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有理数的加法运算律
(1)在有理数的加法中,两个数相加,交换加数的位置,和
加法交换律:$a + b = b + a$.
(2)在有理数的加法中,三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和
加法结合律:$(a + b) + c = a + (b + c)$.
(3)根据加法交换律和结合律,多个有理数相加,可以任意交换加数的
(1)在有理数的加法中,两个数相加,交换加数的位置,和
不变
.加法交换律:$a + b = b + a$.
(2)在有理数的加法中,三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和
不变
.加法结合律:$(a + b) + c = a + (b + c)$.
(3)根据加法交换律和结合律,多个有理数相加,可以任意交换加数的
位置
,也可以先把其中的几个数相加.答案
(1) 不变
(2) 不变
(3) 位置
(2) 不变
(3) 位置
解析
【分析】
这道题属于基础概念识记类题目，解题思路是回忆有理数加法交换律、结合律的定义内容，对应题干描述逐一填空即可：①第(1)问对应加法交换律的核心特征，明确交换加数位置时和的变化特点；②第(2)问对应加法结合律的核心特征，明确改变相加顺序时和的变化特点；③第(3)问是两个运算律推广到多个有理数相加的应用，明确交换律的操作对象。
【解析】
(1)根据有理数加法交换律的定义：两个有理数相加，交换加数的位置，和不变，因此本空填“不变”；
(2)根据有理数加法结合律的定义：三个有理数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，因此本空填“不变”；
(3)将加法交换律和结合律推广到多个有理数相加的场景时，可任意交换加数的位置，也可先计算其中几个数的和，因此本空填“位置”。
【答案】
(1)不变；(2)不变；(3)位置
【知识点】
加法交换律、加法结合律、有理数加法运算律
【点评】
本题直接考查有理数加法运算律的基本内容，属于基础题型，熟记相关概念即可快速作答，掌握运算律是后续开展有理数简便运算的重要基础。
【难度系数】
0.9
这道题属于基础概念识记类题目，解题思路是回忆有理数加法交换律、结合律的定义内容，对应题干描述逐一填空即可：①第(1)问对应加法交换律的核心特征，明确交换加数位置时和的变化特点；②第(2)问对应加法结合律的核心特征，明确改变相加顺序时和的变化特点；③第(3)问是两个运算律推广到多个有理数相加的应用，明确交换律的操作对象。
【解析】
(1)根据有理数加法交换律的定义：两个有理数相加，交换加数的位置，和不变，因此本空填“不变”；
(2)根据有理数加法结合律的定义：三个有理数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，因此本空填“不变”；
(3)将加法交换律和结合律推广到多个有理数相加的场景时，可任意交换加数的位置，也可先计算其中几个数的和，因此本空填“位置”。
【答案】
(1)不变；(2)不变；(3)位置
【知识点】
加法交换律、加法结合律、有理数加法运算律
【点评】
本题直接考查有理数加法运算律的基本内容，属于基础题型，熟记相关概念即可快速作答，掌握运算律是后续开展有理数简便运算的重要基础。
【难度系数】
0.9
典例1 计算：
(1)$\frac{10}{3}+(-\frac{11}{4})+\frac{5}{6}+(-\frac{7}{12})$；
(2)$(-21.6)+3+7.4+(-\frac{2}{5})$。
(1)$\frac{10}{3}+(-\frac{11}{4})+\frac{5}{6}+(-\frac{7}{12})$；
(2)$(-21.6)+3+7.4+(-\frac{2}{5})$。
答案
解：
(1) 原式$=(\frac{10}{3}+\frac{5}{6})+[(-\frac{11}{4})+(-\frac{7}{12})]$
$=\frac{25}{6}+(-\frac{10}{3})$
$=\frac{25}{6}-\frac{20}{6}$
$=\frac{5}{6}$
(2) 原式$=[(-21.6)+(-\frac{2}{5})]+(3+7.4)$
$=(-21.6-0.4)+10.4$
$=-22+10.4$
$=-11.6$
(1) 原式$=(\frac{10}{3}+\frac{5}{6})+[(-\frac{11}{4})+(-\frac{7}{12})]$
$=\frac{25}{6}+(-\frac{10}{3})$
$=\frac{25}{6}-\frac{20}{6}$
$=\frac{5}{6}$
(2) 原式$=[(-21.6)+(-\frac{2}{5})]+(3+7.4)$
$=(-21.6-0.4)+10.4$
$=-22+10.4$
$=-11.6$
解析
【分析】
这两道是多个有理数相加的计算题，可利用加法交换律和结合律简化运算：
(1) 观察算式中的分数，将正数、负数分别归类结合，能减少通分次数，降低计算难度；
(2) 算式同时包含小数和分数，先将分数转化为小数，再把能凑整的数结合计算，可大幅简化运算步骤。
【解析】
(1) 原式$=(\frac{10}{3}+\frac{5}{6})+[(-\frac{11}{4})+(-\frac{7}{12})]$
$=\frac{25}{6}+(-\frac{10}{3})$
$=\frac{25}{6}-\frac{20}{6}$
$=\frac{5}{6}$
(2) 先将$-\frac{2}{5}$换算为$-0.4$，则：
原式$=[(-21.6)+(-\frac{2}{5})]+(3+7.4)$
$=(-21.6-0.4)+10.4$
$=-22+10.4$
$=-11.6$
【答案】
(1)$\frac{5}{6}$；(2)$-11.6$
【知识点】
有理数加法运算律，有理数加减运算，分数小数互化
【点评】
本题核心考查有理数加法运算律的灵活应用，解题的关键是先观察数字特征，优先将同号、同分母或能凑整的数结合计算，能有效降低运算出错概率，提升计算效率。
【难度系数】
0.8
这两道是多个有理数相加的计算题，可利用加法交换律和结合律简化运算：
(1) 观察算式中的分数，将正数、负数分别归类结合，能减少通分次数，降低计算难度；
(2) 算式同时包含小数和分数，先将分数转化为小数，再把能凑整的数结合计算，可大幅简化运算步骤。
【解析】
(1) 原式$=(\frac{10}{3}+\frac{5}{6})+[(-\frac{11}{4})+(-\frac{7}{12})]$
$=\frac{25}{6}+(-\frac{10}{3})$
$=\frac{25}{6}-\frac{20}{6}$
$=\frac{5}{6}$
(2) 先将$-\frac{2}{5}$换算为$-0.4$，则：
原式$=[(-21.6)+(-\frac{2}{5})]+(3+7.4)$
$=(-21.6-0.4)+10.4$
$=-22+10.4$
$=-11.6$
【答案】
(1)$\frac{5}{6}$；(2)$-11.6$
【知识点】
有理数加法运算律，有理数加减运算，分数小数互化
【点评】
本题核心考查有理数加法运算律的灵活应用，解题的关键是先观察数字特征，优先将同号、同分母或能凑整的数结合计算，能有效降低运算出错概率，提升计算效率。
【难度系数】
0.8
典例2 有10袋粮食,每袋的质量(单位:kg)如下:199,201,197,203,200,195,197,199,202,196.
(1)如果每袋粮食以200 kg为质量标准,求这10袋粮食总计超过多少千克或者不足多少千克.
(2)这10袋粮食一共多少千克?
(1)如果每袋粮食以200 kg为质量标准,求这10袋粮食总计超过多少千克或者不足多少千克.
(2)这10袋粮食一共多少千克?
答案
解：
(1) 以200 kg为质量标准，10袋粮食对应的质量偏差分别为：
-1，+1，-3，+3，0，-5，-3，-1，+2，-4
将所有偏差相加：
$\begin{aligned}&(-1)+1+(-3)+3+0+(-5)+(-3)+(-1)+2+(-4)\\=&[(-1)+1]+[(-3)+3]+[(-5)+(-3)+(-1)+(-4)]+2\\=&0+0+(-13)+2\\=&-11\end{aligned}$
所以这10袋粮食总计不足11 kg。
(2) 计算10袋粮食的总质量：
$200×10 + (-11) = 2000 - 11 = 1989\ (\mathrm{kg})$
答：(1) 这10袋粮食总计不足11千克；(2) 这10袋粮食一共1989千克。
(1) 以200 kg为质量标准，10袋粮食对应的质量偏差分别为：
-1，+1，-3，+3，0，-5，-3，-1，+2，-4
将所有偏差相加：
$\begin{aligned}&(-1)+1+(-3)+3+0+(-5)+(-3)+(-1)+2+(-4)\\=&[(-1)+1]+[(-3)+3]+[(-5)+(-3)+(-1)+(-4)]+2\\=&0+0+(-13)+2\\=&-11\end{aligned}$
所以这10袋粮食总计不足11 kg。
(2) 计算10袋粮食的总质量：
$200×10 + (-11) = 2000 - 11 = 1989\ (\mathrm{kg})$
答：(1) 这10袋粮食总计不足11千克；(2) 这10袋粮食一共1989千克。
解析
【分析】
要解决这两个问题，我们可以通过设定标准量简化计算：
1. 解决第(1)问时，先以200kg为标准，把每袋粮食的实际质量减去200kg，超过的部分记为正数，不足的部分记为负数，得到每袋的质量偏差；再把所有偏差相加，若和为正说明总计超过标准质量，和为负说明总计不足标准质量，计算时可以用加法交换律和结合律把互为相反数的数先相加，简化运算。
2. 解决第(2)问时，用标准总质量（200kg乘袋数）加上偏差的总和，就能得到10袋粮食的实际总质量，比直接相加10个大数更简便。
【解析】
(1) 以200 kg为质量标准，超过记为正，不足记为负，10袋粮食对应的质量偏差分别为：
-1，+1，-3，+3，0，-5，-3，-1，+2，-4
将所有偏差相加，利用加法运算律简化计算：
$\begin{aligned}&(-1)+1+(-3)+3+0+(-5)+(-3)+(-1)+2+(-4)\\=&[(-1)+1]+[(-3)+3]+[(-5)+(-3)+(-1)+(-4)]+2\\=&0+0+(-13)+2\\=&-11\end{aligned}$
结果为负，说明这10袋粮食总计不足标准质量11kg。
(2) 10袋粮食的标准总质量为$200×10=2000$kg，加上偏差总和得到实际总质量：
$200×10 + (-11) = 2000 - 11 = 1989\ (\mathrm{kg})$
【答案】
(1) 这10袋粮食总计不足11千克；
(2) 这10袋粮食一共1989千克。
【知识点】
正负数的实际应用、有理数加法运算律、有理数加法计算
【点评】
本题是有理数加法在实际生活中的典型应用，核心是通过选取合适的标准量，将复杂的大数求和转化为较小的偏差值求和，结合加法运算律能大幅降低计算量、减少出错概率，解题时要注意正负数的符号不要写错。
【难度系数】
0.8
要解决这两个问题，我们可以通过设定标准量简化计算：
1. 解决第(1)问时，先以200kg为标准，把每袋粮食的实际质量减去200kg，超过的部分记为正数，不足的部分记为负数，得到每袋的质量偏差；再把所有偏差相加，若和为正说明总计超过标准质量，和为负说明总计不足标准质量，计算时可以用加法交换律和结合律把互为相反数的数先相加，简化运算。
2. 解决第(2)问时，用标准总质量（200kg乘袋数）加上偏差的总和，就能得到10袋粮食的实际总质量，比直接相加10个大数更简便。
【解析】
(1) 以200 kg为质量标准，超过记为正，不足记为负，10袋粮食对应的质量偏差分别为：
-1，+1，-3，+3，0，-5，-3，-1，+2，-4
将所有偏差相加，利用加法运算律简化计算：
$\begin{aligned}&(-1)+1+(-3)+3+0+(-5)+(-3)+(-1)+2+(-4)\\=&[(-1)+1]+[(-3)+3]+[(-5)+(-3)+(-1)+(-4)]+2\\=&0+0+(-13)+2\\=&-11\end{aligned}$
结果为负，说明这10袋粮食总计不足标准质量11kg。
(2) 10袋粮食的标准总质量为$200×10=2000$kg，加上偏差总和得到实际总质量：
$200×10 + (-11) = 2000 - 11 = 1989\ (\mathrm{kg})$
【答案】
(1) 这10袋粮食总计不足11千克；
(2) 这10袋粮食一共1989千克。
【知识点】
正负数的实际应用、有理数加法运算律、有理数加法计算
【点评】
本题是有理数加法在实际生活中的典型应用，核心是通过选取合适的标准量，将复杂的大数求和转化为较小的偏差值求和，结合加法运算律能大幅降低计算量、减少出错概率，解题时要注意正负数的符号不要写错。
【难度系数】
0.8
