx+2=b$进行整理：
将等号右侧的$b$移到左侧，得$a(x-1)^2 + bx - b + 2 = 0$，
提取$b$的公因式，变形为$a(x-1)^2 + b(x-1) + 2 = 0$。
设$t = x - 1$，则上述方程可化为$at^2 + bt + 2 = 0$。
已知关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+2=0(a≠0)$有一根为$x=2025$，因此方程$at^2 + bt + 2 = 0$有一个根为$t=2025$，
即$x - 1 = 2025$，解得$x = 2025 + 1 = 2026$。
所以一元二次方程$a(x-1)^2+bx+2=b$必有一根为2026。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义，换元法，代数式变形
【点评】
本题考查方程根的定义与整体思想的运用，不需要计算系数的值，通过整体换元将未知方程转化为已知结构的方程即可快速求解，是一元二次方程根的定义的典型应用题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用方程根的定义，再通过变形把待求根的方程转化为和已知有根的方程结构一致的形式，运用整体换元的思想就能快速求解。第一步先将第二个方程移项整理，提取公因式后发现其可转化为和第一个方程形式完全相同的方程，将x-1看作整体对应第一个方程的未知数，即可建立等式求出对应的根。
【解析】
首先对一元二次方程$a(x-1)^2+bx+2=b$进行整理：
将等号右侧的$b$移到左侧，得$a(x-1)^2 + bx - b + 2 = 0$，
提取$b$的公因式，变形为$a(x-1)^2 + b(x-1) + 2 = 0$。
设$t = x - 1$，则上述方程可化为$at^2 + bt + 2 = 0$。
已知关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+2=0(a≠0)$有一根为$x=2025$，因此方程$at^2 + bt + 2 = 0$有一个根为$t=2025$，
即$x - 1 = 2025$，解得$x = 2025 + 1 = 2026$。
所以一元二次方程$a(x-1)^2+bx+2=b$必有一根为2026。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义，换元法，代数式变形
【点评】
本题考查方程根的定义与整体思想的运用，不需要计算系数的值，通过整体换元将未知方程转化为已知结构的方程即可快速求解，是一元二次方程根的定义的典型应用题型。
【难度系数】
0.7
二、填空题
1. 将一元二次方程$x^2 - 2x = 6$化为$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$的形式，则$a + b + c =$
1. 将一元二次方程$x^2 - 2x = 6$化为$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$的形式，则$a + b + c =$
-7
.答案
1. -7
解析
【分析】
解题时首先回忆一元二次方程一般形式的定义：需整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的形式，等式右侧必须为0。首先对原方程进行移项，将右侧的常数项移到左侧，注意移项要变号，整理得到一般形式后，对应找出a、b、c的值，再代入计算$a+b+c$的结果即可，确定系数时不要遗漏正负号。
【解析】
解：对原方程$x^2 - 2x = 6$移项，将右边的6移到左侧并变号，得：
$x^2 - 2x - 6 = 0$
对比一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，可得：
二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，常数项$c=-6$
因此$a+b+c = 1 + (-2) + (-6) = -7$
【答案】
-7
【知识点】
一元二次方程的一般形式；移项法则；代数式求值
【点评】
本题属于基础题，主要考查对一元二次方程一般形式的理解，易错点是移项时忘记变号、确定各项系数时漏掉正负符号，做题时细心即可得分。
【难度系数】
0.85
解题时首先回忆一元二次方程一般形式的定义：需整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的形式，等式右侧必须为0。首先对原方程进行移项，将右侧的常数项移到左侧，注意移项要变号，整理得到一般形式后，对应找出a、b、c的值，再代入计算$a+b+c$的结果即可，确定系数时不要遗漏正负号。
【解析】
解：对原方程$x^2 - 2x = 6$移项，将右边的6移到左侧并变号，得：
$x^2 - 2x - 6 = 0$
对比一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，可得：
二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，常数项$c=-6$
因此$a+b+c = 1 + (-2) + (-6) = -7$
【答案】
-7
【知识点】
一元二次方程的一般形式；移项法则；代数式求值
【点评】
本题属于基础题，主要考查对一元二次方程一般形式的理解，易错点是移项时忘记变号、确定各项系数时漏掉正负符号，做题时细心即可得分。
【难度系数】
0.85
2. 一元二次方程$4x -5x^2=-1$化成一般形式后，二次项系数为正数，则常数项是
-1
。答案
2. -1
解析
【分析】
首先回忆一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$a、b、c$为常数），其中$a$是二次项系数，$c$是常数项。本题要求化成一般形式后二次项系数为正数，因此解题时先把原方程的所有项移到等号的同一侧，再调整符号让二次项系数为正，最后即可确定常数项。
【解析】
第一步：对原方程进行移项，将等号右侧的$-1$移到左侧，得到：
$-5x^2+4x+1=0$
第二步：由于当前二次项系数为$-5$，不符合二次项系数为正数的要求，将方程两边同时乘以$-1$，得到符合要求的一般形式：
$5x^2-4x-1=0$
第三步：对照一元二次方程的一般形式，不含未知数的常数项为$-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 一元二次方程的系数识别
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是掌握一元二次方程一般形式的书写要求，易错点是移项时符号处理错误，或调整二次项系数符号时漏改其他项的符号。
【难度系数】
0.8
首先回忆一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$a、b、c$为常数），其中$a$是二次项系数，$c$是常数项。本题要求化成一般形式后二次项系数为正数，因此解题时先把原方程的所有项移到等号的同一侧，再调整符号让二次项系数为正，最后即可确定常数项。
【解析】
第一步：对原方程进行移项，将等号右侧的$-1$移到左侧，得到：
$-5x^2+4x+1=0$
第二步：由于当前二次项系数为$-5$，不符合二次项系数为正数的要求，将方程两边同时乘以$-1$，得到符合要求的一般形式：
$5x^2-4x-1=0$
第三步：对照一元二次方程的一般形式，不含未知数的常数项为$-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 一元二次方程的系数识别
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是掌握一元二次方程一般形式的书写要求，易错点是移项时符号处理错误，或调整二次项系数符号时漏改其他项的符号。
【难度系数】
0.8
3. 若关于$x$的一元二次方程$(x+2)^2=m(2x+1)$中不含$x$的一次项，则$m$的值是
2
.答案
3. 2
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确“方程不含x的一次项”的含义：将方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）后，一次项系数$b=0$。解题步骤为：①先将原方程展开、移项，整理为一般形式；②提取一次项系数，令其等于0，建立关于$m$的一元一次方程；③解方程即可求出$m$的值。
【解析】
首先将原方程化为一元二次方程的一般形式：
1. 展开左边：$(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$，原方程变为：
$x^2 + 4x + 4 = 2mx + m$
2. 移项、合并同类项：
将右侧所有项移到左侧，得$x^2 + 4x + 4 - 2mx - m = 0$
整理为标准形式：$x^2 + (4 - 2m)x + (4 - m) = 0$
3. 因为方程不含$x$的一次项，所以一次项系数为0，即：
$4 - 2m = 0$
解得：$m = 2$
【答案】
2
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 多项式不含项的条件
3. 解一元一次方程
【点评】
本题属于一元二次方程概念的基础考查题，核心是理解多项式不含某一项即该项的系数为0，整理方程时要注意移项的符号问题，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需明确“方程不含x的一次项”的含义：将方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）后，一次项系数$b=0$。解题步骤为：①先将原方程展开、移项，整理为一般形式；②提取一次项系数，令其等于0，建立关于$m$的一元一次方程；③解方程即可求出$m$的值。
【解析】
首先将原方程化为一元二次方程的一般形式：
1. 展开左边：$(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$，原方程变为：
$x^2 + 4x + 4 = 2mx + m$
2. 移项、合并同类项：
将右侧所有项移到左侧，得$x^2 + 4x + 4 - 2mx - m = 0$
整理为标准形式：$x^2 + (4 - 2m)x + (4 - m) = 0$
3. 因为方程不含$x$的一次项，所以一次项系数为0，即：
$4 - 2m = 0$
解得：$m = 2$
【答案】
2
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 多项式不含项的条件
3. 解一元一次方程
【点评】
本题属于一元二次方程概念的基础考查题，核心是理解多项式不含某一项即该项的系数为0，整理方程时要注意移项的符号问题，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
4. 已知关于x的一元二次方程$2x^2 - 3x + m = 0$有一个根为-2，则m的值为
-14
。答案
4. -14
解析
【分析】
本题的解题核心是利用一元二次方程根的定义求解，方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值。已知$x=-2$是方程的根，我们只需要将$x=-2$代入原方程，就可以得到一个只含有未知数$m$的一元一次方程，解这个一元一次方程就能求出$m$的值。
【解析】
根据一元二次方程根的定义，将$x=-2$代入方程$2x^2 - 3x + m = 0$，可得：
$2× (-2)^2 - 3× (-2) + m = 0$
先计算乘方和乘法运算：
$2× 4 + 6 + m = 0$
化简得：
$8 + 6 + m = 0$
合并同类项：
$14 + m = 0$
解得：$m=-14$
【答案】
$-14$
【知识点】
一元二次方程根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，主要考查对方程根的定义的理解与应用，解题思路直接，计算时注意符号运算，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
本题的解题核心是利用一元二次方程根的定义求解，方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值。已知$x=-2$是方程的根，我们只需要将$x=-2$代入原方程，就可以得到一个只含有未知数$m$的一元一次方程，解这个一元一次方程就能求出$m$的值。
【解析】
根据一元二次方程根的定义，将$x=-2$代入方程$2x^2 - 3x + m = 0$，可得：
$2× (-2)^2 - 3× (-2) + m = 0$
先计算乘方和乘法运算：
$2× 4 + 6 + m = 0$
化简得：
$8 + 6 + m = 0$
合并同类项：
$14 + m = 0$
解得：$m=-14$
【答案】
$-14$
【知识点】
一元二次方程根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，主要考查对方程根的定义的理解与应用，解题思路直接，计算时注意符号运算，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
5*. 若关于x的方程$(a-3)x^{a^2 -7}+3x+2=0$是一元二次方程，则a的值为
-3
。答案
5. -3
解析
【分析】
要确定a的值，需结合一元二次方程的定义思考：一元二次方程需要同时满足两个核心条件：一是未知数的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0（否则二次项消失，方程就不是一元二次方程）。我们先根据最高次数为2列方程求出a的可能值，再根据二次项系数非零的条件排除不符合要求的解，最终得到正确的a值。
【解析】
根据一元二次方程的定义可得：
1. 未知数x的最高次数为2：
$a^2 - 7 = 2$
移项得$a^2 = 9$，解得$a = 3$或$a = -3$
2. 二次项系数不为0：
$a - 3 ≠ 0$，即$a ≠ 3$
综合两个条件，排除$a=3$，因此$a = -3$
【答案】
-3
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 二次项系数非零要求
【点评】
本题是一元二次方程概念的基础应用题型，易错点是容易忽略二次项系数不能为0的限制，直接得出a=±3的错误结论，解题时需注意定义的两个条件要同时满足，缺一不可。
【难度系数】
0.6
要确定a的值，需结合一元二次方程的定义思考：一元二次方程需要同时满足两个核心条件：一是未知数的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0（否则二次项消失，方程就不是一元二次方程）。我们先根据最高次数为2列方程求出a的可能值，再根据二次项系数非零的条件排除不符合要求的解，最终得到正确的a值。
【解析】
根据一元二次方程的定义可得：
1. 未知数x的最高次数为2：
$a^2 - 7 = 2$
移项得$a^2 = 9$，解得$a = 3$或$a = -3$
2. 二次项系数不为0：
$a - 3 ≠ 0$，即$a ≠ 3$
综合两个条件，排除$a=3$，因此$a = -3$
【答案】
-3
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 二次项系数非零要求
【点评】
本题是一元二次方程概念的基础应用题型，易错点是容易忽略二次项系数不能为0的限制，直接得出a=±3的错误结论，解题时需注意定义的两个条件要同时满足，缺一不可。
【难度系数】
0.6
三、解答题
1. 将下列方程化为关于x的一般形式，指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)$5x - 8 = 3x^2$
(2)$2x(x - 1) = 3(x + 5) + 3$
(3)$3x^2 = 5x - 1$
(4)$(x - 3)^2 = x + 3$
(5)$(2x - 1)(x + 5) = 6x$
(6)$(x + 4)(x - 4) = 3x - 7$
1. 将下列方程化为关于x的一般形式，指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)$5x - 8 = 3x^2$
(2)$2x(x - 1) = 3(x + 5) + 3$
(3)$3x^2 = 5x - 1$
(4)$(x - 3)^2 = x + 3$
(5)$(2x - 1)(x + 5) = 6x$
(6)$(x + 4)(x - 4) = 3x - 7$
答案
1. (1)$3x^2-5x+8=0;a=3,b=-5,c=8$
(2)$2x^2-5x-18=0;a=2,b=-5,c=-18$
(3)$3x^2-5x+1=0;a=3,b=-5,c=1$
(4)$x^2-7x+6=0;a=1,b=-7,c=6$
(5)$2x^2+3x-5=0;a=2,b=3,c=-5$
(6)$x^2-3x-9=0;a=1,b=-3,c=-9$
(2)$2x^2-5x-18=0;a=2,b=-5,c=-18$
(3)$3x^2-5x+1=0;a=3,b=-5,c=1$
(4)$x^2-7x+6=0;a=1,b=-7,c=6$
(5)$2x^2+3x-5=0;a=2,b=3,c=-5$
(6)$x^2-3x-9=0;a=1,b=-3,c=-9$
解析
【分析】
要将方程化为一元二次方程的一般形式，首先明确一元二次方程的标准形式为$ax^2+bx+c=0$（$a、b、c$为常数，$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题步骤如下：1. 有括号的先通过整式乘法（含乘法公式）去括号，注意不要漏乘括号内的项；2. 把所有项移到等号左侧，右侧化为0，移项要变号；3. 合并同类项，整理为一般形式（通常使二次项系数为正）；4. 对应提取各项系数，注意保留符号。
【解析】
(1) 对$5x - 8 = 3x^2$移项整理得：
$3x^2-5x+8=0$
二次项系数$a=3$，一次项系数$b=-5$，常数项$c=8$。
(2) 对$2x(x - 1) = 3(x + 5) + 3$先去括号：
左边$=2x^2-2x$，右边$=3x+15+3=3x+18$
移项合并同类项得：$2x^2-5x-18=0$
二次项系数$a=2$，一次项系数$b=-5$，常数项$c=-18$。
(3) 对$3x^2 = 5x - 1$移项合并同类项得：
$3x^2-5x+1=0$
二次项系数$a=3$，一次项系数$b=-5$，常数项$c=1$。
(4) 对$(x - 3)^2 = x + 3$先展开左边完全平方：
左边$=x^2-6x+9$，移项合并同类项得：
$x^2-7x+6=0$
二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-7$，常数项$c=6$。
(5) 对$(2x - 1)(x + 5) = 6x$先展开左边多项式乘法：
左边$=2x^2+10x-x-5=2x^2+9x-5$，移项合并同类项得：
$2x^2+3x-5=0$
二次项系数$a=2$，一次项系数$b=3$，常数项$c=-5$。
(6) 对$(x + 4)(x - 4) = 3x - 7$先利用平方差公式展开左边：
左边$=x^2-16$，移项合并同类项得：
$x^2-3x-9=0$
二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-3$，常数项$c=-9$。
【答案】
(1)$3x^2-5x+8=0;a=3,b=-5,c=8$
(2)$2x^2-5x-18=0;a=2,b=-5,c=-18$
(3)$3x^2-5x+1=0;a=3,b=-5,c=1$
(4)$x^2-7x+6=0;a=1,b=-7,c=6$
(5)$2x^2+3x-5=0;a=2,b=3,c=-5$
(6)$x^2-3x-9=0;a=1,b=-3,c=-9$
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 整式乘法运算
3. 移项与合并同类项
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，重点考查一元二次方程一般形式的化简，解题的关键是熟练掌握去括号、移项、合并同类项的运算规则，注意各项系数要保留本身的符号，避免因移项忘变号、去括号漏乘而出错，是对一元二次方程基本概念的巩固练习。
【难度系数】
0.8
要将方程化为一元二次方程的一般形式，首先明确一元二次方程的标准形式为$ax^2+bx+c=0$（$a、b、c$为常数，$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题步骤如下：1. 有括号的先通过整式乘法（含乘法公式）去括号，注意不要漏乘括号内的项；2. 把所有项移到等号左侧，右侧化为0，移项要变号；3. 合并同类项，整理为一般形式（通常使二次项系数为正）；4. 对应提取各项系数，注意保留符号。
【解析】
(1) 对$5x - 8 = 3x^2$移项整理得：
$3x^2-5x+8=0$
二次项系数$a=3$，一次项系数$b=-5$，常数项$c=8$。
(2) 对$2x(x - 1) = 3(x + 5) + 3$先去括号：
左边$=2x^2-2x$，右边$=3x+15+3=3x+18$
移项合并同类项得：$2x^2-5x-18=0$
二次项系数$a=2$，一次项系数$b=-5$，常数项$c=-18$。
(3) 对$3x^2 = 5x - 1$移项合并同类项得：
$3x^2-5x+1=0$
二次项系数$a=3$，一次项系数$b=-5$，常数项$c=1$。
(4) 对$(x - 3)^2 = x + 3$先展开左边完全平方：
左边$=x^2-6x+9$，移项合并同类项得：
$x^2-7x+6=0$
二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-7$，常数项$c=6$。
(5) 对$(2x - 1)(x + 5) = 6x$先展开左边多项式乘法：
左边$=2x^2+10x-x-5=2x^2+9x-5$，移项合并同类项得：
$2x^2+3x-5=0$
二次项系数$a=2$，一次项系数$b=3$，常数项$c=-5$。
(6) 对$(x + 4)(x - 4) = 3x - 7$先利用平方差公式展开左边：
左边$=x^2-16$，移项合并同类项得：
$x^2-3x-9=0$
二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-3$，常数项$c=-9$。
【答案】
(1)$3x^2-5x+8=0;a=3,b=-5,c=8$
(2)$2x^2-5x-18=0;a=2,b=-5,c=-18$
(3)$3x^2-5x+1=0;a=3,b=-5,c=1$
(4)$x^2-7x+6=0;a=1,b=-7,c=6$
(5)$2x^2+3x-5=0;a=2,b=3,c=-5$
(6)$x^2-3x-9=0;a=1,b=-3,c=-9$
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 整式乘法运算
3. 移项与合并同类项
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，重点考查一元二次方程一般形式的化简，解题的关键是熟练掌握去括号、移项、合并同类项的运算规则，注意各项系数要保留本身的符号，避免因移项忘变号、去括号漏乘而出错，是对一元二次方程基本概念的巩固练习。
【难度系数】
0.8
