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典例3 已知$a,b$为定值，关于$x$的方程$\frac{kx+a}{3}=1-\frac{2x+bk}{6}$满足，无论$k$为何值，它的解总是1，则$a+b=$
0
。答案
0 解析 当 $x = 1$ 时，由方程 $\frac{kx + a}{3} = 1 - \frac{2x + bk}{6}$，得 $\frac{k + a}{3} = 1 - \frac{2 + bk}{6}$，即 $2(k + a) = 6 - (2 + bk)$，整理，得 $(2 + b)k + 2a - 4 = 0$。因为无论 $k$ 为何值，关于 $x$ 的方程 $\frac{kx + a}{3} = 1 - \frac{2x + bk}{6}$ 的解总是 1，所以 $2 + b = 0,2a - 4 = 0$，解得 $b = -2,a = 2$，则 $a + b = 0$。
解析
【分析】
首先根据题目“无论k为何值，方程的解总是1”的条件，可知x=1恒满足原方程，因此第一步先把x=1代入原方程，得到包含k、a、b的等式。由于这个等式对任意k都成立，只有当含k的项的系数为0，同时常数项也为0时，等式才能不受k取值的影响恒成立，据此列方程求解a、b的值，即可算出a+b的结果。
【解析】
∵ 无论k为何值，方程的解总是1
∴ 将x=1代入原方程$\frac{kx+a}{3}=1-\frac{2x+bk}{6}$，得：
$\frac{k+a}{3}=1-\frac{2+bk}{6}$
两边同时乘6去分母，得：
$2(k+a)=6-(2+bk)$
去括号，得：
$2k+2a=6-2-bk$
移项合并同类项，得：
$(2+b)k + 2a - 4 = 0$
∵ 等式对任意k都成立
∴ $\begin{cases}2+b=0 \\ 2a-4=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}b=-2 \\ a=2\end{cases}$
∴ $a+b=2+(-2)=0$
【答案】
0
【知识点】
一元一次方程的解；等式恒成立条件；解一元一次方程
【点评】
本题是含参一元一次方程的典型题型，解题关键是抓住“解与参数k无关”的特征，将问题转化为恒等式系数为0的问题求解，计算时要注意去分母、去括号的运算规则，避免符号错误。
【难度系数】
0.6
首先根据题目“无论k为何值，方程的解总是1”的条件，可知x=1恒满足原方程，因此第一步先把x=1代入原方程，得到包含k、a、b的等式。由于这个等式对任意k都成立，只有当含k的项的系数为0，同时常数项也为0时，等式才能不受k取值的影响恒成立，据此列方程求解a、b的值，即可算出a+b的结果。
【解析】
∵ 无论k为何值，方程的解总是1
∴ 将x=1代入原方程$\frac{kx+a}{3}=1-\frac{2x+bk}{6}$，得：
$\frac{k+a}{3}=1-\frac{2+bk}{6}$
两边同时乘6去分母，得：
$2(k+a)=6-(2+bk)$
去括号，得：
$2k+2a=6-2-bk$
移项合并同类项，得：
$(2+b)k + 2a - 4 = 0$
∵ 等式对任意k都成立
∴ $\begin{cases}2+b=0 \\ 2a-4=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}b=-2 \\ a=2\end{cases}$
∴ $a+b=2+(-2)=0$
【答案】
0
【知识点】
一元一次方程的解；等式恒成立条件；解一元一次方程
【点评】
本题是含参一元一次方程的典型题型，解题关键是抓住“解与参数k无关”的特征，将问题转化为恒等式系数为0的问题求解，计算时要注意去分母、去括号的运算规则，避免符号错误。
【难度系数】
0.6
典例4 某同学在解关于$x$的方程$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+a}{3}-2$时，由于马虎去分母后得到方程$2x-1=x+a-2$，求得方程的解为$x=2$。
(1)试求$a$的值。
(2)你认为$x=2$是方程$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+a}{3}-2$的解吗？如果认为是，请说明理由；如果认为不是，请求出方程$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+a}{3}-2$的解。
(1)试求$a$的值。
(2)你认为$x=2$是方程$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+a}{3}-2$的解吗？如果认为是，请说明理由；如果认为不是，请求出方程$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+a}{3}-2$的解。
答案
解 (1)当x=2时，2x-1=x+a-2，得2×2-1=2+a-2，解得a=3。
(2)不是，x=-2。理由如下:由a=3，得方程为$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+3}{3}-2$，去分母，得2x-1=x+3-6。移项，得2x-x=3-6+1。合并同类项，得x=-2。
(2)不是，x=-2。理由如下:由a=3，得方程为$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+3}{3}-2$，去分母，得2x-1=x+3-6。移项，得2x-x=3-6+1。合并同类项，得x=-2。
解析
【分析】
(1) 同学去分母时虽然出错，但求得的x=2是错误去分母后得到的方程$2x-1=x+a-2$的解，根据方程的解的定义，将x=2代入这个错误方程，就能求出a的值。
(2) 把求出的a代入原方程，按照解一元一次方程的正确步骤计算，再和x=2对比，即可判断x=2是不是原方程的解，同时得到原方程的正确解。
【解析】
(1) 由题意可知，$x=2$是去分母后得到的错误方程$2x-1=x+a-2$的解，将$x=2$代入该方程：
$2×2-1=2+a-2$
计算得$3=a$，即$a=3$。
(2) $x=2$不是原方程的解，求解原方程过程如下：
将$a=3$代入原方程$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+a}{3}-2$，得：
$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+3}{3}-2$
两边同时乘3去分母（注意常数项-2也要乘3），得：
$2x-1=x+3-6$
移项，得：
$2x-x=3-6+1$
合并同类项，得：
$x=-2$
【答案】
(1) $a=3$；(2) $x=2$不是原方程的解，原方程的解为$x=-2$
【知识点】
1. 一元一次方程的解 2. 解一元一次方程 3. 去分母运算规则
【点评】
本题主要考查利用方程的解求参数、解一元一次方程的规范步骤，易错点是去分母时漏乘不含分母的常数项，解题核心是明确错误的解对应满足错误的方程，先求参数再解正确方程，能帮助大家强化去分母的运算注意事项。
【难度系数】
0.7
(1) 同学去分母时虽然出错，但求得的x=2是错误去分母后得到的方程$2x-1=x+a-2$的解，根据方程的解的定义，将x=2代入这个错误方程，就能求出a的值。
(2) 把求出的a代入原方程，按照解一元一次方程的正确步骤计算，再和x=2对比，即可判断x=2是不是原方程的解，同时得到原方程的正确解。
【解析】
(1) 由题意可知，$x=2$是去分母后得到的错误方程$2x-1=x+a-2$的解，将$x=2$代入该方程：
$2×2-1=2+a-2$
计算得$3=a$，即$a=3$。
(2) $x=2$不是原方程的解，求解原方程过程如下：
将$a=3$代入原方程$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+a}{3}-2$，得：
$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+3}{3}-2$
两边同时乘3去分母（注意常数项-2也要乘3），得：
$2x-1=x+3-6$
移项，得：
$2x-x=3-6+1$
合并同类项，得：
$x=-2$
【答案】
(1) $a=3$；(2) $x=2$不是原方程的解，原方程的解为$x=-2$
【知识点】
1. 一元一次方程的解 2. 解一元一次方程 3. 去分母运算规则
【点评】
本题主要考查利用方程的解求参数、解一元一次方程的规范步骤，易错点是去分母时漏乘不含分母的常数项，解题核心是明确错误的解对应满足错误的方程，先求参数再解正确方程，能帮助大家强化去分母的运算注意事项。
【难度系数】
0.7
典例5 某学校开展冬季运动会，准备采购30副羽毛球拍和若干个羽毛球，每副羽毛球拍标价80元，每个羽毛球标价5元。某超市开展促销活动，提供了两种优惠方案（两种优惠方案不能叠加使用）：
方案一：每购买一副羽毛球拍赠送5个羽毛球；
方案二：羽毛球拍和羽毛球都按标价的八折销售。
设该校购买了$ x $个羽毛球$ (x ≥ 150) $。
(1)当$ x = 300 $时，按两种方案购买各需付款多少元？
(2)按两种方案购买各需付款多少元？（用含$ x $的式子表示）
(3)当购买多少个羽毛球时，两种方案付款相同？
方案一：每购买一副羽毛球拍赠送5个羽毛球；
方案二：羽毛球拍和羽毛球都按标价的八折销售。
设该校购买了$ x $个羽毛球$ (x ≥ 150) $。
(1)当$ x = 300 $时，按两种方案购买各需付款多少元？
(2)按两种方案购买各需付款多少元？（用含$ x $的式子表示）
(3)当购买多少个羽毛球时，两种方案付款相同？
答案
解 (1)按方案一购买，因为每购买一副羽毛球拍赠送5个羽毛球，所以购买30副羽毛球拍赠送150个羽毛球，所以需付款80×30+5×(300-150)=2400+750=3150(元)；按方案二购买，需付款(80×30+5×300)×80%=3900×0.8=3120(元)。
(2)按方案一购买，需付款80×30+5(x-150)=(5x+1650)(元)；按方案二购买，需付款80×30×80%+5x·80%=(4x+1920)(元)。
(3)5x+1650=4x+1920，解得x=270。答:当购买270个羽毛球时，两种方案付款相同。
(2)按方案一购买，需付款80×30+5(x-150)=(5x+1650)(元)；按方案二购买，需付款80×30×80%+5x·80%=(4x+1920)(元)。
(3)5x+1650=4x+1920，解得x=270。答:当购买270个羽毛球时，两种方案付款相同。
解析
【分析】
本题属于生活中的方案优惠类应用题，解题核心是先理清两种方案的计费规则：方案一的总费用由30副羽毛球拍的费用、超出赠送数量部分的羽毛球费用两部分组成（每买1副球拍送5个羽毛球，买30副共送150个，因此仅x＞150的羽毛球需要单独付费）；方案二的总费用为球拍和羽毛球的总价打八折。解题思路如下：(1)将x=300分别代入两个方案的计费逻辑，直接计算即可得到对应付款金额；(2)将x作为未知量，按照计费规则列代数式并化简，得到两个方案付款的表达式；(3)令两个方案的付款表达式相等，建立一元一次方程求解，即可得到付款相同时的羽毛球数量。
【解析】
(1) 计算x=300时的付款金额：
方案一：买30副球拍赠送的羽毛球数量为$30×5=150$个，需要单独付费的羽毛球数量为$300-150=150$个
总付款：$80×30 + 5×150 = 2400 + 750 = 3150$（元）
方案二：商品总价打八折
总付款：$(80×30 + 5×300)×80\% = 3900×0.8 = 3120$（元）
(2) 用含x的式子表示付款金额：
方案一：需付费的羽毛球数量为$(x-150)$个
总付款：$80×30 + 5(x-150) = 2400 + 5x - 750 = (5x + 1650)$元（$x≥150$）
方案二：所有商品打八折
总付款：$(80×30 + 5x)×80\% = 2400×0.8 + 5x×0.8 = (4x + 1920)$元（$x≥150$）
(3) 求两种方案付款相同的x值：
令两个方案的付款相等，列方程：
$5x + 1650 = 4x + 1920$
移项得：$5x - 4x = 1920 - 1650$
解得：$x = 270$
【答案】
(1) 方案一需付款3150元，方案二需付款3120元；
(2) 方案一需付款$(5x+1650)$元，方案二需付款$(4x+1920)$元；
(3) 当购买270个羽毛球时，两种方案付款相同。
【知识点】
列代数式；一元一次方程的应用；方案选择问题
【点评】
本题是和生活消费结合紧密的应用题，重点考查对优惠规则的理解能力、代数式化简能力以及列方程解决实际问题的能力，解题的关键是准确梳理不同方案的计费逻辑，避免漏算或多算优惠部分的费用。
【难度系数】
0.75
本题属于生活中的方案优惠类应用题，解题核心是先理清两种方案的计费规则：方案一的总费用由30副羽毛球拍的费用、超出赠送数量部分的羽毛球费用两部分组成（每买1副球拍送5个羽毛球，买30副共送150个，因此仅x＞150的羽毛球需要单独付费）；方案二的总费用为球拍和羽毛球的总价打八折。解题思路如下：(1)将x=300分别代入两个方案的计费逻辑，直接计算即可得到对应付款金额；(2)将x作为未知量，按照计费规则列代数式并化简，得到两个方案付款的表达式；(3)令两个方案的付款表达式相等，建立一元一次方程求解，即可得到付款相同时的羽毛球数量。
【解析】
(1) 计算x=300时的付款金额：
方案一：买30副球拍赠送的羽毛球数量为$30×5=150$个，需要单独付费的羽毛球数量为$300-150=150$个
总付款：$80×30 + 5×150 = 2400 + 750 = 3150$（元）
方案二：商品总价打八折
总付款：$(80×30 + 5×300)×80\% = 3900×0.8 = 3120$（元）
(2) 用含x的式子表示付款金额：
方案一：需付费的羽毛球数量为$(x-150)$个
总付款：$80×30 + 5(x-150) = 2400 + 5x - 750 = (5x + 1650)$元（$x≥150$）
方案二：所有商品打八折
总付款：$(80×30 + 5x)×80\% = 2400×0.8 + 5x×0.8 = (4x + 1920)$元（$x≥150$）
(3) 求两种方案付款相同的x值：
令两个方案的付款相等，列方程：
$5x + 1650 = 4x + 1920$
移项得：$5x - 4x = 1920 - 1650$
解得：$x = 270$
【答案】
(1) 方案一需付款3150元，方案二需付款3120元；
(2) 方案一需付款$(5x+1650)$元，方案二需付款$(4x+1920)$元；
(3) 当购买270个羽毛球时，两种方案付款相同。
【知识点】
列代数式；一元一次方程的应用；方案选择问题
【点评】
本题是和生活消费结合紧密的应用题，重点考查对优惠规则的理解能力、代数式化简能力以及列方程解决实际问题的能力，解题的关键是准确梳理不同方案的计费逻辑，避免漏算或多算优惠部分的费用。
【难度系数】
0.75
