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典例3 第19届亚运会在杭州市成功举办.据测算,亚运会对杭州市GDP(国内生产总值)的拉动量约为4 141亿元.数据4 141亿用科学记数法表示为.
答案
解：
4141亿 = 4141×100000000 = 414100000000
用科学记数法表示为$4.141×10^{11}$
4141亿 = 4141×100000000 = 414100000000
用科学记数法表示为$4.141×10^{11}$
解析
【分析】
解题时首先明确科学记数法的表示规则：科学记数法的形式为$a×10^n$，其中需满足$1≤ |a|＜10$，n为正整数。思考步骤如下：第一步先将带“亿”单位的数转换为普通整数，1亿等于100000000，因此用4141乘100000000得到原数；第二步把原数的小数点向左移动到第一个非零数字的后方，得到符合要求的a，小数点移动的总位数就是n的值，代入表达式即可得到结果。
【解析】
首先进行单位换算：
$4141亿 = 4141×100000000 = 414100000000$
根据科学记数法的定义，其表示形式为$a×10^n$（$1≤ |a|＜10$，n为整数）。将414100000000的小数点向左移动11位，可得$a=4.141$，对应$n=11$。
因此4141亿用科学记数法表示为$4.141×10^{11}$。
【答案】
$4.141×10^{11}$
【知识点】
科学记数法；大数单位换算
【点评】
本题考查用科学记数法表示较大的数，解题关键是先准确还原带计数单位的大数，再根据规则确定a和n的取值，属于基础常考题，熟练掌握规则即可快速得分。
【难度系数】
0.85
解题时首先明确科学记数法的表示规则：科学记数法的形式为$a×10^n$，其中需满足$1≤ |a|＜10$，n为正整数。思考步骤如下：第一步先将带“亿”单位的数转换为普通整数，1亿等于100000000，因此用4141乘100000000得到原数；第二步把原数的小数点向左移动到第一个非零数字的后方，得到符合要求的a，小数点移动的总位数就是n的值，代入表达式即可得到结果。
【解析】
首先进行单位换算：
$4141亿 = 4141×100000000 = 414100000000$
根据科学记数法的定义，其表示形式为$a×10^n$（$1≤ |a|＜10$，n为整数）。将414100000000的小数点向左移动11位，可得$a=4.141$，对应$n=11$。
因此4141亿用科学记数法表示为$4.141×10^{11}$。
【答案】
$4.141×10^{11}$
【知识点】
科学记数法；大数单位换算
【点评】
本题考查用科学记数法表示较大的数，解题关键是先准确还原带计数单位的大数，再根据规则确定a和n的取值，属于基础常考题，熟练掌握规则即可快速得分。
【难度系数】
0.85
典例4 利用下图,可求$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}$的值是.
（2）由题意得，$25×203 - 20×200 = 1075$(元).
答:全部售出可获利1075元.
（3）由题意得，$25×203×60\% +25×203×(1-60\%)×70\% -20×200 =466$(元).
答:是盈利的,盈利466元.
典例3
答案 $4.141×10^{11}$
典例4
答案 $\frac{31}{32}$
解析 令正方形的边长为1,由图可得，$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}=1-\frac{1}{2^5}=\frac{31}{32}$,故答案为$\frac{31}{32}.$
（2）由题意得，$25×203 - 20×200 = 1075$(元).
答:全部售出可获利1075元.
（3）由题意得，$25×203×60\% +25×203×(1-60\%)×70\% -20×200 =466$(元).
答:是盈利的,盈利466元.
典例3
答案 $4.141×10^{11}$
典例4
答案 $\frac{31}{32}$
解析 令正方形的边长为1,由图可得，$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}=1-\frac{1}{2^5}=\frac{31}{32}$,故答案为$\frac{31}{32}.$
答案
解：
令正方形的面积为1，由图可得：
$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}=1-\frac{1}{2^5}=1-\frac{1}{32}=\frac{31}{32}$
故答案为$\frac{31}{32}$。
令正方形的面积为1，由图可得：
$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}=1-\frac{1}{2^5}=1-\frac{1}{32}=\frac{31}{32}$
故答案为$\frac{31}{32}$。
解析
【分析】
观察求和式子发现，各分数的分母依次是2的1次方到5次方，刚好对应图中正方形每次分割后各部分的面积。我们可以把整个正方形的面积看作单位“1”：序号①的面积是$\frac{1}{2}$，序号②的面积是$\frac{1}{2^2}$，序号③的面积是$\frac{1}{2^3}$，序号④的面积是$\frac{1}{2^4}$，序号⑤的面积是$\frac{1}{2^5}$，最后剩余的阴影部分面积为$\frac{1}{2^5}$。要求这5个分数的和，可直接用正方形总面积减去剩余阴影部分的面积，无需通分计算，简化求解过程。
【解析】
令正方形的面积为1，由图形的分割规律可得：
$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}=1-\frac{1}{2^5}=1-\frac{1}{32}=\frac{31}{32}$
【答案】
$\frac{31}{32}$
【知识点】
分数运算，数形结合，整体思想
【点评】
本题将抽象的分数求和问题转化为直观的图形面积计算，借助“整体减去剩余部分”的思路简化运算，能帮助我们更清晰地理解这类等比分数求和的规律，体现了数形结合思想在代数运算中的优势。
【难度系数】
0.8
观察求和式子发现，各分数的分母依次是2的1次方到5次方，刚好对应图中正方形每次分割后各部分的面积。我们可以把整个正方形的面积看作单位“1”：序号①的面积是$\frac{1}{2}$，序号②的面积是$\frac{1}{2^2}$，序号③的面积是$\frac{1}{2^3}$，序号④的面积是$\frac{1}{2^4}$，序号⑤的面积是$\frac{1}{2^5}$，最后剩余的阴影部分面积为$\frac{1}{2^5}$。要求这5个分数的和，可直接用正方形总面积减去剩余阴影部分的面积，无需通分计算，简化求解过程。
【解析】
令正方形的面积为1，由图形的分割规律可得：
$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}=1-\frac{1}{2^5}=1-\frac{1}{32}=\frac{31}{32}$
【答案】
$\frac{31}{32}$
【知识点】
分数运算，数形结合，整体思想
【点评】
本题将抽象的分数求和问题转化为直观的图形面积计算，借助“整体减去剩余部分”的思路简化运算，能帮助我们更清晰地理解这类等比分数求和的规律，体现了数形结合思想在代数运算中的优势。
【难度系数】
0.8
