1. 下列长度(单位:厘米)的三条线段不可能是一个三角形的边长的是().

A.5,12,13
B.5,7,12
C.5,7,7
D.4,6,9

1.B

【分析】
要判断三条线段能否构成三角形，依据是三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。为了简化计算，无需验证所有组合，只需找出每组线段中较短的两条，计算它们的和，再和最长的线段比较即可：如果较短两边之和大于最长边，就能构成三角形；如果小于或等于最长边，就无法构成三角形，据此逐一验证选项即可。
【解析】
根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，可通过“较短两边之和与最长边比较”的方法判断：
A. 较短边为5和12，5+12=17＞13，可构成三角形，不符合题意；
B. 较短边为5和7，5+7=12，与最长边相等，无法构成三角形，符合题意；
C. 较短边为5和7，5+7=12＞7，可构成三角形，不符合题意；
D. 较短边为4和6，4+6=10＞9，可构成三角形，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是基础题型，核心考查三角形三边关系的实际应用，掌握“比较较短两边之和与最长边大小”的简便判断方法可快速解题，需注意“两边之和等于第三边时无法构成三角形”是常见易错点。
【难度系数】
0.9

2.已知三角形两边的长是2 cm和7 cm，第三边的长为奇数，求这个三角形的周长。

解 设三角形的第三边长为x cm，
由题意,得7−2＜x＜7+2,
解得5＜x＜9.
∵第三边的长为奇数,
∴x=7,
∴这个三角形的周长=2+7+7=16(cm).

【分析】
要解决该问题，需分步骤思考：首先利用三角形三边关系确定第三边的取值范围，再结合“第三边为奇数”的限制条件筛选出第三边的具体长度，最后将三边长度相加得到周长。具体逻辑为：①设第三边长为x cm，依据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”列不等式；②解不等式得到x的取值区间；③从区间内筛选出奇数，确定第三边的长；④计算三边之和即为三角形周长。
【解析】
解：设三角形的第三边长为x cm，
由三角形三边关系，得：$7-2 ＜ x ＜ 7+2$，
解得：$5 ＜ x ＜ 9$。
∵第三边的长为奇数，
∴符合条件的$x=7$，
∴这个三角形的周长为$2+7+7=16(\mathrm{cm})$。
【答案】
16 cm
【知识点】
1.三角形三边关系
2.奇数的概念
3.三角形周长计算
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用类题目，解题关键是先通过三边关系确定第三边的取值范围，再结合限定条件确定第三边的具体值，最后计算周长即可，易错点为忽略三边关系的限制，错误选取第三边的长度。
【难度系数】
0.8

3. ，王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，发现这个木架会变形，要使这个木架不变形，他至少要再钉上木条的根数是().

A.0
B.1
C.2
D.3

3.B

【分析】
要解决这个问题，首先回忆图形稳定性的相关知识：三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性，容易发生变形。要让四边形木架不变形，核心是将四边形分割为稳定的三角形结构。接下来思考最少添加几根木条可以完成分割：四边形有4个顶点，只需添加1根木条连接任意一组对角顶点，即可将四边形分为2个三角形，此时整体结构就具备稳定性，因此最少添加1根即可。
【解析】
解：①首先明确图形特性：三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性，所以原本的四边形木架会变形。
②要使木架不变形，需将四边形分割为三角形结构：在四边形的任意一组对角之间钉1根木条，即可把四边形分成2个三角形，三角形的稳定性会让整个木架不再变形。
因此至少需要再钉上1根木条，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形的稳定性、四边形的不稳定性
【点评】
这道题是几何稳定性知识在生活中的实际应用题，解题的关键是理解“添加木条构造三角形即可获得稳定结构”的核心思路，题目贴近生活，难度较低。
【难度系数】
0.9

4.已知a,b,c是三角形的三边长.
(1)化简:$|a - b - c| + |b - c - a| + |c - a - b|$；
(2)若$a + b = 11,b + c = 9,a + c = 10$,求这个三角形的各边长.

(1)
∵a,b,c是三角形的三边长,
∴a−b−c＜0,b−c−a＜0,c−a−b＜0,
∴|a−b−c|+|b−c−a|+|c−a−b|=−a+b+c−b+c+a−c+a+b=a+b+c.
(2)
∵a+b=11①,b+c=9②,a+c=10③,
由①−②,得a−c=2④,
由③+④,得2a=12,
∴a=6,
∴b=11−6=5,c=10−6=4.

【分析】
(1) 要化简含绝对值的式子，首先需判断绝对值内表达式的正负。已知a、b、c是三角形三边长，根据三角形“任意两边之和大于第三边”的性质，可推导出每个绝对值内的式子均为负数，再结合负数的绝对值等于它的相反数的性质去掉绝对值符号，最后合并同类项即可得到化简结果。
(2) 题目给出了三个关于a、b、c的等式，构成三元一次方程组，可采用消元法求解：先通过两个等式相减消去一个未知数，得到剩余两个未知数的关系，再和第三个等式联立求出一个未知数的值，最后代入原式求出另外两个未知数的值。
【解析】
(1)
∵a,b,c是三角形的三边长，
∴根据三角形三边关系可得$a ＜ b+c$，$b ＜ c+a$，$c ＜ a+b$，
∴$a−b−c＜0$，$b−c−a＜0$，$c−a−b＜0$，
∴$|a−b−c| + |b−c−a| + |c−a−b|$
$= -(a-b-c) -(b-c-a) -(c-a-b)$
$= −a+b+c−b+c+a−c+a+b$
$= a+b+c$。
(2)
由题意得：
$a+b=11$ ①，
$b+c=9$ ②，
$a+c=10$ ③，
由①−②，得$a-c=2$ ④，
由③+④，得$2a=12$，
∴$a=6$，
将$a=6$代入①得$b=11-6=5$，
将$a=6$代入③得$c=10-6=4$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{a+b+c}$
(2) 三边长分别为$\boldsymbol{a=6}$，$\boldsymbol{b=5}$，$\boldsymbol{c=4}$
【知识点】
三角形三边关系；绝对值的性质；解三元一次方程组
【点评】
本题是三角形性质与代数运算的结合类基础题，第一小问的易错点是去绝对值时符号判断错误，需牢记三角形三边关系的变形应用；第二小问重点考察消元法解方程组的思路，熟练掌握加减消元、代入消元的方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8

5.如图，O是△ABC内一点，连接OB，OC.
(1)请说明$OB+OC＜AB+AC$；
(2)若$AB=5$，$AC=6$，$BC=7$，请写出$OB+OC$的取值范围.

(1)如图,延长BO与AC交于点D,

由AB+AD＞BD,OD+CD＞CO,
得AB+AC＞BO+CO,
即BO+CO＜AB+AC.
(2)根据三角形的三边关系可得BO+CO＞BC,
∵AB=5,AC=6,BC=7,且由(1)得BO+CO＜AB+AC,
∴7＜BO+CO＜11.

【分析】
(1)要证明$OB+OC＜AB+AC$，需利用三角形三边关系“两边之和大于第三边”，通过延长$BO$交$AC$于点$D$，将待比较的线段拆分到$△ ABD$和$△ ODC$两个三角形中，分别列出三边关系对应的不等式，再将两个不等式相加化简即可推导结论。
(2)求$OB+OC$的取值范围时，首先利用$△ OBC$的三边关系得到$OB+OC$的下界，再结合第(1)问得到的结论得到$OB+OC$的上界，代入已知边长即可得到最终取值范围。
【解析】
(1) 证明：延长$BO$与$AC$交于点$D$。
在$△ ABD$中，根据三角形三边关系可得：$AB + AD ＞ BD$，
又$\because BD = BO + OD$，因此$AB + AD ＞ BO + OD$ ①；
在$△ ODC$中，根据三角形三边关系可得：$OD + CD ＞ OC$ ②；
将①和②左右两边分别相加，得$AB + AD + OD + CD ＞ BO + OD + OC$，
$\because AD + CD = AC$，两边同时减去$OD$，可得$AB + AC ＞ BO + OC$，即$OB + OC ＜ AB + AC$。
(2) 解：在$△ OBC$中，根据三角形三边关系可得$OB + OC ＞ BC$，已知$BC=7$，因此$OB + OC ＞ 7$；
由(1)的结论可知$OB + OC ＜ AB + AC$，已知$AB=5$，$AC=6$，因此$AB + AC = 5 + 6 = 11$，即$OB + OC ＜ 11$；
综上可得$OB+OC$的取值范围是$7 ＜ OB + OC ＜ 11$。
【答案】
(1)如图,延长BO与AC交于点D,

由AB+AD＞BD,OD+CD＞CO,
得AB+AC＞BO+CO,
即BO+CO＜AB+AC.
(2)根据三角形的三边关系可得BO+CO＞BC,
∵AB=5,AC=6,BC=7,且由(1)得BO+CO＜AB+AC,
∴7＜BO+CO＜11.
【知识点】
1.三角形三边关系
2.不等式的基本性质
【点评】
本题是三角形三边关系的典型应用题型，解题关键是通过构造辅助线将分散的线段关联起来，结合不等式的性质推导不等关系，既考查了基础定理的掌握，也锻炼了几何辅助线的构造思维。
【难度系数】
0.7