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综合与实践 进位制的认识与探究
背景材料 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统.约定逢十进一就是十进制,逢二进一就是二进制.也就是说,“逢几进一”就是几进制,几进制的基数就是几.现在我们通常用的是十进制数(十进制数一般不标注基数,其他要标明基数).
素材1 十进制数$234=2×10^2+3×10^1+4×10^0$,记作:$234$；七进制数$(123)_7=1×7^2+2×7^1+3×7^0$,记作:$(123)_7$.各进制数之间可以进行转换,如:将七进制数转换为与其相等的十进制数时,只要将七进制数表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式.(规定:当$a≠0$时,$a^0=1$)
素材2 将十进制数转换为七进制数,用十进制数除以7,然后将商继续除以7,直到商为0,将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可.将十进制数转换为二进制数同理.如:
$\begin{array}{r}7\enclose{longdiv}{66}\end{array}$……3(第1位余数)
$\begin{array}{r}7\enclose{longdiv}{9}\end{array}$……2(第2位余数)
$\begin{array}{r}7\enclose{longdiv}{1}\end{array}$……1(第3位余数)
0
$66=(123)_7$
$\begin{array}{r}2\enclose{longdiv}{5}\end{array}$……1(第1位余数)
$\begin{array}{r}2\enclose{longdiv}{2}\end{array}$……0(第2位余数)
$\begin{array}{r}2\enclose{longdiv}{1}\end{array}$……
第3位余数
0
$5=(101)_2$
素材3 二进制数的四则运算与十进制数的四则运算法则相同,不同的是十进制的各数位上的数为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,逢十进一,而二进制的各数位上的数为0和1,逢二进一.
二进制数的四则运算规则如下:
加法:$(0)_2+(0)_2=(0)_2,(0)_2+(1)_2=(1)_2,(1)_2+(0)_2=(1)_2,(1)_2+(1)_2=(10)_2$；
减法:$(0)_2-(0)_2=(0)_2,(1)_2-(0)_2=(1)_2,(1)_2-(1)_2=(0)_2,(10)_2-(1)_2=(1)_2$(同一数位不够减时,向高一位借1当2).
任务1 探究不同进制数之间的转换:
(1)将七进制数$(243)_7$转换成十进制数为
(2)将十进制数22转换成二进制数为
任务2 探究进制数的加法运算:
(3)$(10110)_2+(1101)_2=$
任务3 应用拓展
(4)我国古代《易经》一书中记载,远古时期,人们通过在绳子上打结来记录数据.如图,一位妇人在记录采集到的野果数量时,在从右到左依次排列的绳子上打结,满六进一,她一共采集到多少颗野果?(转换为十进制数)
背景材料 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统.约定逢十进一就是十进制,逢二进一就是二进制.也就是说,“逢几进一”就是几进制,几进制的基数就是几.现在我们通常用的是十进制数(十进制数一般不标注基数,其他要标明基数).
素材1 十进制数$234=2×10^2+3×10^1+4×10^0$,记作:$234$；七进制数$(123)_7=1×7^2+2×7^1+3×7^0$,记作:$(123)_7$.各进制数之间可以进行转换,如:将七进制数转换为与其相等的十进制数时,只要将七进制数表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式.(规定:当$a≠0$时,$a^0=1$)
素材2 将十进制数转换为七进制数,用十进制数除以7,然后将商继续除以7,直到商为0,将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可.将十进制数转换为二进制数同理.如:
$\begin{array}{r}7\enclose{longdiv}{66}\end{array}$……3(第1位余数)
$\begin{array}{r}7\enclose{longdiv}{9}\end{array}$……2(第2位余数)
$\begin{array}{r}7\enclose{longdiv}{1}\end{array}$……1(第3位余数)
0
$66=(123)_7$
$\begin{array}{r}2\enclose{longdiv}{5}\end{array}$……1(第1位余数)
$\begin{array}{r}2\enclose{longdiv}{2}\end{array}$……0(第2位余数)
$\begin{array}{r}2\enclose{longdiv}{1}\end{array}$……
第3位余数0
$5=(101)_2$
素材3 二进制数的四则运算与十进制数的四则运算法则相同,不同的是十进制的各数位上的数为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,逢十进一,而二进制的各数位上的数为0和1,逢二进一.
二进制数的四则运算规则如下:
加法:$(0)_2+(0)_2=(0)_2,(0)_2+(1)_2=(1)_2,(1)_2+(0)_2=(1)_2,(1)_2+(1)_2=(10)_2$；
减法:$(0)_2-(0)_2=(0)_2,(1)_2-(0)_2=(1)_2,(1)_2-(1)_2=(0)_2,(10)_2-(1)_2=(1)_2$(同一数位不够减时,向高一位借1当2).
任务1 探究不同进制数之间的转换:
(1)将七进制数$(243)_7$转换成十进制数为
129
；(2)将十进制数22转换成二进制数为
(10110)₂
.任务2 探究进制数的加法运算:
(3)$(10110)_2+(1101)_2=$
(100011)₂
.任务3 应用拓展
(4)我国古代《易经》一书中记载,远古时期,人们通过在绳子上打结来记录数据.如图,一位妇人在记录采集到的野果数量时,在从右到左依次排列的绳子上打结,满六进一,她一共采集到多少颗野果?(转换为十进制数)
答案
1. 129 解析 $(243)_7=2×7^2+4×7^1+3×7^0=2×49+4×7+3×1=98+28+3=129$.
2. $(10110)_2$ 解析 22÷2=11……0,11÷2=5……1,5÷2=2……1,2÷2=1……0,1÷2=0……1.将余数倒序排列得$(10110)_2$.
3. $(100011)_2$ 解析 对齐数位逐位相加,逢二进一,
| 加数 | | ( | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | )₂ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 加数 | | ( | | 1 | 1 | 0 | 1 | )₂ |
| 和 | ( | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | )₂ |
4. 542 解析 由“满六进一”知该数为六进制数,由题意知六进制数为$(2302)_6$;转换为十进制数:$2×6^3+3×6^2+0×6^1+2×6^0=2×216+3×36+0+2×1=542$,故她一共采集到542颗野果.
2. $(10110)_2$ 解析 22÷2=11……0,11÷2=5……1,5÷2=2……1,2÷2=1……0,1÷2=0……1.将余数倒序排列得$(10110)_2$.
3. $(100011)_2$ 解析 对齐数位逐位相加,逢二进一,
| 加数 | | ( | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | )₂ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 加数 | | ( | | 1 | 1 | 0 | 1 | )₂ |
| 和 | ( | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | )₂ |
4. 542 解析 由“满六进一”知该数为六进制数,由题意知六进制数为$(2302)_6$;转换为十进制数:$2×6^3+3×6^2+0×6^1+2×6^0=2×216+3×36+0+2×1=542$,故她一共采集到542颗野果.
解析
【分析】
本题是结合进位制新定义的应用类题目，解题时先提取题目给出的三类规则即可逐一求解：①n进制转十进制：将各数位数字与对应n的幂次相乘后求和，幂次从右往左从0开始递增；②十进制转n进制：用十进制数反复除以n，直到商为0，将所有余数倒序排列即为对应n进制数；③二进制加法：对齐数位逐位相加，逢二进一。其中(1)用七进制转十进制规则计算，(2)用十进制转二进制的除2取余倒序法计算，(3)按二进制加法规则计算，(4)先确定为六进制记数，写出对应六进制数后转十进制即可。
【解析】
(1)根据七进制转十进制的规则：
$(243)_7=2×7^2 + 4×7^1 + 3×7^0=2×49 + 4×7 + 3×1=98+28+3=129$
(2)根据十进制转二进制的规则，用22反复除以2取余：
$22÷2=11······0$
$11÷2=5······1$
$5÷2=2······1$
$2÷2=1······0$
$1÷2=0······1$
将余数倒序排列，得$(10110)_2$
(3)二进制加法对齐数位，逢二进一：
$\begin{aligned}&\quad10110\\&+\quad1101\\&\overline{100011}\end{aligned}$
结果为$(100011)_2$
(4)由“满六进一”可知该记数方式为六进制，对应六进制数为$(2302)_6$，转十进制计算：
$(2302)_6=2×6^3 + 3×6^2 + 0×6^1 + 2×6^0=2×216 + 3×36 + 0 + 2×1=432+108+2=542$
【答案】
(1)$129$；(2)$(10110)_2$；(3)$(100011)_2$；(4)$542$
【知识点】
进制数互转，二进制加法运算，乘方运算
【点评】
本题属于新定义信息类题型，解题核心是准确提取题目给出的进位制转换、运算规则，结合已学的乘方、除法运算即可求解，侧重考查信息提取与知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
本题是结合进位制新定义的应用类题目，解题时先提取题目给出的三类规则即可逐一求解：①n进制转十进制：将各数位数字与对应n的幂次相乘后求和，幂次从右往左从0开始递增；②十进制转n进制：用十进制数反复除以n，直到商为0，将所有余数倒序排列即为对应n进制数；③二进制加法：对齐数位逐位相加，逢二进一。其中(1)用七进制转十进制规则计算，(2)用十进制转二进制的除2取余倒序法计算，(3)按二进制加法规则计算，(4)先确定为六进制记数，写出对应六进制数后转十进制即可。
【解析】
(1)根据七进制转十进制的规则：
$(243)_7=2×7^2 + 4×7^1 + 3×7^0=2×49 + 4×7 + 3×1=98+28+3=129$
(2)根据十进制转二进制的规则，用22反复除以2取余：
$22÷2=11······0$
$11÷2=5······1$
$5÷2=2······1$
$2÷2=1······0$
$1÷2=0······1$
将余数倒序排列，得$(10110)_2$
(3)二进制加法对齐数位，逢二进一：
$\begin{aligned}&\quad10110\\&+\quad1101\\&\overline{100011}\end{aligned}$
结果为$(100011)_2$
(4)由“满六进一”可知该记数方式为六进制，对应六进制数为$(2302)_6$，转十进制计算：
$(2302)_6=2×6^3 + 3×6^2 + 0×6^1 + 2×6^0=2×216 + 3×36 + 0 + 2×1=432+108+2=542$
【答案】
(1)$129$；(2)$(10110)_2$；(3)$(100011)_2$；(4)$542$
【知识点】
进制数互转，二进制加法运算，乘方运算
【点评】
本题属于新定义信息类题型，解题核心是准确提取题目给出的进位制转换、运算规则，结合已学的乘方、除法运算即可求解，侧重考查信息提取与知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
